DÉTERMINATION DES FORCES PERTURBATRICES DES SATELLITES DE JUPITER
Soient :
W la masse de Jupiter, @( la masse du premier satellite, CE 2 la masse du second satellite, ©3 la masse du troisième satellite, ©s la masse du quatrième satellite.
Supposons de plus que toutes les quantités que nous avons nommées r, p, <p, F, R, Q, P,..., dans le Chapitre précédent, soient désignées ici, relativement au premier satellite, par
r,,-/»,, 9,, F„ R„ Q„ P,,...; relativement au second satellite, par.
r2, p2, <p„ F,, R„ Q,, P2, . . . ; relativement au troisième, par
'•3, p» 93, F„ R3, Q„ P,,...; et relativement au quatrième, par
rt, pi; <p„ F„ R4, Q„ P,,....
En général, nous conserverons toujours dans la suite les noms donnés dans les Articles précédents, avec cette seule différence que nous marquerons les lettres d'un trait pour le premier satellite, de deux traits pour le second satellite, etc. (*).
Enfin nous dénoterons, pour plus de simplicité, la distance entre deux satellites quelconques, c'est-à-dire, la ligne droite qui joint leurs centres, par A(r, r); r, r étant les rayons vecteurs des deux satellites; ainsi la distance entre le premier et le second satellite sera désignée par A(r, , r2), la distance entre le premier et le troisième par A(r,, r3), et ainsi des autres.
Cela posé, il est visible :
i° Que le satellite C( est attiré vers Jupiter avec une force
rf(n-pî)
(*) Il nous a paru indispensable, au point de vue de l'exécution typographique, de remplacer les traits par des indices en chiffres arabes. (Note de l'Éditeur. )
et qu'en même temps Jupiter est attiré lui-même vers le satellite avec une force
d'où il suit que la force totale qui tend à rapprocher le satellite de Jupiter est
Cette expression doit être comparée avec l'expression de la force centrale F
Article I), c'est-à-dire, en la rapportant au premier satellite, ce qui donne d'abord
2° Que le satellite <§), est attiré vers le satellite @2 avec une force
laquelle peut se décomposer en deux autres : l'une dans la direction du rayon mené du satellite (§), à Jupiter, qui sera
A(/-„r2)3 ' l'autre parallèle au rayon mené du satellite d£2 à Jupiter, et qui sera
De plus le même satellite CE, doit être regardé comme attiré par une force égale, et en sens contraire, à celle avec laquelle Jupiter est attiré parle satellite <D2, c'est-à-dire par une force
>'l(i + pl) et dirigée parallèlement au rayon mené de ce dernier satellite à Jupiter,
Donc l'action du satellite C2 produit dans le satellite €, deux forces :
A(r„r,)3 dirigée vers Jupiter, l'autre
s, r - îVï±£ii
-Lr22(n-/>^) A(r„r,)3 J
dans une direction parallèle à celle qui va du satellite @a à Jupiter.
3° Or la force
@ar,y/i + />; A(r,,r2)3
se décompose en deux autres : l'une perpendiculaire au plan de l'orbite de Jupiter
l'autre parallèle au même plan dans la direction du rayon r,, qui sera
Pareillement la force
\r\{i +pl) A(r„r2)3 J
se change en deux autres forces : l'une perpendiculaire au plan de l'orbite de Jupiter
cJ ^ -- r'P' 1,
- | Ar„T23 '
et l'autre parallèle à ce plan, dans la direction du rayon r2,
«.r — ' — —a ri i-
Enfin cette dernière force se décompose encore en deux autres : l'une dans la direction du rayon r,, avec le rayon r2 fait l'angle y2 — <f\\ l'autre
perpendiculaire à cette direction; la première sera exprimée par
la seconde par
^r' !i"Â(iyco5(y,"Tl
A 5 7-, — - — r, sin((B2 — cp,
et tendra à diminuer l'angle <p,, au lieu que nous avons supposé (Article II) que la force perpendiculaire Q tendait à augmenter l'angle <p; c'est pourquoi il faudra la prendre négativement.
