lang-w
ce qui donnerait, après les réductions, cette équation différentielle
rfoi bW-h rC-h ...-{- b AB cos (bl-t- fi — c/.)-heACcos{el-hf— g)-)-...-t-(l>+c)BCcos[(fr— c)t+$— 7~| dt ~ (A.'-i-B'-i-C2-i-...)-i-2ABcos(6<-(-p— a)-f-2ACcos(rt+7 — a) -t-...+2BCcos[(6 — c)/+p — 7] -
(*) Il convient de rappeler ici que les résultats qui précèdent ont été reproduits avec des développements étendus dans la Théorie des variations séculaires des éléments des planètes insérée dans les Mémoires de l'Académie de Berlin, année 1761. Voir le tome V des Œuvres de Lagrangc, p. 125. [Note de l'Éditeur.)
d'où l'on pourra tirer par l'intégration la valeur de l'angle w. Si l'on suppose
6B2+cC2+...+6ABcos(fo+f — a)+cACcos(c/-+-7—z)-i-...-^(6-t-c)BCcos[((!'-c)<-f-fi —7] -+-...=
on a l'équation qui donne les maxima et mininia de l'angle w; si donc cette équation est possible, l'angle œ sera renfermé dans des limites données, et le nœud n'aura par conséquent qu'un mouvement de libration; mais, si l'équation dont il s'agit est impossible, il n'y aura alors ni maximum ni minimum; l'angle w croîtra donc continuellement, et le nœud aura nécessairement un mouvement continu et progressif.
34. Pour mettre ce que nous venons de dire dans un plus grand jour, considérons le cas où il n'y a que deux orbites mobiles; on aura dans
ce cas
A sina -+- B sintbt -+- fi)
tango = -7 =: tj- -^ri
Acosa -+- Bcos{bt ■+- (3)
et de là
du 6B[B-f-Acos(6ii+fi — «)] dt ~ A2-t-B2+2ABcos(^ + (3 — «)'
l'équation du maximum ou minimum sera donc
B 4- Acos(6* -+- fi — a) = o, laquelle donne
cos(i* + (3 — «)= — -r-
Cette équation n'est possible, comme l'on voit, que lorsque B = ou < A, abstraction faite des signes : dans ce cas donc le nœud de l'orbite de la planète T n'aura qu'un mouvement de libration; mais si B>A, alors l'équation deviendra impossible, et le nœud aura par conséquent un mouvement progressif sur l'écliptique.
35. Pour déterminer ces mouvements du nœud, nous allons chercher la valeur de l'angle w par l'intégration de l'équation ci-dessus. Faisant,
pour abréger,
bt + (3 — a. = 9,
668 RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS SÉCULAIRES on aura donc à intégrer l'équation
B2-+- ABcoscp . da i (B2 — A*)t/<p
dw ~ A'-f-BH-2ABcos<p ? ~ T + 2 AJ+ B1 -+- aABcosip '
or j'observe que, si l'on prend un angle i]> tel que l'on ait
tang^=B+ÂlanS2'
on trouve, par la différentiation,
rf. = 1 (B'-A')</q> ,
^ 2 A2 H- B2 H- 2 AB coscp '
d'où il s'ensuit qu'on aura
et, en intégrant,
da = — H- (/<];,
eu = - -t- y "+" mi
m étant une constante qui sera égale à la valeur de w lorsque <p = o, parce que tp est aussi égal à zéro dans ce cas; or, en faisant y = o, on a
bt + (3 = a,
et, substituant cette valeur dans l'expression ci-dessus de tangœ, il vient
sina
langw= = langa:
cosa
donc a — a; par conséquent ?n = a; de sorte qu'on aura, en général,
Maintenant il est clair que, si B> A (abstraction faite des signes), la
quantité = — - sera toujours positive, quels que soient les signes de B
et A; de plus, si A et B sont de même signe, cette quantité sera toujours < 1 ; au contraire elle sera >i, si A et B sont de signes différents.
