VI

Ainsi les coordonnées autour du Soleil sont données par celles qui se rapportent au centre de gravité.

De plus, comme tous ces mouvements sont à peu près elliptiques, soit autour du centre commun de gravité, soit autour du Soleil, on peut aussi rapporter à des ellipses variables les nouvelles coordonnées

et, par la Théorie des osculations que j'ai exposée ailleurs, on aura les valeurs des éléments variables correspondants, en substituant ces coordonnées à la place des coordonnées x, y, z dans l'expression de chaque

., , dx dr dz , .. > ,', , ,

elemeot en x, y, z et -,-•> -ri -j-» relative au cas ou I on regarde les dt dt dt D

éléments comme constants.

Ainsi, comme on a, en général (8j, pour le grand axe ia, l'expression

i i dx- ■+■ dy2 -+- dz2

i(i -h m) df

on aura pareillement pour le grand axe 20: de la planète rapportée au centre commun de gravité

1 1 dx2 -t- dy 2 -1- dz1

où x, y, z et r= \]x2 -+- y2 -t- z'2 sont censés avoir leur origine au centre

commun de eravité; et cette valeur de — deviendra celle de — pour la s 10t. iav

même planète rapportée au Soleil, par la substitution de x — X, y — Y,

z — Z au lieu de x, y, z (*) .

(*) Une explication, sur ce passage, est peut-être nécessaire. Comme, dans l'expression

précédente de — , x\Xiz désignent les coordonnées de la planète par rapport au Soleil, il

est clair qu'il suffira de substituer x — X, y — Y, z — Z à j;,- 7, z, si ces dernières lettres sont employées pour représenter les coordonnées relatives au centre de gravité, X, Y, Z désignant alors les coordonnées du Soleil. Mais on peut aussi procéder d'une autre manière, comme

le fait Lagrange. A la force -. ^-7, — ; =775 — ; s™ qui régit le mouvement elliptique

17. Comme les quantités X, Y, Z sont du premier ordre relativement aux masses, il suffira, dans cette substitution, d'avoir égard aux secondes dimensions de ces quantités. Ainsi

deviendra

y-r2— 2(^?X+jrY-i- z'L) -+■ X2-+-Y2+ Z2

i a-X-t-jY + sZ X2+Y2+Z2 (.rX-t-rY-t-^Z)2

. , . . , dx2 -t- dr* -+- dz' j . , et la quantité — ; ■. .,, deviendra

^ 2 ( n- M ) dl2

dx2 -4- dr2 -+- dz2 dxdX -+- dydY -+- dz dZ dX2 -4- dY- -4- dZ2 „

2( i + M ) dt2 h" (i-t-M)t^2 + 2(1-4- M) dt-

Par ces substitutions et en remettant — à la place de sa valeur, on

aura

i __ i xX + rY + zZ dxdX-h dydY -t- dzdZ Ta ~~ ââ H 73 (i-hM)dl-

■ (xX+rY -ï- zZV— r2(X2+Y2-4-Z2) c/X2 -t- JY2 + </Z2

de la planète m autour du Soleil, rien n'empêche de substituer ^- — - =r- — ; =—2 >

^ r [x — Xy-h{x — Y) -+-(z — Z)

pourvu qu'aux forces perturbatrices existantes on ajoute une force nouvelle de même ordre

que celles-ci , égale à ; ^ , """',., ; ^o et dirigée du Soleil vers la planète.

(Note de l'Editeur.)

(*) Cette formule est inexacte; le facteur 3, qui doit multiplier le dernier terme du second membre, a été omis par l'Auteur. (Note de l'Éditeur.)

(**) Le deuxième terme de cette expression, qui est affecté du signe -4-, doit avoir le slone — . (Note de l'Éditeur.)

(***) Les fautes que nous venons de signaler affectent la présente formule. Pour rétablir l'exactitude, il faut remplacer par -+- le signe — placé devant le troisième terme du second membre, et donner le coefficient 3 à la première partie du numérateur du quatrième terme.

(Note de l'Éditeur.)

7i*8 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES VARIATIONS

Mais les équations différentielles en x, y, s de l'orbite de m rapportée au centre commun de gravité donnent (14)

x fcx dQ.

[t-hM)dt2 (n-M)m(fï d'y dQ

[i~hM)dr- (i+M)mJj d*z dû

r3 (i-hM)dt1 (i + M)mrf2

Substituant ces quantités dans —3 , il vient

i i d(TLdx-t- Ydr-hZdz) ,r. ,„.

za ioc (i + M)dP v h

en Taisant, pour abréger,

v (xX-hrY-hzZ)2—r'(X'-hV-hZ*) dX'-hdY'+dl1 i /Xrftl Ydii Zdil\

rb 2(n-M)rf/2 i-t-M \mdx mdy mdz) * ''

Dans cette formule on a (numéro cité)

X = — mx — ni' x' — . . . , Y = — my — m'y' — . . . , Z = — mz — m'z' — ... ;

de sorte que la fonction W est du second ordre relativement aux masses

(*) Cette formule est inexacte, comme celle d'où elle est tirée; il faut la remplacer par la suivante

J J (Xrf'x -+■ Yd\y -h ZcPz) -{dxdX-h dydY -+- dzdZ)

in -la (l-t-U)dt'

(Note de l'Éditeur.)