4° Comparant donc toutes ces forces avec les forces R, Q, P (Article I), ou bien R,, Q,, P, (Article IX), on aura en conséquence de l'action du satellite @2 les expressions suivantes
K, — ® rri~,,aC0S (?' — ?') , ros(?2-cp,n L r\{i-hpî)2}
rrasin(ya — 9,) sin(y, — <p,)l
On trouvera de la même manière les expressions des forces R, , Q, , P, , en tant qu'elles- résultent de l'action des satellites @3 et ©.,; et il est clair que l'on aura les mêmes formules que ci-dessus, en marquant seulement de trois traits ou de quatre traits les lettres qui sont marquées de deux traits (*).
Si l'on veut avoir égard aussi à l'action du Soleil sur le satellite ©,, on nommera : © la masse du Soleil, 5, la distance du satellite © , au Soleil, p, le rayon vecteur de l'orbite du Soleil autour de Jupiter, <b la longitude du Soleil vu du centre de W ;
( * ) Voir la Note de la page 76.
et il n'y aura qu'à mettre, dans les expressions de R, , Q4, P< de l'Article X, © au lieu de @2, 5, au lieu de A(r, , r2), p, au lieu de r2, ty au lieu de <pa, et supposer p2 = o. De cette manière on aura, en vertu de l'action du Soleil,
cos(<i — 9O cos(iJ> — 91)
Q = © ["P.sin(^ — 9,) sin(^ — o.) "1
Donc, en joignant ensemble les forces qui proviennent de l'action des trois satellites (D2, <§),, @4, et du Soleil sur le satellite (£,, on aura les valeurs complètes de R,, Q,, P, exprimées de la manière suivante
r, — /'2cos(9s — 91) cos(92 — 91)
A(r,,r,)* r, — r3cos(93 — 9,) cos(9., — 9,
A(/-,,n)3 r, — r4 cos(94 — 9,
cos(92 — <p,)~|
A(r,,r4)3 — p, cos(4l — 9.)
>i(i+plY
cos(9< — cp, >~1
r2sin(92 — <p,) sin(92
A(r,, r2 r3sin(-93-
sin(93 — 9.)
r4sin(9( — 9,) sin(94 — 91)1 A(r,,r4)3 " ~~ "J
r4sin(^ — 9,) sin(4< — tp, )H
[r,pt-i
-2 Pi
r,pi
'+/>Î)TJ
rï(» + /»î) J
rî(
«np.
xm.
Telles sont les expressions des forces perturbatrices du satellite C,; d'où il est facile de déduire celles des trois autres satellites ©,, @3, C„. En effet, un peu de réflexion suffit pour faire voir que les quantités R,, Q(, P( deviendront R2, Q2, P2, en marquant seulement de deux traits les lettres qui sont marquées d'un trait, et réciproquement (*); ainsi l'on aura pour les forces perturbatrices du second satellite les expressions suivantes
>, — l\ COS(<j3, — <p2)
A — »'3 cos ( <p3
A(r2, r3 r4 cos ( a
A(r2, r4)3 Pi cos(ij/
:os(cp, — <p2)"|
cos(y3 — ?»)"[
cos(94 — .<?2)1
cos(4l — <Pi)~l
i\ sin(ç,
A(r2, r,)3 r3sin(cp3 — cp2)
A(r,, r3 r4sin(cp4 -
sin(y, — cp2)~j r](i+p\f\
sin(<p3 — cp.
A(r2, r4)3 p, sin ( 4" — tpï
sin(cp4 — cp2)~l
^(x + KfJ sin ( 4> — tp2)"l
pl \
(*) Voir la Note de la page 76.
