Considérons les n équations
S = A sin a -+- B sinp -+- C sin y. -+-. . . , S, = A, sin y. -t- B, sin (3 + C, siny + . . . , S2 = A2 sin a -+- B2 sin (3 -t- C2 sin y -+- . . .,
Il est visible que toutes les opérations qu'on fera sur celles-ci pourront s'appliquer aussi aux autres équations, en changeant seulement les quantités S, S,, S2,... en U, U,, U2,..., et sina, sinj3, sin-/,... en cosa, cos(3, cos-y
On formera d'abord les quantités suivantes
dont la forme est, comme l'on voit, analogue à celle des équations différentielles proposées (16); il est aisé de prouver, en substituant les valeurs ci-dessus de S, S,, S2,... et ayant égard aux équations de condition du n° 25 , lesquelles doivent avoir lieu également entre les quantités a, A, A,, A2, . . . , b, B, B,, B2, . . . , c, C, C,, C2, . . . , il est aisé de prouver, dis-je, qu'on aura
S = ak sina -t- 6B sin (3 ■+- cC siny n-. . ., S, = aA, sina -t- 6 B, sin (3 -i- cC, siny -+-..., Si =aA, sina ■+- èB2sin(3 -t- cC2siny +. . .,
Ensuite, de la même manière que les quantités S01, S1^', S1^,. .. sont formées des quantités S, S4, S2,..., je forme les quantités S(5), S'f, S^,... de celles-ci S , S/, S2,..., et pareillement je forme les quantités S ', S/, S2,... des quantités précédentes Sl2>, S(,!>, S(22), . . . , et ainsi de suite; j'aurai, en vertu des mêmes équations de condition, les équations suivantes
S(2)= a2 A sina -t- 62B sin 3 ■+- c'C siny -t-.
S,2' = a2A,sina: -+- 62B,sin(3 -+- c2C,siny +.
S22 = a2A2sina: -t- 62B2sinS -+- c2C,siny -4-.
Sl3>= a3 A sina -+- è3B sin 3 -t- c'C sin y 4-. . . S!,3' = a3 A, sina -+- 63B, sin 3 + 6-3C,siny -!-... S23) = a3A2sina -t- 6*B2sinS -1- c3C2s.iny ■+-...
et ainsi de suite.
Il faudra continuer ces suites d'équations jusqu'à la niè'"e inclusivement, laquelle sera donc représentée ainsi
S "-1 = a"-' A sin a -+- b"~' B sin 3 -+- c"~' C sin y ■+■ . . . , g(n-o__ a»-i^iSina , ft»-iB, sin ,3 + c"-'C, siqy -+-. . . , S, = a"-' A2 sin a -+- b"-' B2 sin 3 -+- c"-' C2 sin y ■+- . . .,
Cela posé, je considère l'équation dont les racines sont a, b, c,..., et je la représente, en général, par
x" -+■ 1 x"~' -t- [J. x"~' -+■ y x"~3 -+- us x"~i -+- . . . == o,
,en mettant a; à la place de a pour plus de généralité. J'élimine de cette équation une des racines, comme a, en la divisant par x — a, ce qui
660 RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS SÉCULAIRES me donne le quotient
x"~l + (a -+- 1) x"~2 -t- (a2 -+- 1 a -t- [x ) x"-3 -4- (a3 ■+- 1 a- -t- fx a ■+■ v ) a"~' -+- . . .
Cette équation n'aura donc plus pour racines que les n — i quantités b, c,..., de sorte que son premier membre ne deviendra égal à zéro qu'en faisant œ=b, ou x=c, ou ...; mais, en faisant x=a, il deviendra
n a"-' -+- ( n — i)l a"~2 4- ( n — 2 ) fx a"~3 -t- . . . .
