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tique; mais il faut pour cela intégrer deux fois autant d'équations de la forme de celles du n° 16 qu'il y a d'orbites mobiles a considérer.

19. M. de Lalande a donné, dans les Mémoires de l'année 1758, le calcul du mouvement annuel des noeuds de l'orbite de cbacune des six planètes principales sur les orbites de toutes les autres, regardées comme fixes; on aura donc par là les valeurs des coefficients (o, 1), (o, 2),...; mais, comme M. de Lalande a adopté pour les masses des planètes les déterminations de M. Euler, lesquelles sont un peu différentes de celles qui résultent des dernières observations du passage de Vénus, nous avons cru devoir changer les valeurs des mouvements des nœuds, trouvées par M. de Lalande, en sorte qu'elles répondent aux valeurs des masses établies par ces observations, et qui se trouvent dans la Connaissance des Temps de l'année 1 774-

Les logarithmes des fractions qui représentent les masses de Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne (celle du Soleil étant prise pour l'unité), telles que M. de Lalande les a employées dans l'endroit cité, sont

3,37345, 4,39467, 4,77 139, 3,03666, 6,97184, 6,51985; mais, d'après la Connaissance des Temps, je trouve ceux-ci

Donc, comme les mouvements des nœuds sont (les temps périodiques et les rapports des distances au Soleil demeurant les mêmes) proportionnels aux masses des planètes qui les produisent (17), il faudra multiplier respectivement ceux que M. de Lalande a trouvés par les nombres dont les logarithmes sont les différences des précédents, savoir

Supposant donc que le terme t soit exprimé en années tropiques, et que T, Tt, Tj,.Ts, T4, T5 soient les six planètes premières, suivant l'ordre

de leur grosseur, savoir : Jupiter, Saturne, la Terre, Vénus, Mars et Mercure, on aura les valeurs suivantes

(o, 3) = o,oo5, (i,3) = 0,0007, (2, 3) =6,646, (3, 2) = 6,703, (4,2) = 1,773, (5, 2) = 0,867,

(1, 5) = 0,00002, (2,5) =0,077, (3,5) = o,33o, (4, 5) = o,oi3, (5, 4) = o,o5i ,

Au reste, comme il n'y a que les masses de Saturne, de Jupiter et de la Terre qui soient bien connues, et que les autres n'ont été déterminées que d'après l'hypothèse que les densités sont comme les racines des moyens mouvements, on ne doit regarder comme vraiment exactes que les valeurs des quantités où, après la virgule, il y a un de ces chiffres o, 1, 2 entre les deux parenthèses.

20. Les mouvements particuliers de chaque orbite sur chacune des autres étant donnés, il est clair que c'est un Problème purement analytique de déterminer le changement de position des orbites au bout d'un temps quelconque. Les équations du n° 16 renferment la solution complète de ce Problème dans l'hypothèse que les inclinaisons des orbites soient très-petites; mais, comme ces équations ont été déduites immédiatement de la Théorie de la gravitation universelle, il ne sera peutêtre pas inutile de faire voir comment on y peut parvenir directement, par la simple considération des mouvements particuliers des nœuds de chaque orbite sur chacune des autres, regardée comme fixe.

21. Considérons, pour cet effet, deux orbites seulement, pour lesquelles les lieux des nœuds sur l'écliptique soient w, w( , et les tangentes des inclinaisons 6, 5,, et supposons que la longitude du nœud de la première de ces orbites sur la seconde soit ty, et que la tangente de l'inclinaison mutuelle de l'une à l'autre soit yj; on sait que la tangente de la latitude correspondant à une longitude quelconque <p sera, pour la

première orbite, égale à S sin (y — w), et, pour la seconde, égale à 0, sin(ip — w,); et de même, en rapportant cette orbite-là à celle-ci, la tangente de la latitude correspondant à la longitude <p, comptée sur celte dernière orbite, sera exprimée par vj sin (cp — |).