P2 = cl
L v 3; rî(n-#)\J
M. ''2 Pj
On aura pareillement les expressions de R,, Q3, P3, et de R4, Q,,, P4, en marquant successivement de trois et de quatre traits les lettres qui ne sont marquées que d'un seul trait dans les expressions de R,, Q,, P,, et réciproquement (*).
Il reste à chercher les valeurs des quantités A(rt, r2), A(r, , rs),..., qui expriment les distances entre le premier satellite et le second, entre le premier et le troisième, etc. (Article IX). Or il est facile de trouver qu'on aura
A(r,, r,)2z= (r2p2 — r,/?,)2 -+- [r, sin(tp3 — <j>,)]2 -t- [r2 — r, cos(<p2 — 91 )]2 = r] (1 -hp]) — ar, r2[cos(92 — <p,) -+- p^p^\ ■+- fj(t + pi);
donc, tirant la racine carrée,
A(r„ r2) = \jr\ (1 +/>ï)-2r, r,[cos(<p2 — <p,) + j»^] -+- r22(i -t-/?2) ■
On trouvera pareillement
A(r„ r3) = v/rj(i + p]) — 2c, r3[cos(<p3 — 91) + p, />3] -t- >'3(i +/>f)»
et ainsi des autres. On voit par là que
car l'expression de cette dernière quantité demeure la même, en changeant r,, plt f, en r2, /?,, <p2, et réciproquement; ce qui est d'ailleurs évident.
(*) Voir la Note de la page 76.
Pour avoir maintenant la valeur de d, , il n'y aura qu'à changer, dans celle de A(r, , r2), r2 en p,, (p2 en <\>, et effacer la quantité /?2 (Article XI); on aura donc ainsi
ô, = s/r] (n-/?,) — 2r,p, cos(i^ — <?i)-t- P, ; on trouvera pareillement
d2— \fr'2{l + pi) — 2f2p,COS(4i — <p2) -4- pf ,
et ainsi des autres.
Nous avons supposé (Article X) que l'attraction de Jupiter sur les satellites était exactement en raison inverse du carré des distances; c'est ce qui n'est rigoureusement vrai qu'en regardant Jupiter comme un globe de densité uniforme.
Or on sait par les observations et par la Théorie que cette Planète est considérablement aplatie; de plus il peut se faire qu'elle ne soit pas partout de la même densité : deux circonstances qui peuvent aussi influer sur le mouvement des satellites, et auxquelles il est bon par conséquent d'avoir égard ici. Pour cela nous supposerons : i° que la figure de Jupiter soit celle d'un sphéroïde elliptique peu différent d'une sphère;' 20 que ce sphéroïde soit formé d'une infinité de couches toutes sphéro'idiques, et de densités différentes; 3° que Péquateur de Jupiter soit dans le plan de l'orbite de cette Planète.
Cette dernière supposition n'est pas tout à fait exacte; car on sait que l'équateur de Jupiter est incliné d'environ 3 degrés sur le plan de son orbite; mais l'erreur qui en résulte est si petite qu'il serait superflu d'en tenir compte.
Cela posé : soient A le demi-axe d'une couche quelconque, E son ellip-
ticité et D sa densité ; on trouvera par les Théorèmes de la figure de la Terre de M. Clairaut (§§ XXVI et XLVI, seconde Partie) que l'attraction de Jupiter sur un satellite quelconque produit deux forces : l'une, dirigée au centre de Jupiter, égale à
„2ro , r rDA»rfA+i rDrf(A»E)i + r<(/'"2C) (W>e);
l'autre, perpendiculaire à cette direction dans le plan d'un méridien, égale à
ir-J^£. A)d(A'E)
(ts dénote ici la périphérie d'un cercle dont le rayon est égal ai). La partie
de la première de ces deux forces, étant réciproquement proportionnelle
tp
TP au carré de la distance, doit être comparée avec la force —. -
(Article X); d'où l'on aura
ff = 2ror TDA'rfA+l rDd(A'E)].
