VI

Remarque V.

20. Il est encore bon de remarquer que l'on peut toujours simplifier une série récurrente et la rabaisser à un ordre inférieur, en y détruisant quelques-unes des séries partielles dont elle est composée, pourvu qu'on connaisse seulement l'échelle de relation de ces séries, c'est-à-dire, le dénominateur de leur fraction génératrice; car, comme ce dénominateur doit être un facteur de celui de la fraction génératrice de la série totale, il s'ensuit que, si l'on multiplie cette série par le même facteur, la série résultante deviendra nécessairement plus simple, puisque sa fraction génératrice n'aura plus pour dénominateur que l'autre facteur, en sorte que les séries partielles dépendant du premier facteur se trouveront entièrement éteintes.

Il faut seulement observer que, dans ce cas, la nouvelle série contiendra, au commencement, autant de termes irréguliers qu'il y a d'unités dans le degré du multiplicateur; de sorte qu'il faudra retrancher ces termes et diviser ensuite les autres par la plus haute puissance de a-, dont l'exposant sera le nombre des termes retranchés.

Soit, par exemple, la série de l'ordre n

dont la fraction génératrice soit ^ P étant un polynôme du degré n — i ,

et Q un polynôme du degré n, dont les n facteurs soient

i — px, i — qx, i — rx, i — sx,...; on aura, pour l'expression du terme général de la série,

T(m> = Kpm -+- Lq'" + Mr + N*"1 -t-

Maintenant, si l'on suppose qu'on connaisse les deux quantités p et y, on pourra simplifier la série proposée et la rabaisser à l'ordre n — 2, en y détruisant la partie qui répond aux termes K/>"\ Lqm; car pour cela il

n'y aura qu'à la multiplier par le polynôme formé des facteurs i — px, i — qx, c'est-à-dire, par

i — (p -t- q)x -+- pqx2, et, désignant par

la série résultant de cette multiplication, il est clair que cette série aura P Q'

Q = {i — px)(i — qx)Q',

pour fraction génératrice -^-, en supposant

en sorte que Q' sera un polynôme du degré n — i, formé par le produit des autres facteurs simples i — rx, i — sx, Qu'on retra'nche maintenant de part et d'autre les deux premiers termes t -t- t'x de la série, on aura

P p (t-+- t'x) Ci'

t"x2 -h i"'x3 -h t"x> -+- Vx" -+....— — ( t + t'x) = i-3 L2L .

Or, P étant un polynôme du degré n — i et Q' un polynôme du degré

n — 2, il est clair que

sera aussi un polynôme du degré n — i; et, comme toute la série est divisible para;2, il s'ensuit que ce dernier polynôme devra l'être aussi, et qu'il manquera par conséquent de ses deux premiers termes, en sorte qu'il sera de la forme x2 P', P' étant un polynôme du degré n — 3 ; donc, divisant de côté et d'autre par x2, on aura la série

dont la fraction génératrice sera ^-\ en sorte que le terme général de

cette nouvelle série sera de la forme

M'rm+N'sm-h.. .,

de manière qu'elle sera récurrente de l'ordre n — 2.

Or, si l'on traite cette série par notre méthode et qu'on en détermine

la fraction génératrice ^75 on pourra retrouver la fraction primitive ^

de la série proposée; car on a d'un côté

Q = (i — px)(i — qx)Q',

et de l'autre on a et, par conséquent,

En général, soit R le facteur connu de Q, lequel soit du degré/?, en

sorte que Q=RQ', Q' étant un polynôme du degré n—p; on multipliera

la série proposée par R, ensuite on en retranchera les p premiers termes

que je désignerai par S, et le reste, étant divisé par xp, sera une série

récurrente de l'ordre n — p; en sorte que la recherche de la fraction

génératrice sera beaucoup plus simple que celle de la fraction de la série

P' primitive. Or soit t— la fraction génératrice de cette nouvelle série; on

fera

Q = RQ' et P = SQ' + ^P',

et la fraction ^- sera celle de la série proposée T ■+■ Tx -+- Tx> -4- . . . .