VI. ra

qts

1 ,og4o58

qrs

1 ,4oo5i4

1 ,2io5o4

1, 4ii238

gls

Il ne s'agira donc plus que d'ajouter à chacun de ces logarithmes celui de la puissance correspondante de q, et de chercher ensuite le nombre qui répond à chaque somme ; on aura ainsi les valeurs d'autant de termes

des deux séries A et — qu'on voudra; d'où l'on pourra tirer pour A et B

des valeurs aussi approchées qu'on le croira nécessaire. Pour juger de la quantité de l'approximation, on remarquera que les différences des logarithmes de la Tahle précédente forment une progression décroissante; d'où il suit que, si après avoir pris la somme d'un nombre quelconque

de termes de la série A ou — on regarde le reste de la série comme une

propression géométrique, l'erreur sera toujours moindre que la somme de cette progression. Au reste, dans le cas même où q sera la plus grande

. ( ce cas est celui où q — — = -^^, comme on le verra dans la suite ) -, \ 7 az 1430 /

il suffira de prendre les dix premiers termes des séries A et— pour avoir

les valeurs de ces coefficients en millièmes, c'est-à-dire aux dix- millièmes près, et en prenant encore trois ou quatre termes, on poussera l'exactitude jusqu'aux dix-millièmes et au delà.

Ayant ainsi les valeurs des coefficients A, B, C, . . . de la suite qui représente

(1 — iq cosô -(- q2) 2,.

on trouvera aisément ceux de la suite qui exprime

(1 — iq cosô H- c/2) ''; car, dénotant ces derniers par (A), (B), (C) il faudra que la série

(A) + (B)cos0H-(C)cbs20-i-. . .,

étant multipliée par

1 — iq cosô •+• q1,

devienne égale à la série

A -1- B cos 9 -+- C cos 2 ô -4- . . . .

La multiplication faite, on trouvera, en comparant les deux premiers

termes,

A = (H-<jf2)(A)-?(B),

B = (i + tf')(B)-.2<7(Al-g(C).

Or (C) est donné en (A) et (B) de la même manière que C est donné en A etB; il suffira pour cela de mettre dans l'expression de C, Article XVIII, (A) au lieu de A, (B)au lieu de B, (C)au lieu dé C, etX + i au lieu de).;

ce qui donnera

,r' (i + g')(B)-a(> + Og(A),

donc, si l'on substitue cette valeur de (C), on aura deux équations en A, B, (A), (B), d'où l'on tirera

-qb

u — rr

Connaissant (A) et (Bj, on connaîtra tous les suivants (Article XVIII).

De ce qu'on vient de démontrer, il suit qu'on peut supposer

[a* — 2a,a2 cos(cp2— 9,) -+- a\~\ 2

= T(a„ a2) ■+- r,(ffli, a2) cos(œ2 — 9,)

-l- T,{at, a2) C0S2(<p, — 9,) -+- r3(a,,«,) cos3(92 — 9,) +. . .,

[a] — 2 a, «2 cos(92 — 9,) -1- a']

= A(«,, «2) -+- Ai(ffl,, a,) cos(92 — 9,)

-+- A,(«,, a.) cos2(9, — 9, ) + A»(fl,, a2) cos3(92 — 9,') +. . . . •

J'entends par

des fonctions données de a, , a2, dont on trouvera la \aleur par les méthodes des Articles précédents.

Donc, si l'on fait ces substitutions dans la quantité -r-r— — - (Arti-

cle XVII), et que l'on développe les produits des sinus et des cosinus, on trouvera

A(,. r>3 =T(a„a2)-hT,{al,a2) cos(<p2 — 9,) + r2(«„ a2) cos2(cp2 — <p,) -(- r3(«i, «2) cos3(cp2 — 9,) -1- . . .

— 3nx,

— 3nxl

— 3nx,

— 3nx2

— 3 nx2

a\\ (a„ a2) — ata2

a] A, (a,, a2) — «,a2 — - | cos (. <pa — ep, ;

COS2(Cp2 — cp.