L'autre partie de la même force
5r<(i+p>fJ V ;' aussi bien que la force perpendiculaire
devront être regardées comme des forces perturbatrices, et par conséquent décomposées suivant les directions de R, Q,. P; cette décomposi-
tion étant faite, on aura les deux forces suivantes
dans la direction de la force R, et
JD,
dans la direction de la force P; donc, si l'on suppose
jDd(A5E) V~ As[/DA5rfA-i-f/Drf(A3E)j'
les forces perturbatrices R et P, qui résultent de l'aplatissement de Jupiter et de l'hétérogénéité de ses couches, seront, en général,
vA'ff(i-4j>') p vA'g(3j>-2j>')
d'où l'on tire : par rapport au premier satellite,
„ .vA2^(i-4/>;) p vA'y(3^,-ap;-).
5r\{i ■+-pt,)i 5rJ(i +J92)2
par rapport au second satellite,
vA»r(i-4f>î) p vA'W(3,h-zpl) n2 = j— ? r2 = 7 ,
5r*(i-t-/>2)2 5rî(i + />2,)s
et ainsi des autres.
11 n'y aura donc qu'à ajouter ces valeurs à celles des Articles XII et XIII. Au reste, comme l'aplatissement de Jupiter n'est que d'environ
A> suivant les dernières observations, la quantité E sera fort petite,
aussi bien que la quantité v; de plus le rapport de A2 à r'1 sera toujours exprimé par une fraction fort petite; de sorte que les forces perturbatrices dont nous venons de parler seront nécessairement très-petites.
Si l'on suppose D constante, on aura
En général, quelle que soit D, on aura, par les conditions de l'équilibre,
A)d(A5E):=5As(E — je) CvA'dk
(S étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, sous l'équa-
teur); donc
à très-peu près.
Il faut maintenant développer les expressions des forces perturbatrices P, Q, R, en employant les suppositions de l'article V. Pour cela nous remarquerons d'abord que nous pouvons négliger dans ce calcul tous les termes de l'ordre n2, parce que les quantités P, Q, R sont déjà elles-mêmes de l'ordre n, comme nous le verrons plus bas. Donc, mettant premièrement dans la valeur de A (r, , r2) [Article XIV] , au lieu de r, , a, (i + na;,), au lieu de p<, nzK\ et de même, au lieu de r2, a2(i.+ /ia;2), et au lieu de p2, nz2, suivant ce que nous avons dit à l'Article IX, on aura
ii (r, , /-2) = \Ja\ (n- 2K,) — 2fl, a2 (i-t- nxt -+- n x2) C0S(tp2 — tp,) -+- a] (n- <3.nx2)
= \Az2 — 2 «,«2 cos(<p2 — <p,) -f- al ■+- in{a]x^ a\x2) — inaia2(xi -t-x2) cos(y2 — <?,) ,
d'où l'on tire, par les séries,
— - r, = \ait — ia, a, cos(o, — çj + flil 2
\{rn7-2Y
— 3 n[a'x t-i- a'2x.. — as a2(xt-\- x2) cos(y2— 9,)] [a* — 2fl,«, cos(tp2 — y,) -h/ï*] l -+-....
On trouvera de même
— r^—ïa2, — ia,a,cosh, — n/!)-\-aX\ 2
— 3 nla'ix^ a\x3— «a, «3(jr,-f- a;3) cos(tp~— y,)] [a] — ialatcos((f3 — œ, ) — f- <tï|] "-h....
Et pareillement
t, n = \a\ — 2«, a. cos(<p, — <f.)-t-aV\ *
— 3«[a^,+ a2jxf — «, «, (^7,-+- xs) cos(f4— f,)] [a, — 2a, a4 cos(<j>4 — <p,)-*-«i] "-*-•■■;
et ainsi des autres.