Dans le premier cas, on pourra donc supposer
B -t- A et l'on aura l'équation
tangy = cos/j tang -,
laquelle fait voir que l'arc di est la base d'un triangle sphérique rectangle, dont - est l'hypoténuse et h l'angle compris. On pourra donc regarder
l'arc - comme l'argument de latitude, l'arc ty comme la distance au nœud,
en prenant /Tpour l'inclinaison de l'orbite, et alors la différence - — ty
sera ce qu'on appelle la réduction à l'écliplique, dont la valeur est alternativement positive et négative. Désignant donc cette réduction par p, on aura
donc
et par conséquent
d'où l'on voit que la valeur moyenne de w, c'est-à-dire, le lieu moyen
du nœud, sera 6*4-/3.
Dans le second cas, c'est-à-dire, lorsque A et B sont de signes différents,
on pourra faire
B -t- A ~~ cos h '
et l'on aura l'équation
tang- = cos« tangq;.
Dans ce cas <f sera l'argument de latitude, - la distance au nœud, et,
nommant la réduction a, on aura
iL — - — (y;
donc
Y = — •" ff>
et par conséquent
63 = cp + a. -h a = bt + (3 + c- ;
de sorte que le lieu moyen du nœud sera aussi bt -+- 13. Mais, si B < A (abstraction faite des signes), la quantité g-jr^ sera
toujours négative, par conséquent la quantité v—g sera toujours positive; ainsi il n'y aura qu'à prendre l'angle <b négativement, et l'on aura l'équation
tang+ = ÏTÏtang-, dans laquelle A >B, et qui donnera comme ci-devant
si A et B sont de même signe, ou
si A et B sont de signes différents; mais, en faisant ^ négatif, la valeur de 6> deviendra
m = tu + « ;
donc, substituant la valeur de t|>,- on aura, dans le premier cas,
w = ce -+- p, et dans le second
d'où l'on voit que le lieu moyen du nœud sera a, et par conséquent fixe.
Enfin, si B = A, on aura tang^ = o; donc $ = o et
9 bt + S -I- a a=- + et= ;
et, si B = — A, on aura tang^ = co ; donc ^ = 900, et
„ bt + &-'r-<X
m = qo° -I ~
S6. On peut encore trouver la valeur de l'angle w par le moyen de sa tangente, sans employer aucune différentiation ni intégration. En effet on a, comme l'on sait,
2 w y/— 1 = loge'V- ' — loge-'V-' = log (cosco + sin w <J— 1 ) — log (cos <w — sin&> y/— 1 ]
, cosw + sincV— 1 , 1 4-tangwyA-i
= 1og— v — =Iog v — ;
cosw — sinwy/— [ 1— langtuy/ — 1
qu'on substitue donc dans cette formule la valeur de tangw, en faisant,
pour abréger,
bt -f- (3 = Ç,
1 , A(coso: + sin«y/^7) + Bfcosg-j- singy/— 1)
2 y/— 1 A (cos a — sin a y/— 1) + B(cos£ — sinÇ y/— 1)
1 , Ae^-' + BcW-1 los
2\J—i Ae-V-' + Be-^-1 Supposons d'abord B > A; on mettra la valeur de m sous cette forme
e^ri+^et»-')^!
w=— ^=log = j— — J=
2y/—i «-îfi i+J.rMJfJ
Iog[.+ i«(^)/^] -log[i+ Ae-(«-C)s/-J
réduisant ces deux logarithmes en série, on aura
AêM)(/~-e-('-ï)^ A2 *'(«-') \/- —e-^-^W-i
ou bien
Asin(a— Ç) A2sin2(a — Ç) A3sin3(a — Ç)
iB2 3B3
Comme -^ est supposée une quantité moindre que l'unité, il est clair
que la série précédente sera toujours convergente, et par conséquent d'autant plus exacte qu'on la poussera à un plus grand nombre de termes; d'où il est aisé de conclure que la valeur moyenne de w sera Ç ou bien bt+ (3, comme on l'a trouvé ci-dessus. Mais, si B< A, alors il n'y aura qu'à changer, dans l'expression précédente de co, A en B, a en Ç, etvice versa, ce qui ne change rien à la valeur de lange», et l'on aura par ce moyen
Bsin(Ç — a) B2sin2(Ç-a) B»sin3(Ç-«) w = a+____ 2A, -3ÂT- -+••■•
Cette série sera aussi convergente à cause de — <i; par conséquent
on aura dans ce cas a pour la valeur moyenne de m, ainsi qu'on l'a déjà vu plus haut.