2* / ^ 2A(a,, a2) + A2(a,, aO~l a2 A, (a,, a2) — a,a2 — — v ' ; cos(cp2 — 9,

COS2(cp2 — cp,

Soit fait, pour plus de simplicité,

II (a,, a,) = — - — ! — — - — -L,

jj ia a\— a'a*A2(a,,«2) — -},a\ A, (a,, a,) -+- 2<z1a2A(«i, a2)

n /„ ,. * a,fl2A3(a,, â2) — 2«J A2(«,,«2) -1- a,«2A,(«,, a2)

tt i„ „ \ ata2A,(a,,a2) — ia\ A3(«,, a2) -+- a,a2A,(a,, a2) ii3 ^,, «2j — __ ,

Soit aussi

,rr , ata,Ai{a„a,) — 2a'A(at,a2) 't (a„ a2) = ! — - — — - — - — -

w . ata2A2(at, a2) — 2«j A, (aua2) 4- •2.ala2A{al, a2)

w , «,a2A3(a,, a2) — ia\ A2{ax, a,) 4- «i«2A,(«,, a2)

X2^^lj d2) ?

w , «,a2A4(«,, a2) — ia\A3{ax, a2) ■+■ ala2A2(a„ a2) ■

On aura la quantité -r— — —> exprimée de la manière suivante

— - = T{a„a2) +r,(a„ a2)cos(c32 — <p,) 4- T,(at, à,) cos2(92 — 9,) 4-. . .

-h3nxt [n(a!, aj)+n, (a,, a2)cos(<p2— <pi)+na(a„aj)cos2(<jp2— 9, )+...] +3«x2[xF(a,,a2)-i-"lFl(a„a2) cos(92— 9, )+x¥2{ai, a2) cos 2(92—91)4-...].

On trouvera de même, en changeant simplement r2 en /-3, a2 en a3, <p2 en <p3 et x2 en x3,

— - = r(a,,<23) 4- r,(a,,a3) cos(93 — es,) 4- r2(«„ a3) cos2(9, — ©,) 4-. . .

4-37ia;i[n(a„ a3)4-n,(a,,a3) cos(93— 9,')4-n2t«,, a3) cosa^j— <p,) +-...] 4-3Hx3[¥;a,,«3)4-¥,(a1,a3)cos(93— 91)4-xF2(a,,a3)cos2(93— 9,)4-...];

et pareillement

A(r -i- v~ ^a" a^ + r'(a" ^4) cos(9j — 9,) 4- r2(a,,«â) cos2('9( — 9,) 4-. . . 4-3»a?1[n(a„ffl4)4-II1(a1,a,) cos(94— 9,)4-II2(a,, à,) cos 2(9,-91)4-...]

4-3/i^4[¥(a1,rti)4-¥,(a,.«4)cos(94— 9,)4-1F2(a,,a4)cos2(94— 9,)4-...].

Cela posé, on aura

r\ a,(i -1- nx,)

= «,[r(«,, a2) +|I\(a,, a2) cos(<p2— 9,) + r2(«,, a,) C0S2(<p2— <p,) H- . . .]

-I- nx, a, [3II(«,, a2) -\-T(a„ a2) + [311, (a,, a,) -t-T, (a„ «2)] eos(cp2— 9,)

+ [3n!(a,,a!) + r2(a,,a2)] cos2(cp2 — <p,)-t-. . .1

-1- 2>nxiai\y¥{au a2)-f-1F, (a„ a2) cos(cp2— 9, )-t-^F2(a4, a2) cos2(cp2— <p,) -t-. . .]. On trouvera de la même manière

.'.. — rj =«2[r(a,,a2)+r, (a,,a2)cos(!p2— cp,)-i-r2(a,,a2)cos2(92— 9,) + . . .]

-t- 3«^,«2[DI(a,, «3) + n,(«,, a2) cos(cp2 — 9,)-+- n3(a,, a2) C0S2((p2— 9,) +. . .] -t-re#2«2r3¥(«,,a2)-f-r(a,,a2) + [31F1(a„ a2)+r,(a,,a2)]cos(<p2— 9,)

+ [3T!(«„fl!) +r,(û!,, a,)] cos2(<p2 — 9,) +. . .1.

On aura ensuite

il(n-/»ï )7 "2

Donc

= — — a2r(a,, a2) — a2ï\ («,, a2) cos(<p2— 9, ) — a2r2(a„ a2) C0S2(92— 9,) — . . .

— 3«.r,a2.[II(a,,a2) + II, (a,,«2) cos(92 — 9,) -+- II2 (a„a2) C0S2(92 — 9,) + . . .]

— nx, — + 3«21F(«,, a2) + a2r(a,, a2)

-1- [3a2xF,(a,, «2 ) -4- «2r,(«,, a2)] cos(<p2 — 9,)

Cette quantité étant multipliée par cos(ç2 — <p,), on aura

/'2COS(<p2 — 9,) ^ COS(cpi — <pi)

rî(I+#)*

a2r,(a„«2) ra2r2(a„a;) + 2a2r(a„c(2) -J~| cos( „\

a2r3(a,, a2) -t- a,Ttiat, a,) , .