Si, dans l'équation précédente, on change a en b ou en c, ou ...; on aura une équation qui sera vraie pour toutes les racines, excepté b,
ou c,
Je suppose maintenant que je veuille déterminer les valeurs des n quantités Asina, Bsin/3, C sin-y,...; je n'aurai qu'à prendre les n équations
S = Asina + Bsin(5-f- Csiny -t-. . ., S n = a Asina -t- b Bsinf3 -+- c C sin y -+- . . ., S( =«2Asina -+- i-Bsinp -+- c'Csiny +. . .,
: a"—' A sin a -+- b"~' B sin (3 -+- c"-1 C sin y
et les ajouter ensemble après les avoir multipliées respectivement par les coefficients de l'équation ci-dessus pris à rebours, c'est-à-dire, en commençant par le dernier
Il s'ensuit de ce que nous avons dit sur la nature de cette équation que le coefficient de la quantité Asina deviendra
ii a"~' -+- ( n — i ) A a"~2 -h (n — i ) \x a"—3 ■+- . . . ,
et que les coefficients des autres quantités Bsin/3, Csin-y, ... deviendront tous nuls à la fois; de sorte que, divisant toute l'équation par le
coefficient de Asina, on aura sur-le-champ la valeur de cette même quantité. Donc
A sin a = ( a"-' -+- 1 a"-2 -l- p. a"~3 -+- v a"-1 -+- . . . ) S + {a"~2 -+- 1 a"-3 -+- \j. a"-' -+- . . . ) S'1' + (a^ + k"-' + ...)SW,
-(- (a + ^SM + SI-1), divisée par
On trouvera de même les valeurs des quantités B sin/3, Csin-y, . . . , et il n'y aura pour cela qu'à changer, dans l'expression précédente de A sin «, la racine a successivement en b, c, . . . .
Si l'on traite d'une manière semblable les n équations
S, = A,sina+ B, sin[3+ Csiny +. . ., 8e," = a A, sin a -+- b B, sin (3 -+- c C, sin y -t-. . ., S',2 = a2 A, sina -+- 6!B, sin(3 + c?C, siny + . . .,
on déduira les valeurs des n quantités
A, sina, B, sin(3, Csiny,...; et il est clair que ces valeurs ne différeront de celles de
Asina, Bsin(3, Csiny,...,
trouvées ci-dessus, qu'en ce que, à la place des quantités S, S(,), S(2),...,
il y aura les quantités S,, S, , S," ;
De là il est facile de conclure que, si dans les mêmes valeurs de
Asina, B sin (3, Csiny,...
on met à la place des quantités S, S(1), S(2),... les quantités S,, S,1,
S(.f, .... ou S3, Sg5, Sg' , ou on aura les valeurs des quantités
A2sina, B2sin(3, Csiny,...,
ou
A3sina, B3sin(3, Csiny, ...,
ou ... .
Enfin, si dans les valeurs précédentes on change les quantités
S, S„ Ss, . . . ; S!", S1,", S21J, ... ; S'% S',2', S1,2', ...;...
en
U, U„ U?, ... ; Uw, U?', UV , - - - ; U'", Uf, U(,2), ...;...
(ces quantités UU), U1,'1, U^,,..; Ul2;, U1;1, iÇ, ...;.. . étant formées
des quantités U, U(, U2 , de la même manière que les quantités
Sw, S'î1, S^,...; Su), S;1, §!';,..!,. le sont des quantités S, S„ S,,...), on aura les valeurs des quantités correspondantes
A cosa, B cosjâ, C cosy, ..., AiCOSa, B, cosp, C, cosy,..., A.cosa, B2cos(3, Ccosy, ....
28. Au reste, dès qu'on aura trouvé les valeurs des quantités
Asina, Bsin(3, Csiny,..., et Acosa, Bcosp, Ccosy, ...,
on pourra d'abord déterminer celles des coefficients A, B, C,... et des angles a, ]3, •/,...: après quoi il suffira de chercher encore les valeurs des quantités
A.sina, B, sin(3, Csiny,...; A2sina, B2sin(3, Csiny,...
pour pouvoir déterminer celles des autres coefficients A4, B,, C,,..., A2, B2, C2r..., ou bien on pourra, si on l'aime mieux, employer les équations de condition du n° 25 pour déterminer les quantités A,, A2>... en A; et, comme les mêmes équations doivent avoir lieu entre les quantités B, B,. B2 , ainsi qu'entre les quantités C, C,, C2, ...,..., en changeant
seulement a en b ou en c,..., on aura également les valeurs de B,, B2,... en B, de C(, C2,... en C, et ainsi des autres.
29. S'il n'y a que deux orbites mobiles, les équations de condition
du n° 25 seront
( i , o ) A — [a -+- ( i , o) ] A , == o ; d'où l'on tire cette équation en a ou en x (en changeant a en x)
laquelle est évidemment du second degré.