37. On peut aussi appliquer la méthode précédente à la formule générale du n° 32, et l'on trouvera, en faisant ht + (3 — - Ç, et -h y = £,...,
loff(Aea^-t-Be^3I-+-Ce^~ -î-...) log(At--B <~ + Bc-'^~- Ce~^~-...) w = — — ;
on réduira ces logarithmes en séries, en commençant par le terme dont le coefficient sera le plus grand, pour avoir des suites convergentes, et il n'y aura plus qu'à substituer les sinus à la place de leurs valeurs exponentielles imaginaires; mais il faut remarquer qu'on n'aura de cette manière une série véritablement convergente dans tous les cas, à
moins que le plus grand coefficient ne surpasse la somme de tous les autres pris positivement.
Supposons, par exemple, que A soit plus grand que la somme de B, C,...; alors on réduira le logarithme de
AW^ + Be^ + Cfi5^-*-. . .
dans la série
l0gA-l-av/-l H 7 — ry
donc, changeant le signe de y/— i et prenant la différence des deux séries, on aura, après l'avoir divisée par 2 y/— 1 , et y avoir substitué les sinus à la place des exponentielles, on aura, dis-je,
B2sin2(Ç— a) -t-2BC sin(Ç-i-?— aa)-i-C2sina(?— a) -(-...
Cette série sera, comme il est facile de le voir, toujours convergente, et approchera d'autant plus de la vraie valeur de w qu'on y prendra plus de termes; d'où il s'ensuit que a sera la valeur moyenne de w. En général, on peut conclure de là que, lorsque l'un des coefficients A, B, C,... surpasse la somme des autres, la valeur moyenne de l'angle w sera égale à l'angle même, dont le sinus et le cosinus seront multipliés parce coefficient clans la valeur de tango.
38. Pour ce qui regarde la tangente 0 de l'inclinaison de l'orbite, il est clair qu'elle sera toujours nécessairement renfermée dans de certaines limites, à moins que les racines b, c, . , . ne deviennent égales ou imaginaires (31, 32).
S'il n'y a que deux orbites mobiles, on aura
e=z v/A24-B2-i-2ABcos(/'M- (3 — a);
et il est visible que les deux limites de Q seront A -t- B et A — B.
En général, il est facile de voir que la valeur de Q sera toujours néces- VI. - 85
674 RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS SÉCULAIRES sairement renfermée entre la plus grande et la plus petite des valeurs de
la quantité
en prenant les signes à volonté; mais, si l'on voulait déterminer exactement les maxima et les minima de 0 , il faudrait résoudre l'équation
b AB sin {bt-i-$— a) -+- c AC sin (ct-t-y — a.) -t- . . . + (b — c) BC s\n[(b — c ) t + (3 — 7] -+- . . . = o,
ce qui ne sera pas facile lorsqu'il y aura plus d'un terme.
39. Tout ce que nous venons de dire ne regarde que la position de l'orbite de la planète T rapportée à l'écliptique; mais on peut l'appliquer immédiatement aux orbites des autres planètes T,, T2,..., en substituant seulement à la place des quantités A, B, C,... les quantités A,, B,, C,,..., A2, B2, Co,.... Enfin il est facile d'appliquer la même Théorie à la position relative des orbites, d'après ce qu'on a démontré dans l'Article III (21).