^ " - C0S2(<pv— cp,) — . . .

nx, 3«, — —-^ — - + 3a2 — ^— - — - — - COS(9, — 9

3a2 — — cosa(9, — 9,)-f-. . .

— nx7

3a2¥l(ai,aa) + a2ri(g|,a2)

„ ¥2(0,, «4 + 2Ï(a„ ajj r2(a,, a, -t-2r(a,, a.) 2'.

3«2 — - — ! — : ! l- a2 — ! 1 — ? cos(92

/ f1(«„a,) + ¥l(a„aI) r3(a„ a2) + r,(a„ «2)\ , ]

-+- I 3a2 — - — - — ha, — * I coS2(93 — 9,) + . .. .

Enfin, multipliant la même quantité par — sin(y2 — <p, ), on aura

r2 sin ( 92 — 9, ) si iv, 9., — 9, ) r\{i + p\f

r2(a,,a2) — 2r(a,,«2) il,,

' H r- Slll ( CO2 — CD, )

T3(at,a7) — rl(a1,«2) .

— - — sin2(92 •

— nxt 3rt2

îlAa„a2) — 2n(«,,a2) . .

— sin(92 — 9,

3 a: — sin2(92 — 9,) -h. . .

nx2 \ [3a-, — *■ v -+- a, — ! — - — ! r ) sin ( <p2 — <p, )

IV 2 2 a\j

+ I 3«2 — ! - -1- a2 — — - — — - — - sin 2 (cp2 — cp,) + ...

Soit maintenant

w, > ct2,ehTt(ai,a,) — 2.a3.T(a„a2)

p. «*a2r2(a,, a2) — 2.a\Ti{ai,a2)-\-2.a\chY(ai,a,i) a]

s', , aï«2I\(a,, a,) — 2s' r2(a„ a,) H- «? a2I\(a,, a2)

s, > a'ffl2r4(ai, a2) — 1a3. r3(a,, a2) -+- a" a2Y,{a„ a2) r3(ffl„ a2) = — ! !

- a;fl!n,(a„a!)-2«;n(a„a!)

U(a,, rt2) = 3 — ! — ! L — «, Y{a„ a2

- , . , a? a2 n2(a,, a2) — ia\ II, (a,, a,) -+- 1a2. a-, II(a,, a-,) , . II,(a,, a2) = 3— ' ! a, T, (a,,«2

«■ , > „ a, a2 n3(a,, aa) — na3. ILfai, tf2) 4- a? a2n, («,, #2) ,, n2(a,, «5) = 3— ; ■ ■ — — a\ l2(a,, a,)

a, , o a\ a'. n.i(a,,a2) — ia\ IL(a,, a,) H- a'«2II2(«,, a,)

II 3 (a,, «0 = 3— ■ ■ — a, 1 3( a,, a2

a) a2yV,{ax, a,) — aa. M7!»,, a») a]a7Tx (a,, a.)

a]a2Y2(a,, a,) + ia\a,T{al,a2) id\

a; a2 M^fa,, «2 ) — aa? *F2(«,, a.) -+- a\ a2W,(a„ a2

«j a,r3(«,, cii) -+- a'\ a2r, (a,, a2)

«, a2 Wja,, a-.) — ia\ W3{a„ a,) -4- a' a2 W2(a,, a?)

On aura

[~r, — i\ cos(©j

5,) oos(co, — ffl, )'

r [-TC0!» aO + r,(«,, «2)cos(<p2 — <p,) + r2(a,, a,) cos3(<?ï — <p, ). . .]

— n—^ xt [ll(«i, a2) -+- !!,(«,, a2) cos(<p2 — 9,) + Ils (a,, a2) cos2( cp2 — <p,). ..]

— n— -f x2[xY(a„a2)-^-y¥l(al, a,) cos(<p2 — e>,)4-lF2(a,, as) cos?.( cp2 — tp, )...].

C'est la partie de la force R, qui résulte de l'action du satellite

(Article X).

Soit de plus

a]aiTi[a„a,) — ia\ a2T(a„ a2) a' 2 a;

=p , ■ , a, a2Ts(al, a2) — a*a2r,(a,, a2)

ji 5 «* a2n2(a,, #,) — 2a, a, II(a,, a3)

Q2(rt| a\ — 3 «î «* n3(«,, a,) — a; «2 II, (g„ a,)

yi(«„a,) = 3g'a'y'(a|'a')-2fl'a'V^'a'Uf(a„a,)-3gI,

2 ft-'

?,(*„ «2) = 3 "î«^(«-.*o-«:*y.(«..«.) + îi(flij ft)f

On aura

i 2^.n(cp2 — <p,') sin((p2 — 9,

®2 rs

[/•2sii)(9, — 9,) sin((p2 — 9,)H

ri(H-/>|)2

- ■^rLri(«1,«2)sin(cp, — 9,) + f2(«,,a2)sin2(92 — 9,) — n — ■£■ x, [n,(a,, «2) sin(

' 'Sfi— 9,) + n2(a„ a2)sin2(92 — 9,) + . . .

