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Dans ces formules la fonction il et ses différences partielles ne contiendront plus que t de variable, et les différences partielles relatives à t ne devront être prises qu'en faisant varier dans Q. le / qui est affecté du coefficient n.
Le premier terme —r est celui que nous avons considéré dans la première approximation. Dans celle-ci nous allons considérer le terme suivant — j^--, dans lequel Ail ne contient que les premières dimensions des différences Aa, Ab,..., Aa', Ab' ,
11. Je vais commencer par la partie de Ail qui ne renferme que les différences Aa, Ab,... des éléments de la planète m. Cette partie est composée des termes suivants
dQ. . dQ, A . dû K dil . . dQ . dQ . .
-j- Aa -f- -jr- Ab h- -j— Ac -+- -^ A/-+- -j- Ag -+- -jt- Ah. da db de df J dg ° dh
Comme les différentielles da, db,... sont remplacées par celles de Aa, Ab, il résulte de ce que nous avons démontré plus haut (7) que chacune de ces différentielles sera de la forme
(.dQ. ndQ rdQ r(/Q r dil „dQ\',t
A -, i-B^+C-j 1- F -Tj- -h G -j \-U-rr) dt,
\ da db de df dg dh /
dans laquelle A, B, C,... sont de simples fonctions des éléments sans t. Il faudrait donc substituer dans ces fonctions, ainsi que dans il, a -h Aa, b -t- Ab,..., a'-+- Aa', b'-h Ab\... au lieu de a, b,..., a', b',...; mais cette substitution appartiendrait à l'approximation suivante; ainsi on pourra ici regarder les quantités A, B, C,... comme simplement constantes, et
la fonction 0 comme simple fonction de m, rit, ri't, Par ce moyen
il n'y aura de variable que la fonction il, et les valeurs des différences Aa, Ab, Ac,... seront de la forme
. rdQ. , „ rdo. 7 ,, rdo. , , rdo, , rdù , TT rdo. ,
AJda-dt-*-BJMdl + Cjdc-dt + FJ If dt + Gj dg-dt + *j dhdt>
qu'il faudra substituer duns la formule précédente.
Mais j'observe que, si au lieu de substituer ces valeurs on conserve au contraire les quantités Aa, Ab, Ac,..., et qu'on y substitue les valeurs des différences partielles de ù, que nous avons trouvées plus haut (6), en y remplaçant les différentielles da, db, de,... par dAa, dAb, dAc,..., la quantité
/ dû dil dQ, . dil ... dQ . dil . . \ ,
\ da db de df ■' dg ° dh j
prend immédiatement cette forme élégante et symétrique
(a, b){AadAb — AbdAa) -+- (a, c) (AadAc — AcdAa) -h(a,f)(AadAf- AfdAa) + (a, g){AadAg— AgdAa) -+- (a, h) (Aa dAli — AA dAa) -h(b, c)(AbdAc — Ac dAb) H- ( b, f) (Ab dAf - Afd Ab ) + (b, g) (AbdAg— AgdAb) -h(b,/i)(AbdA/i — Ah dAb ) + (c,f)(AcdAf- AfdAc) ■+-(c,g){AcdAg- AgdAc) -{-(c, li)(AcdAk — Ah dAc) + (f,g)(AfdAg-AgdAf) + (/, h) (Afd Ah - Ah dAf) ■+- (g, h)(AgdAh — Ah dAg),
laquelle contient, comme l'on voit, toutes les combinaisons deux à deux des six éléments a, b, c,f, g, h.
Ici la fonction Q. est censée entrer dans les valeurs des différentielles de Aa, Ab, Ac,..., et par conséquent ce n'ost que dans ces valeurs qu'il faudra faire varier le t en tant qu'il sera affecté du coefficient n, pour avoir la différence partielle relative à t de Au, dans l'expression de dAa.
12. Si maintenant, dans les expressions données ci-dessus des différentielles dAa, dAb,..., on substitue la valeur de û en série de sinus et cosinus, on aura des termes de la forme
(LsinN* + McosNi) dt,
qu'on peut réduire à
Psin(N< + jo)a^,
dans lesquels N = m-t- i'n'-h i"n" + ..., en donnant à i, i',... toutes les valeurs entières y compris zéro.