Mais il se présente ici une difficulté, par rapport aux quantités
[«2 — zcitCii cos(<f>2 — <?i) -t- «2] 2, [a] — 2a,aiC0s(cp2 — cp, ) H- «|] %..•,
c'est de pouvoir les réduire à une forme rationnelle, condition absolument nécessaire pour l'intégration des équations des satellites.
Pour résoudre cette difficulté, on écrira d'abord les radicaux proposés ainsi
fl7L,-^rC0S(?2~9') + <] ' a7V~ ^C0S(9!9') + ^J ""'
et la question se réduira à changer en une fonction rationnelle une quantité de cette forme
(1 — 2c cos0 -+- q')~x,
dans laquelle q est un nombre moindre que l'unité.
Pour y parvenir, je remarque que la quantité 1 — iq eosô -h q- est égale au produit de ces deux quantités
1 — = <7(cos0 + sin0\/— 1), et 1 — </(cos0 — sin0^/— 1 );
je les élève donc l'une et l'autre à la puissance — X, en écrivant au lieu du carré de cosÔ ± sin$ y/— 1 , cos20 zb sin20 y/ — 1, et ainsi de suite;
j'ai
[i — qr(cos0±sin0^/— ïj]~*= i -t- Xg (cos0 ±sin0 y/— i)
-+- l(-l + l) ^(cos20zhsin20v/^ij
Soit, pour abréger,
— -± <79(cos30dzsin30 ^j
i + ïqcosQ H — — - g2 cos 2 0 h — ^ -g3 cos 30
Açsin0 H — — - g2 sin 2 0 h ^ ' q3 sin3 0 + . . . = IN;
on aura
[i — ç(cos0 + sin0s/^7)]>' = M + Nv/^7,
[i — ?( cos0 — sin0 v/^T)]-'' = M — N y/^; donc
(i — 2^ cos0 + ç2)-'- = (M + N y/^T) (M — N v/=7) = M1 + N2.
Or, si l'on fait les carrés des deux séries M etN, qu'on ajoute ensemble les termes qui ont le même coefficient, et qu'on remarque que
cos m 8 X cos n 0 -+- sin m 8 X sin n 8 = cos ( m — n ) 0,
m et n étant des nombres quelconques, on trouvera
(i — iq cosô -i- q2)-*- = A -t- B cos0 -t- C COS20 -t- D cos30 -t-. . . .
Et les coefficients A, B, C,... seront exprimés de la manière suivante
,, , /2(/ + 02 â A2(/-t-i)2(Â-+-2)2 B A = i -+- l2q2 -\ — : — - qA H — ~ qe -4- ... ,
m + 0 , ,^(X + i)(îh-2) , et ainsi de suite.
Au reste il ne sera nécessaire que de connaître les deux premiers coefficients A, B, pour avoir tous les autres C, D,...; car on trouvera par les formules de l'Article XXVI de la Pièce sur le mouvement de Saturne
[Prix i^8] (•)
2(i + ^;C — (i-hl)qB
et ainsi de suite.
3(i-f-çf2)D — ( i -hl)gÇ
Tout consiste donc à déterminer les valeurs de A et B. Or, dans la Théorie des satellites de Jupiter, la plus grande valeur de q est d'environ f, comme on le verra plus bas; donc q2 sera toujours moindre que {; donc, si l'on fait X = f, les suites A et B seront assez convergentes pour qu'on puisse se contenter d'un petit nombre de termes. Ces suites seront représentées, en général, par celles-ci
n 1 il . /-|3 1 3. .
dont les coefficients numériques sont très-aisésà calculer.
Voici les logarithmes de ces coefficients pour les différentes puissances de q qui entrent dans les deux séries dont il s'agit; les logarithmes qui répondent aux puissances paires de q sont ceux des coefficients des termes de la série A, et les logarithmes qui répondent aux puissances impaires de q sont ceux des coefficients des termes de la série — •
(*) La pièce dont il est ici question est le Mémoire d'Euler inséré dans le tome VII des Prix de l'Académie Royale des Sciences. [Note de l'Éditeur.)
