PROPOSITION III

Problème.

21. Étant donnée une suite récurrente dont on connaisse déjà la fraction génératrice, on propose de trouver la fraction génératrice de la même série continuée en arriére.

Soient

les termes de la série donnée, et supposons que, en continuant la même série en arrière, on ail les termes

T, T, VVT, "T,..., WT, C'+OT, . . . ,

de sorte que la série continuée des deux côtés soit représentée ainsi

. ..("+')T, Wï,..., mT, "T, T, T, T', T", T'", ..., TW, T<"'+'>,...,

où les termes en allant de la gauche à la droite soient tous formés les uns des autres, suivant une même loi générale. Soit de plus

[o] + [i] j? + [2] a?2 -+- [3] x3 -+- . . . -+- [w — i\xn~l

la fraction génératrice de la série

T 4- Tx -t- T'x2 -t- T"x3 -h ... ;

la question est de trouver la fraction génératrice de la série

T+Tx— "Ttf2 4- "Tar" -t- "Tx* ■+-....

Pour la résoudre, supposons que la fraction donnée soit décomposée en ces n fractions simples

1 — px 1 — qx 1 — rx 1 — sx

on aura, pour l'expression du terme général T(m)a?'n, celle-ci

(K//" -t- Lq'" -+- M/'"' -»- Ni" -t- ... ) x'", d'où

T(,„) Kp,n + L q,„ + M ,.„, +K^ + ,.„

Or, comme cette expression de T('") doit être générale pour tous les termes de la série, il est visible que, pour avoir les valeurs des termes