Soit donc
Psin(Ni-t-/>)
un terme quelconque de dAa, la valeur de Aa aura le terme correspondant
Pcos(Ni!-t-p)
Il y aura de pareils termes dans lès valeurs de dAb et Ab, et il est facile de voir que la formule AadAb — AbdAa ne pourra donner de termes sans t dans la différentielle partielle de û, à moins qu'on ne combine ensemble les termes de dAa et de dAb qui ont le même argument Nï. Ainsi l'on prendra pour dAb et Ab les termes
~ . ,»t , j Qcos(N< + o) Qsin(Ni!-(-ç)cfr et — ^ ^-
Substituons ces termes dans l'expression
rA d(dAb) XLd(dAa)l .
Aa -^—, — - - Ab v ,t ndt, ndt ndt J
elle deviendra
PO
■^[(cos(Nf-l-p)cos(Nf-i-qf) — cos(N/ + q) cos(N< +/»)] ndt.
qui est évidemment nulle.
Donc l'expression dont il s'agit et toutes les expressions semblables
dont est composée la partie de — -3— ndt, qui est due aux variations des
éléments de la planète m, ne pourront jamais donner de termes constants; par conséquent la variation du grand axe, en tant qu'elle dépend de ces mêmes variations, ne contiendra point de terme constant et indépendant de t.
C'est de cette manière que M. Poisson a démontré l'absence des termes constants dans la variation du grand axe, due aux variations des éléments de la planète troublée, après avoir, par une combinaison ingénieuse des formules connues pour ces variations, ramené les différents termes de la variation du grand axe à la forme
? fQdt-Qftdt.
13. Il reste à considérer les autres parties de la fonction Aii dépendant des variations des éléments a', V , c ', . . . , a", b", c", . . . des planètes m', m",...; mais on n'y peut plus employer les mêmes réductions, parce que, la fonction ù n'étant pas symétrique'par rapport aux coordonnées x, y, z, x', y', s', . . . , il arrive que les fonctions 0', Q." ,.. . . , qui doivent entrer dans les équations différentielles en oc', y', s', oc", y", z" ',..., sont toutes différentes de la fonction O, comme nous l'avons remarqué au commencement (1).
Pour éviter cet inconvénient et pouvoir renfermer dans un même calcul la détermination de la variation complète du grand axe, il faut rapporter les planètes m, m', m",..., ainsi que le Soleil, à leur centre commun de gravité, autour duquel leurs mouvements sont plus réguliers à quelques égards.
Variation des éléments des orbites rapportées au centre commun de gravité du Soleil et des planètes.
14. Prenons X, Y, Z pour les coordonnées du Soleil, et conservons les mêmes lettres x, y, z, x', y', z',... pour celles des planètes, l'origine
de ces coordonnées étant dans le centre commun de gravité; nous avons d'abord, par la propriété du centre de gravité, les trois équations
X + mx -+- m'x' -\- m"x"-h . . .= o, Y -+- my + m'y' -h m"y" -\- . . .== o, Z +ms + m! z' -+- m" z" -+- . . . = o.
Ensuite, si l'on fait, pour abréger,
Ls/(^ - X)2+(j — Y)2-t-(z — Z)2 r J
ls/(x"-Xy-+(f"-.Yy-h(z"-ZY r J
nuit
mm
Lv'i*'— ^)2-t-(j'~ r)'+ (*' — z)* r r J
LvV-*)2 + (/'-j)-; + (^"- z)2 r r J
on aura les équations suivantes, dans lesquelles je fais, pour abréger, m -+- m' -+- m" ■+- . . . = M ,
rfaX dQ d>Y dQ d'Z __ dQ
dt2 ~~dX' ~d~F~d\' W ~ dz'
(P x i + M dQ. d\r i + M , dQ d-z ^ i + M dQ
dt2 r3 mdx dt' r' ' mdy dt- r3 • m dz
d2x' i + M , dQ d'y' i + M , dQ d-z' i-f- M ' , dQ
df r'3 m'dx' ' dt2 r" " m'dy' dt2 r'3 m1 dz'
Ces équations sont, comme l'on voit, toutes semblables pour les différentes planètes, et en même temps semblables à celles où les coordonnées sont rapportées au Soleil; mais la fonction ù est ici la même pour toutes les planètes, parce qu'elle est symétrique par rapport aux coordonnées x, y, z, x , y', z', . . . .