Or, à cause que les deux orbites sont supposées très-peu inclinées à Pécliptique, il est clair que les tangentes des latitudes doivent être, à très-peu près, égales aux latitudes elles-mêmes; de plus il est facile de voir que le cercle de latitude, correspondant à la longitude f comptée sur l'écliptique, se confondra aussi, à très-peu près, avec le cercle de latitude correspondant à la même longitude ©, mais comptée sur l'une des orbites. De là il est aisé de conclure que la tangente de latitude ri sin (<p — <p) sera à très-peu près égale à la différence des deux tangentes de latitude 0sin(^ — u) et 6, sin(<p — «,), de sorte qu'on aura cette équation

7jsin(<p — <\>) = 0sin(<p — <o) — 0, sin (9 — w,),

laquelle devra avoir lieu, en général, quelle que soit la longitude <p; on aura donc nécessairement ces deux équations particulières

n sin <\i = 0 sin w — 0, sin w,, yi cos<\i = Qcosw — 0, cosw,,

lesquelles serviront à déterminer le lieu du nœud commun, et la tangente de l'inclinaison mutuelle de deux orbites dont on connaît les lieux des nœuds, et les inclinaisons sur l'écliptique. On aura, en effet, par les deux formules précédentes,

tangij;

9 cosw — 5, cosw,

•/) = v/(02 4-0J) — 200,COS(w — w,).

22. Cela posé, imaginons que la première des deux orbites, celle à laquelle répondent les éléments 6 et w, se meuve sur l'autre orbite regardée comme fixe, en sorte que l'inclinaison demeure constante et que le nœud rétrograde avec une vitesse représentée par (o, 1); il est clair

que, dans cette hypothèse, la quantité y? sera constante, et que l'angle ^ variera de la' quantité — (o, i) dt, en sorte qu'on aura

rf(ï)sin4')= rjcos^f — (°> ') dt\, d(n cos^1) = — yi sin^[— (o, i)dt~\;

mais, par le numéro précédent, on a

n sintp == 9 sinw — 6, sinw,, n cos^ = 9 cosw — 9, cosw,;

et, comme l'orbite à laquelle répondent les éléments 0, et u, est regardée comme immobile, pendant que l'autre orbite est supposée rétrograder sur elle de la quantité {o, i)dt, il est clair qu'il faudra regarder, dans la différentiation, les quantités 0t et u, comme constantes, et les quantités 6 et w comme seules variables; c'est pourquoi on aura donc

d(n sinij;) = û?(0sinw), d(n cos^1) = û?(9cosw).

Substituant donc ces valeurs dans les deux équations précédentes, elles deviendront

d(8 sinw) = — (o, i) (0 cosw — 9, cosw,) dt,

rf(9 cosw) = (o, i) (9 sinw — 9, sinw,) dt.

S'il y avait une troisième orbite pour laquelle le lieu du nœud fût w2 et la tangente de l'inclinaison 92, et qu'on supposât que la première orbite dût rétrograder sur celle-ci, regardée comme immobile, avec une vitesse égale à (o, 2), et en gardant la même inclinaison mutuelle, on aurait pareillement, en vertu de ce mouvement,

d(9 sinw) = — (o, 2) (9 cosw — 92 cosuh) dt, d(6cos(x>) = (o, 2) (6 sinw — 92 sinw,) dt.

Donc, si l'on suppose que la même orbite soit mobile à la fois sur les deux autres, il est clair que les différentielles de 0 sinw et de ô cosw

auront pour valeurs la somme des valeurs particulières qui répondent aux vitesses (o, i), (o, 2); par conséquent on aura, pour lors, en divisant par dt,

= — (0-, i)(0 cosm — 0, cosco,) — (o, 2) (0 cosco — 02cosco2),

d{6 cos

(o, 1) (0 sinco — 0, sinco,) + (o, 2 ) (0 sin m — 02 sin&>2).

Il est aisé maintenant d'étendre ces formules à tant d'orbites mobiles, à la fois, qu'on voudra, et, si l'on y met s, s,,... à la place de 5 sinco,

0, sinco,,.. ., et u, u, , . . . a la place de S cosco, 6, cosco , suivant

les dénominations établies plus haut, on en verra naître les équations du n° 16.