(**) Dans le second membre de cette formule, il faut donner le coefficient 2 au dénominateur du premier terme et le coefficient 3 à la première partie du numérateur.

(Note de l'Éditeur.)

m, m',..., puisque les différences partielles — j—> — ^-i — r- sont déjà ' ' l m dx m dy mdz *

du premier, comme on l'a vu ci-dessus. Ainsi il suffit d'y substituer, pour x, y, z, os', y', z',..., leurs valeurs elliptiques à éléments constants; d'où l'on voit que cette fonction ne peut contenir aucun terme proportionnel au temps.

A l'égard de la quantité

Xdx-hYdy + Zdz dt

qui n'est que du premier ordre, elle pourrait contenir de pareils termes parla variation des éléments dansles expressions de x,y,z,x',y', z',...;

mais, comme la valeur de — ne contient que la différentielle de cette

quantité relativement au temps, il est clair que le temps disparaîtra par la différentiation. Enfin on a prouvé que le grand axe 2« de l'orbite rapportée au centre commun de gravité ne renferme point de ternies proportionnels au temps, en ayant égard aux quantités du premier et du second ordre des masses; donc le grand axe 2a de la même orbite rapportée au centre du Soleil n'en renfermera pas non plus : ce qu'on s'était proposé dedémontrer (*). On voit que cette démonstration est directe et générale, et ne laisse rien à désirer.

Développement des formules générales relativement aux variations des éléments elliptiques (**).

18. Jusqu'à présent notre Analyse a été indépendante des valeurs des coordonnées elliptiques x, y, z; mais elle serait incomplète si elle n'offrait pas les formules des variations des éléments elliptiques, ré-

(*) Cette conclusion, que 'L'illustre Auteur tire d'une expression inexacte de — 1 ne résulte

plus, d'une manière évidente, de l'expression corrigée. La faute de signe que nous avons signalée réduit donc à néant la démonstration. {Note de l'Éditeur.)

(**) Ce qui suit n'a été lu que le 12 septembre.

duites à la forme la plus simple et la plus propre pour le calcul des perturbations des planètes. Or ces formules demandent le développement des fonctions que nous avons désignées (6) par les symboles (a, b),

(a, c) en y substituant les valeurs de x, y, z exprimées en t et en a,

b, c,...; ainsi nous commencerons par donner ces valeurs sous la forme la plus simple.

Sans chercher à les déduire de l'intégration des équations différentielles, ce qui serait trop long, et ce qui est d'ailleurs assez connu, nous emploierons la considération de l'angle appelé par les Astronomes anomalie excentrique, et que nous désignerons par u. Par le moyen de cet angle, on a tout de suite la formule

ni -+- c = u -+- b sin u,

dans laquelle nt + c est l'anomalie moyenne, n étant égal à y — — >

et où a est le demi-grand axe, b l'excentricité, savoir le rapport de la distance des foyers au grand axe 2a de l'ellipse, etc l'époque, savoir la valeur de l'anomalie moyenne qui répond à l'instant d'où l'on commence à compter le mouvement moyen ni. Ensuite on a, en prenant les abscisses x dans le grand axe depuis le foyer, et les ordonnées y perpendiculaires au grand axe dans le plan de l'ellipse,

x = a(b -+- cosu), y = a\/i — b's'xnu, z — o.

En éliminant u, on aura les valeurs de x et y en fonction de ni et des constantes a, b, c, qui sont les éléments du mouvement elliptique. Les trois autres constantes/, g, h ne dépendent que de la position du grand axe et du plan de l'ellipse relativement au plan fixe.

19. Ne considérons d'abord que ces valeurs de x, y, z; elles donneront par les différentiations celles de

dx d'x dx d'x da ' dt da ' db ' dt db

qu'on substituera dans les expressions de [a, b), (a, c),... du n° 6, et, comme ces expressions doivent être indépendantes de t, on pourra en rejeter les termes qui contiendront / hors des signes de sinus et cosinus, et faire u = o sous les sinus et cosinus. On aura d'abord

du n du t dn

dt \ -\- b cosu da i -h b cosu da

mais on a

dn 3 da

d'où

et par conséquent

dn 3 « da ia

du Znt

da za(j -h b cosu)

du s'mu

db ï -h b cosu

du i

de i -+- b cosu

De là on trouvera

dx . Znts\x\u

-r- = b -+- cos u H ; ,

da 2 { i -+- b cos u )

dy t . Znt cosu ,-

-r- = i/i — b- sin u — -. J\

da ' i\i -\- b cosu) *

dx j s\v\lu \

db \ i -t- b cos;

db jj fc °" i -+- b cosu

dx a sin m

de i + b cosu

dy a cosu

de i -f- b cos u

Différentiant encore ces valeurs en ne faisant varier que t et u, et sul>-

du , n ,, , d}x d2r

stituant pour -j- sa valeur 7 > on aura celles de ,, , ? ,, ;■■■> —

1 dt i-)-6cosz< dt da dtda

En faisant ensuite dans les unes et dans les autres t = o, u = o, on

aura celles-ci

dx ,

da?

db = ">

dt da

d-x dTdb