VI

données ci-dessus. En effet on voit tout de suite que la quantité

dx d'x dr d'y dz d2z da dt db da dt db da dt db

devient

dX d'X dY d'Y dZ d'Z da dt db da dt db da dt db

De même la quantité

se réduit à

dx d'x dy d'y dz d'z db dt da db dt da db dt da

t/X d'X dY d'Y dZ d'Z db dt da db dt da db dt da

D'où il suit que la quantité (a, b), qui est la différence de ces deux-ci, sera exprimée de la même manière par les coordonnées ce, y, z que par les coordonnées primitives X, Y, Z. Il en sera de même, et par la même raison, des quantités (a, c) et (b, c). Ces trois quantités auront donc les mêmes valeurs que nous avons trouvées ci-dessus ( 1 9 ) , et par conséquent on aura, en général, quelle que soit la position de l'orbite elliptique par rapport au plan fixe,

21. Passons aux quantités représentées par les symboles (a,/),

(a, g), (a, h), [b,/), Ici les quantités X, Y, Z ne varient que par

rapport à a, b, c, t dont elles sont fonctions, et les variations relatives

à/, g, h ne regardent que les coefficients £,', %', %", ri D'après cette

considération, si l'on fait les substitutions des valeurs de a;, y, z et de leurs différences partielles dans la fonction

+ dy

dfdf

âTdf'

dtdf

et qu'on observe que les trois premières équations de condition donnent

£' d'Ç -+ •/)' dm' -f- Ç d'Ç = o, l" d%' -+- n" dn" + Ç' c?Ç" = o,

£'" d%" -+- -r> '" en"' ■+- Ç" d'Ç" = o ,

on aura la transformée

l! dl" + -ri d-«"+Ç dt," dX dY df ~ da dt

l' d'i'" -h ■/,' dW"-+- Ç dÇ" dX dZ df da dt

^ il' d'Ç + ■/]"(/■/)' -hÇ'd'Ç dY dX df da dt

'i"dÇ"-h-n"dn'"-hÇ'dÇ" dY dl df da dt

S'" dÇ -+- r,'" dn' ■+- Ç" dÇ dZ dX df da dt

Ç" dj" +W" dn" -{- Ç" d'Ç' dZ dY df da dt

Mais les trois dernières équations de condition entre H', £",..., étant différentiées, donnent

% d'£" + ■/,' dn" ■+- Ç d'Ç' = — Z" dl' — n" d-n' — Ç" dÇ' , S' d£'"+ ■/)' a?7]'"+ Ç' c?Ç'"= — £'"d£' — -n'" dn' — Ç" dÇ , £"d£"' -t-ï)"d/i'"+ Ç'dÇ"= — £'"</£"- -n'"dn" — Ç"dK".

Donc, si l'on fait, pour abréger, comme dans le n° 23 de la Section citée de la Mécanique analytique ['),

dP = %"d'£"-h n".W -+- Ç'"dÇ", e?Q = Ç' </£'"+ •/)' dn'"+ Ç d'Ç", r/R = Ç'd'Ç -+- -n" d-n' + £"d£' ,

(* ) Dans la deuxième édition, seconde Partie, Section IX, n° M . (Note de l'Éditeur.)

la fonction dont il s'agit se réduira à cette forme simple

dR fdX d\ dY dX\ dQ /dX dZ dZ dX\ dV (dY dl dZ dY\ df\dt da dt da ) df \3T da dt da) + df\dt da~ dt daj'

On trouvera de la même manière que la fonction

dx d-x dy* d2y dz d2z df dt da df dt da df dt da

se réduit à cette forme

t/R /x d'Y Y d'-\\ dQ d?Z z tf'X\ | dPfY tf'Z z rf'Y\ df \ dt da dt da) df \ dt da dt da) df \ dt da dt daj

En retranchant cette dernière quantité de la précédente, on aura la valeur de (a, f), et il est visible qu'elle se réduira à cette forme

jfYdX — XdY\ ,(ZdX-XdZ\ ^(ZdY-YdZ\

f dRd\ dt ) dQ \ dt ) dPd[ dt )