J'avais donné ces équations relatives au centre de gravité sous une forme un peu différente, mais qui est la même pour le fond, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin de 1777 (*), et j'en avais déduit différents Théorèmes relatifs aux centres de gravité des planètes.
II est bon de remarquer, à l'égard de la fonction Q, qu'elle n'est composée que de termes du second ordre relativement aux masses m, m', m",...; car les quantités qui, dans cette fonction, ne sont multipliées que par m, m, m",..., sont déjà elles-mêmes du premier ordre, à cause que les X, Y, Z sont du premier ordre, comme on le voit par les trois équations finies du centre de gravité. Ainsi les différences partielles
dQ. dQ. dQ. dil dû dQ.
dX d\ dZ mdx mdy indz
qui forment les seconds membres des équations différentielles, seront toutes très-petites du premier ordre, relativement aux masses m, m', — On pourra donc traiter ces équations comme nous avons fait à l'égard de celles qui se rapportent au centre du Soleil, et en tirer des résultats semblables.
15. Comme les quantités X, Y, Z sont du premier ordre relativement
aux masses m, m', ... , on pourra les négliger dans la valeur de — -jj- de
la première approximation dans laquelle, en supposant les éléments
constants, on néglige leurs variations, qui sont aussi du premier ordre.
Dans la seconde approximation, comme les différentes parties de AQ.
relatives aux variations des éléments des planètes m, m', m", . . . sont
(*) OEuvies de Lagrange, t. IV, p. 401.
toutes semblables et dépendantes de la même fonction, elles donneront toutes le même résultat.
A l'égard de la partie de 9. dépendante des coordonnées X, Y, Z du Soleil, elle contiendra les termes
dû v dQ v dil dXX + dïY+dZ^
et l'on aura X, Y, Z par les trois premières équations, lesquelles donnent
Comme les différences partielles de û relatives à ndt ne regardent que les coordonnées #, y, s, la variation du grand axe la dépendante de ces termes sera exprimée par
4'a + Aa)' / d'Q d*Q. d?Ù \
i-t-M [ïïdtdX À+ «rf/rfY + ndtdZ ) ■
On pourra faire, dans les expressions des différences partielles ^->
f*~, ~, les X, Y, Z nuls, parce que ce sont des quantités très-petites
aY aZ r t -i
du premier ordre; alors ces différences partielles ne seront plus que des fonctions de x, y, z, oc' , y', z',..., et par conséquent seront réductibles à des suites de termes de la forme
Psin(N< + p),
en supposant, comme ci-dessus,
N = ire -t- i'n! ■+■ i"n" -(-....
Considérons dans -?=■ un terme de cette forme; il en résultera dans X, par la double intégration, le terme
Psin(N<+^)
n dt d\
Ce terme devant être multiplié par , il est visible qu'il n'en
pourra résulter de terme sans t, à moins qu'on ne prenne dans -~ç- un
terme qui ait le même argument N£, et qui soit par conséquent de la
même forme PsinfN* -hp), puisqu'on sait que tous les termes qui ont
le même argument Nï sont réductibles à un seul de cette forme; ce terme
deviendra
z"Pcos(N* + /?)
dans , . ■■, et le produit des deux termes sera ndtdX. l
;'P!sin2(N< + p)
aN!
et par conséquent périodique.
On peut conclure de là que, dans les ellipses variables que les planètes peuvent être censées décrire autour du centre commun de gravité du Soleil et des planètes, les grands axes ne peuvent être sujets à. des variations non périodiques, tant qu'on n'a égard qu'aux termes proportionnels aux masses et à leurs carrés ou produits de deux dimensions; que par conséquent leurs mouvements moyens ne sauraient contenir des inégalités croissant comme les carrés des temps.
Mais, quand on connaît le mouvement d'une planète autour du centre commun de gravité, il est facile d'avoir son mouvement rapporté au Soleil; car les coordonnées relatives à ce mouvement ne sont que les différences de celles de la planète et de celles du Soleil. Ainsi, x, y, s étant les coordonnées de la planète et X, Y, Z celles du Soleil, on aura
pour les coordonnées delà planète rapportées au Soleil. Or les équations données ci-dessus (14) pour le centre de gravité donnent
X = — mx — m x' — m" x" — . . . ,
Y = — nxy — m'y1 — m" y" — . . . ,
