Comme l'on a

d( 0 sinw) = 9 coswf/co -+- sinco e?0, d(B cosm) = — 0 sincotfco -+- cosco c/0,

il s'ensuit que, si l'on prend la différence et la somme des deux équations ci-dessus, après les avoir multipliées respectivement par coso et sinw dans le premier cas, et par sinco et cosco dans le second cas, on aura

—j^- = — (o, i)[0 — 0, cos (co — co,)] — (o, 2) [0 — 02 cos(w — wj)],

— = (o, 1) 0, sin(co — co,) -+- (o, 2) 02sin(co — co2) ;

et l'on aura des équations semblables pour les valeurs de rfco,, dô,

Ces équations sont surtout utiles pour déterminer les changements instantanés dans les lieux des nœuds et dans les inclinaisons de plusieurs orbites mobiles les unes sur les autres; mais elles seraient fort difficiles à intégrer sous cette forme.

24. Au reste on doit se ressouvenir que les équations précédentes sont fondées sur l'hypothèse que les inclinaisons des orbites à Péclip-

lique soient très-petites; ainsi elles ne peuvent être regardées comme exactes qu'autant que cette hypothèse a lieu. Si l'on voulait résoudre le Problème, en général, pour des inclinaisons quelconques, il faudrait suivre un autre chemin, ainsi que nous l'avons fait dans un Mémoire particulier sur cette matière, que nous avons donné à l'Académie de Berlin, et qui renferme la solution complète du cas où il n'y a que deux orbites mobiles (*); quant au cas où il y aurait trois orbites mobiles, nous avons trouvé qu'il dépend de la rectification des sections coniques, de sorte que la solution de ce cas, et à plus forte raison celle des cas plus compliqués, échappe nécessairement à toutes les méthodes analytiques connues. Mais, comme les orbites des planètes sont toutes à peu près dans un même plan, et qu'il en est de même de celles des satellites de Jupiter et de Saturne, la solution générale du Problème dont il s'agit serait plus curieuse qu'utile dans le Système du monde.

Article IV. — Intégration des équations qui donnent les mouvements des nœuds et Les variations des inclinaisons des orbites planétaires .

25. Les équations qu'il s'agit d'intégrer sont celles du n° 16, dont le nombre est, comme l'on voit, double de celui des orbites mobiles; or, pour peu qu'on considère la forme de ces équations, on verra aisément qu'on y peut satisfaire par les valeurs suivantes

s = A cin(at -t- oc), u = A cos{at ■+- a), s, = A,sin(at -h a), u, = A, cos(al ■+- a), s,= A2sin(at + a), u2= A2cos(a* -+- a),

où a, a et A, A,, A2,... sont des constantes indéterminées. Les subslitu-

(*) OEuvres de Lagrange, t. IV, p. m.

tions faites, on aura ces équations de condition

a A •+- (o, i)(A — A,) -H (o, 2) (A — A2) +.. . = 0, aA,-t- (1, o)(A, — A) + (1, 2) (A, — A2) -*-. . .= 0, «A,+ (2, o)(A2 — A) -H (2, i)(A2 — A,) 4-. ..= 0,

dont le nombre est égal à celui des quantités A, A,, A2,..., et n'est par conséquent que la moitié de celui des équations différentielles, en sorte qu'il est égal au nombre des orbites mobiles.

Supposons que ce nombre soit n; on aura donc n constantes indéterminées A, A,, A2,..., et n équations entre ces constantes; mais, en éliminant successivement ces mêmes constantes, on verra toujours que la dernière s'en ira d'elle-même, en sorte qu'il en restera nécessairement une d'indéterminée; et l'on trouvera pour équation finale une équation en a du degré nième, laquelle servira par conséquent à déterminer la constante a.

Il restera donc deux constantes indéterminées A, par exemple, et a; et, comme l'équation qui doit donnera est du nu'me degré, on en pourra tirer n valeurs différentes de a; moyennant quoi on aura n valeurs particulières de cbacune des in variables s, s,, s2,..., u, «,, u2,..., lesquelles satisferont toutes également aux équations différentielles données; et il est facile de voir, par la nature même de ces équations, que, pour avoir la valeur complète de cbacune des variables dont il s'agit, il n'y aura qu'à prendre la somme des n valeurs particulières de la même variable, en donnant différentes valeurs aux constantes arbitraires.

Si donc on dénote par a, b, c,.. . les n racines de l'équation en a, et qu'on prenne n coefficients arbitraires À, B, C,... et autant d'angles arbitraires «, p, 7,..., on aura

s = A sin(a< + a)-f-B sin(6<-i-(3)-t-C sin-( c* •-+- y j -j- . . . ,

s, == A,sin(af -h a) + B,sin(6< -f- (3) -t- Cisin(c£ -h y) -t-. . .,

s2= A2sin(aJ-f- a) -t- B2sin(6* -t- (3) -4- C2sin(c£ -+- y) ■+-. . . ,

u = A cos(at+ a.) H- B cos{bt -+- (3) -t- C cos(c*-i- y) -f-. m, = A,cos(«f -h a) -+- B, cos(6i -+- [3) -i- C, cos(c/-i-y) -4-. m2= A2cos(tfi+ a) -t-B, cos(èi -t- (3) -t- C2cos(e<-f- y) -+- .

les quantités B(, B2,... devant être données par B et b, et les quantités C,, C2, . . . devant l'être par C et c, et ainsi des autres, de la même manière et par les mêmes équations que les quantités A,, A2)... le sont par A et a.

26. Pour déterminer maintenant les 2n constantes arbitraires A, B,

C,..., a, /5, 7 il faudra supposer que l'on connaisse les valeurs des

2n variables s, s,, s2,..., u, u,, u2,... pour une époque quelconque, par exemple, lorsque t = o, et, désignant ces valeurs données par S, S,, S2, . . . , U, U,, U2, . . . , on aura les équations

S = A sin a. -t- B sin (3 -t- C sin y -+- . . ■. , S, = A, sin oc. -+- B, sin (3 -t- C, sin y -t- . . ., S2 = A2sina 4- B2sin(3 -t- C2siny -(-. .

U = A cosa -+- B cos(3 -+- C cosy U, = A, cosa -+- B, cosp -t- C, cosy U2 = A2cosa -t- B2cos(3 -+- C2cosy ■

lesquelles, étant aussi au nombre de 2n, serviront à déterminer toutes les constantes dont il s'agit.

Quoique cette détermination soit toujours facile dans les cas particuliers, au moyen des règles connues de l'élimination, cependant, si l'on voulait traiter la question, en général, pour un nombre quelconque d'orbites mobiles, on tomberait nécessairement dans des formules trèscompliquées et dont la loi serait difficile à apercevoir; c'est pourquoi

j'ai cru devoir chercher une méthode particulière pour remplir cet objet, et je me flatte que celle que je vais donner pourra mériter l'attention des Géomètres, tant par sa simplicité et sa généralité que par l'utilité dont elle pourra être dans plusieurs autres occasions.