Si les orbites mobiles sont au nombre de trois, on aura ces trois équations de condition
d'où l'on tirera par les formules connues cette équation finale en a ou en x
-[x-h(o,i)-h(o, a)](i,a)(a, 1) — [jm-(i, o)-t-(i, a)](o, a) (2,0)
laquelle est, comme l'on voit, du troisième degré.
S'il y avait quatre orbites mobiles, on aurait alors ces quatre équations de condition
[a-h (o, 1) 4- (o, 2) -+- (o, 3)] A — (b, 1) A, — (o, 2) A2 — (o, 3) A, = o, (i, o) A — [a -+- (1, o) -mi, 2i-f-(i, 3)] A, -+- (1, 2) A, -t-(i, 3)A3 = o, (2,0) A + (2,1-) A,, — [a H- (2,0) -t- (2, 1) + (2, 3)] A, -h .(.2, 3)A., = 0j (3,o) A -4- (3, i)A, -+-(3, 2) A2 — [« + (3,-o) + (3, 1) -t- ( 3, 2)] A3= o,
lesquelles donneraient sur-le-champ celle-ci en a ou en x,
[ar4-(o, i)-h(o, 2)-4-(o, 3)][a?4-(i, o)-f-(i, 2) 4-(i, 3)] X [>4-(2, 0)4- (2, i)-t-(2,3)][a? + (3, 0)4- (3, i)-f-{3, 2)]
équation qui étant ordonnée par rapport à l'inconnue x montera au quatrième degré; et ainsi de suite.
30. Si l'on développe les équations précédentes, on verra que leur dernier terme disparait toujours par la destruction mutuelle des quantités qui le composent; d'où il suit que chaque équation sera divisible par x, et aura par conséquent x = o pour une de ses racines. C'est de quoi on peut aussi se convaincre, à priori, par la forme même des équations de condition du n° 25, car il est clair qu'on peut satisfaire à ces équations en faisant
a = o et A = A 1 = À2, ... ;
de sorte que a = o sera nécessairement une des racines de l'équation en a. On voit aussi par la que les valeurs de A, A,, A2,..., qui répondent
à cette racine a = o, sont toutes égales entre elles. Par conséquent les expressions de s, s„ s2,..., u, u,, u2,... deviendront
s = Asina + B sin(bt -+- (3) -+- C sin (et -h y) -h . 5, = A sina-f- B, sin(ô/ -t- (3) + C, sin(ct-hy) -+-. s2= Asina -t- B, s'm(bt -+- (3) 4- C2 sin(ct 4-y) +.
u =Acoso: + B cos(bt -+- (3) -+- C cos(c£ + /)+..'■. H, = Acosa + B, cos(^ + (3) -f- C, cos(c/ -+- y) +. .. n,= Acos<x-h~B2cos(bl +p)+ C2cos(c/ -h y) h-, . .
dans lesquelles 6, c,... seront les racines des équations ci-dessus en x, après qu'elles auront été rabaissées par la division par x.
Ainsi, dans le cas de deux orbites mobiles, la quantité b sera donnée par l'équation du premier degré
Dans le cas de trois orbites mobiles, les quantités b et c seront données par l'équation du second degré
et ainsi de suite.
31. Avant de terminer cet Article, nous devons encore remarquer que, quoique nous ayons supposé que toutes les racines a, b, c,... de l'équation en x soient réelles et inégales, il peut néanmoins arriver qu'il y en ait d'égales ou d'imaginaires; mais il est facile de résoudre ces cas par les méthodes connues : nous observerons seulement que, dans le cas des racines égales, les valeurs de s, s,, s2,..., u, u,, u*,... contiendront des arcs de cercle, et que dans celui des racines imaginaires ces valeurs contiendront des exponentielles ordinaires; de sorte que, dans l'un et l'autre cas, les quantités dont il s'agit croîtront à mesure que / croît; par VI. Si
conséquent la solution précédente cessera d'être exacte au bout d'un certain temps (23); mais heureusement ces cas ne paraissent pas avoir lieu dans le Système du monde (*).
Article V. — Remarques sur les mouvements des nœuds et les variations des inclinaisons qui résultent des formules trouvées dans V Article précédent.