En effet, pour déterminer, par exemple, la position de l'orbite de la planète T à l'égard de celle de la planète T,, on aura, en conservant les dénominations du numéro cité, les deux équations
7] sin q/ = 9 sin m — 0, sinu, — s — s,,
■/] cosij/ = ôcosw — 0, cosw, — u — u, ; donc (30)
7isiniJ/=:(B — B,)sin(6«-i-(3)-h(C — C,) sin(cZ-t-y) +. ., 7]C0s| = (B — B,)cos(6*h- (3) h- (C — C,)cos(ci + y) +. . .,
où <|> est la longitude du nœud, c'est-à-dire, de la ligne d'intersection des deux orbites, et vj la tangente de leur inclinaison mutuelle.
Comme ces expressions de yj sinip, •/jcostf sont entièrement semblables à celles de Ssinw =s, 9 cosw = u, avec cette seule différence que les termes multipliés par A ne s'y trouvent point, et que dans les autres il y a B — B,, C — C,,... à la place de B, C,..., il est facile de conclure, en
général, que, pour appliquer les déterminations du lieu du nœud et de l'inclinaison de l'orbite d'une planète quelconque T, rapportée à l'.écliptique, à celles du lieu du nœud et de l'inclinaison de la même orbite par rapport à l'orbite d'une autre planète quelconque T( , il n'y aura qu'à faire A= o, et changer B, C,... en B — B,, C — C,,...; ainsi nous n'entrerons dans aucun nouveau détail sur ce sujet.
4-0. Voici, au reste, une manière fort simple de trouver la position de chaque orbite au bout d'un temps quelconque, et d'en représenter les divers mouvements. Ayant tracé sur la surface de la sphère un grand cercle qu'on prendra pour l'écliptique, on décrira un autre grand cercle qui coupe celui-là en sorte que la longitude du nœud soit a., et la tangente de l'inclinaison A; on décrira ensuite un troisième grand cercle qui coupe le second en sorte que la longitude de son nœud sur ce même cercle soit ht + 13, et la tangente de l'inclinaison B; on décrira de même un quatrième grand cercle qui coupe le troisième de manière que la longitude du nœud soit et -h y, et la tangente de l'inclinaison C, et ainsi de suite; le nombre des cercles inclinés au premier devant être égal à celui des orbites mobiles, le dernier de tous ces cercles déterminera la position de l'orbite de la planète T, et son intersection avec le cercle de l'écliptique donnera le lieu du nœud et l'inclinaison cherchée de cette orbite.
On fera la même chose pour l'orbite de chacune des autres planètes Tj, T2,..., en conservant les mêmes longitudes des nœuds, mais en prenant, pour les tangentes des inclinaisons, les quantités A,, B,, C^ . , . , A2, B2, C2
De cette manière, on voit que le mouvement du nœud et la variation de l'inclinaison de chaque planète peuvent être regardés comme le résultat des seuls mouvements des nœuds des différentes orbites dont chacune serait mue uniformément sur la précédente en gardant toujours la même inclinaison; et ces mouvements particuliers des nœuds seront les mêmes pour les orbites de toutes les planètes, mais les inclinaisons devront être différentes pour chaque planète.
La démonstration de cette construction est très-facile à déduire des expressions (30) des quantités
s = 9 sin m et u = 6 cos a>
par le moyen des Théorèmes du n° 21 . Ainsi nous ne croyons pas devoir nous arrêter davantage sur cette matière.
Article VI. — Des équations séculaires des nœuds et des inclinaisons des orbites de Jupiter et de Saturne.
41. Pour appliquer la Théorie précédente aux orbites des planètes principales, il n'y aura qu'à employer les données du n° 19. Nous supposerons donc que les planètes T, T,, T2, T3, T.,, T5,... soient Jupiter, Saturne, la Terre, Vénus, Mars et Mercure, moyennant quoi les lettres sans indice se rapporteront a l'orbite de Jupiter, celles avec l'indice i à l'orbite de Saturne, celles avec l'indice 2 à l'orbite de la Terre, et ainsi de suite. Ainsi w sera la longitude du nœud de Jupiter, 6 la tangente de l'inclinaison de son orbite, w, la longitude du nœud de Saturne, 5, la tangente de l'inclinaison de son orbite, et ainsi des autres.