— n—22 x, [¥,(a,, a2)sin (9,— 9,) + Y,(a„ a»)sina(<pj — 9,) + . . .] .

C'est la valeur de la force Q(, en tant qu'elle vient de l'action du satellite C2.

Enfin on trouvera

z, [a] Y{a„ a2)-+-a] T,{a„ a,) cos(<p2— <p,)-i-a' Tt(a„ a2) cos2(92— 9,)-

-+- «^ «2r2(«i, a2) cos2(cp2 — cp,) +■ ■ • •

C'est la partie de force P,, qui vient de l'action du même satellite @2.

On changera maintenant dans les expressions précédentes les quantités ©2» a2, <p2, x2, Zn en @3, a3, <p3, a?3, z3, et en ©.,, a4, <p4, a?.,,, s,, successivement, et l'on aura les valeurs de R,, Q,, P,, dues à l'action des satellites ®„ ©».

Il ne restera donc plus qu'à chercher les valeurs de ces mêmes foires, en tant qu'elles viennent de l'action du Soleil.

Pour cela nous remarquerons d'abord que le rayon p, de l'orbite de . Jupiter est considérablement plus grand que le rayon r de l'orbite d'un satellite quelconque; d'où il suit que la valeur de ft, qui est exprimée généralement (Article XV) par

\jp\ — 2p,rcos(^ — 9) -+- r''(i+ p2

se réduira en une suite très-convergente, dont il suffira de prendre les premiers termes; on aura donc

i i 3r cos(i|; — 9)

donc

p, COS (iL — q> COS (é — 9 3r r ,, .,

^ — h --— — = r[n- cos2 A — co ],

sin(<^ — 9) sin(<l; — cp) 3r . tj î ^-4 — — = — r sin 2 ( 4* — <p ),

Soient à présent a la valeur moyenne de p, et m la valeur moyenne

de -j-i c'est-à-dire la vitesse angulaire moyenne de Jupiter autour du

Soleil.

On supposera, à l'imitation de ce que nous avons fait (Article IV),

p, = «(î -+- n'i), <ii = ml -+- ni.

Dans ces formules, nS, représente l'équation de la distance de -Jupiter au Soleil, et n] l'équation du centre de Jupiter; lesquelles sont connues par la théorie de cette Planète. En effet, en n'ayant égard qu'aux équations elliptiques, et supposant que ne soit l'excentricité et U l'anomalie moyenne, on a à très-peu près

£ = eeosU, J = — 2esinC On aura donc

— = — (i -h nx)(i — 3ra£) = — - (i -\- nx — 3 ni;); p ', a a?

donc enfin

r»' — pi cos(4| — 91) cos(4' — <pi)~|

l^-j-[i -+- 3cos2(iJ; — 9.)] ~ n ' "3 (x> — 3 £ ) [ 1 H- 3 cos 2 (<\i — 91)])

102 KECHEUCHES SUR LES INEGALITES

fp, sin(i|' — 9') sin(^ — ?i)1

à' Pi J

= sin2(ai — <Pi ) + « r- (^i — j£1 sinafu/ — cp, ),

?.as T T ia? T T

Ce sont les valeurs des forces R, , Q, , P,, qui viennent de l'action du Soleil (Article XI).

En joignant ensemble toutes ces différentes valeurs, on aura les valeurs complètes des forces R, , Q,, P, exprimées de la manière suivante

- -~r — [r(a,,a3) + r, («,, a3) cos(cp3 — 9,) +...]

- -™A -r [r(ffli, a.i) 4- r,(«,, «4) C0S(<», — ep,) -+-. . .] a','9 VTI , ,. Nn

— re-™= — j-*' n( a,, a2) + n,(a,, a2) cos(a>, — 9,) -+-. . .

— /?, -^5 -X, [II(a,, «3) + IIi(«,, «3) COS(93 — 9,) -t-. . .J

— « -™ — -#, |II(a,, a«) -t- EL(a,, a4) cos(9s — 9,) 4- . . . J

— »— -™ -Xiï + feosa iL — 9,)

— » -Fjp- —jx/iK¥{at, a.) ■+■ WAa„ a2)cos(9, — 9,) -f-. . .]

— n~- — a73[vF(a,, a,) -f *?,(«„ «3) cos(93 ■— 9;) +. . .]