42. Cela posé, je remarque que, parmi les quantités (o, 1), (o, 2),... de la Table du n° 19, ces deux-ci (o, 1) et (1, o) ont des valeurs considérablement plus grandes que les suivantes, où il y a aussi les chiffres o ou 1 avant la virgule; d'où il s'ensuit qu'on pourra négliger toutes cellesci, et les regarder comme nulles vis-à-vis de celles-là.
De cette manière les quatre premières équations différentielles du n° 16 deviendront simplement
ds , . , . du
ds, , . , . du, , .
lesquelles, ne renfermant que les quatre variables s, u, s,, uK, pourront être traitées à part et indépendamment de toutes les autres.
C'est le cas où il n'y aurait que deux orbites mobiles, et ces orbites seront, comme l'on voit, celles de Jupiter et de Saturne, dont les masses sont en effet trop grandes par rapport à celles des autres planètes, pour que celles-ci puissent produire des dérangements sensibles dans la position des orbites de celles-là.
On aura donc (30)
s —A sinec + B sin (bt -s- (3), u --- A cosa -+ B cos(bt ■+■ (3), s, -- ATsTn a + B, sin ( bl -i- (3 ), ir, = Acos«+ B, cos (bt + (3),
et la quantité è sera la racine de l'équation
en sorte qu'on aura (19)
On pourrait maintenant employer la méthode générale du n° 26 pour déterminer les constantes A, B, B,, a, |3; mais il paraît encore plus commode, dans le cas présent, de faire usage de la méthode ordinaire d'élimination.
On commencera donc par déterminer la valeur de Bf en B à l'aide de l'équation de condition (27 et 28)
laquelle, à cause de
donnera
Après cela on n'aura plus que quatre constantes à déterminer, ce qui demande qu'on connaisse les lieux des nœuds et les inclinaisons de Ju-
piter et de Saturne, pour une époque quelconque donnée, pour laquelle
nous prendrons le commencement de l'année 1760.
Or on a, suivant les dernières Tables de M. de Lalande,
s 0 , „ Longitude du nœud de Jupiter pour 1760 3. 8.26. o,
Longitude du nœud de Saturne 3. 21 .36. 17,
Inclinaison de l'orbite de Jupiter 1 . 19. 10,
Inclinaison de l'orbite de Saturne 2.30.20.
Donc
o) = g8°26'o", m, = iii°36'i7",
6 = tangi°i9' 10", 0, = lang2°3o'2o";
d'où l'on tire
s = 0 sinw = 0,022783, u = 9 cosa> = — 0,003378,
s, = 0, sinco, = 0,040684, u, = 0, cosw, = — o, 016112.
Ce sont là les valeurs qui répondent à l'époque de 1 760 ; par conséquent, si l'on suppose que t désigne le nombre des années écoulées depuis cette époque, ou bien de celles qui la précèdent en prenant t négatif, il faudra que l'on ait, lorsque t = o, ces quatre équations
A sin a + li sin (3 = 0,022783,
A cosa -+- B cos[3 = — 0,003378,
A sin a. — 2,3497 B sin (3 = 0,040684,
A cosa — 2,34g7Bcos(3 = — 0,016112; d'où l'on lire
A sina = 0,028127, B sin(3 = — o,oo5344T>
A cosa = — 0,0071800, B cos(3 = o,oo38oi5;
donc, à cause de B, = — 2,3497 B,
B, sin (3 = 0,012557, B, cos[3 = — 0,0089324;
et de là
A = 0,02902g, B = o,oo6558, B, — — 0,01 54 10,
De sorte qu'il n'y aura plus qu'à substituer ces valeurs dans les expressions ci-dessus de s, u, s,, ut ; car, connaissant les valeurs de ces quantités pour un temps quelconque, on trouvera aisément les longitudes w et &), des nœuds de Jupiter et de Safurne, ainsi que les inclinaisons de leurs orbites, dont 0 et Q, sont les tangentes, et cela par le moyen des formules
tangw = -, Q=sji-+u-,