W'J' — df da df da + df da

Or les valeurs de X et Y (20) donnent

Xc/Y — Y dH = a2 y/i — b2 (i -t- b cos u) du,

du n , n ,

et, comme t- = 7 (19 , on aura

dt 1 -h b cos m v ;

XdY—YdX

= na2 y/i — b2

dt Donc, puisque Z = o, on aura simplement

., dR d(na2Ji — b2

df da

En changeant successivement a en b, en c, et/en g, en h, on aura les

valeurs des autres quantités représentées par (b,f), (c, /), (a, g),--.- J'aurais pu supposer tout de suite Z = o, ce qui aurait simplifié le calcul ; mais j'ai été bien aise de donner ces formules dans toute leur généralité, parce qu'elles pourront peut-être servir dans d'autres occasions.

22. Il ne reste plus qu'à chercher les valeurs des quantités représentées par (/, g), (/, h), {g, h).

En faisant les mêmes substitutions dans la fonction

„ dx d-x dy d*y dz d-z dx d2x dr d-r dz d2z

(^' s'~ df dT3~g + df dilg + df dtdg ~ dg dtdf ~ dg dtdf ~~ Jg~ dtdf '

et observant que le t ne varie que dans X, Y, Z, et que/, g ne varient que dans les coefficients £', V, ?'. ?">•■•> on aura tout de suite

„ N ^XûÎY — YdX ^XdZ-ZdX „YdZ-ZdY

&*> = * — dt — + (l — di hH — m — '

en supposant, pour abréger,

d% dl" dn' dn" d'C d'C d% d'E," d-n' dy" dÇ dt," b =

H- df dg'*' df dg ^ df dg dg df . dg df dg df

Or, dans le n° 27 de la Section déjà citée de la Mécanique analytique (*), j'ai trouvé ces réductions

d^' — ^dR.— Ç"dQ,

dt"=l'"d¥—Z'dR, dl'"=ZdQ-i"dP,

et de même, en changeant \ en ri et en Ç.

(*) Dans la deuxième édition, seconde Partie, Section IX, n° 13. (Note de l'Editeur.)

df dg

+ df dg

df dg

dg df

dîl d%" df dg

dn1 dr{" df \ dg

d'C dC" + df dg

dil di'" dg df

dr,' dg

d-n'" df '

d'C ~ dg

dç»

df' d%"

dn" d-n'"

di" de"

En faisant ces substitutions dans les expressions précédentes des F, G, H, et avant égard aux équations de condition entre |\ §", £"', ri',---, on trouve facilement

b-dfdè dg df '

c dV clR ç/P dR W dg dg df '

t, dQ cm d(l dR a-dfdg~ dg df

Or on a déjà trouvé

XdY dt

donc, comme Z = o, on aura

XdY-Yc/X

fdP dQ dP dQ\

■f-§-\W^-Tgdf)na'l'b'

et, changeant g en A, on aura la valeur de (/, h), et changeant à la fois/ en g, g en h, on aura celle de [g, h). Ainsi on connaîtra les valeurs de tous les coefficients des variations da, db,... dans les formules du n° 6.

23. Particularisons maintenant les constantes/, g, h, qui sont encore indéterminées. Pour les adapter aux usages astronomiques, nous supposerons que /soit l'angle que le grand axe de l'orbite fait avec la ligne des nœuds, c'est-à-dire, avec l'intersection de- son plan avec le plan fixe des x et y; que g soit l'angle que la ligne des noeuds fait avec l'axe des ce, et que h soit l'inclinaison du plan de l'orbite sur le même plan fixe. D'après ces suppositions, on trouvera facilement les expressions de £', %",... en sinus et cosinus des trois angles/, g, h; nous les avons données dans le n° 30 de la Section citée de la Mécanique analytique, où les angles ©, di, u répondent à/, g, h. Mais nous n'aurons pas même besoin de ces expressions; il nous suffira d'avoir celles de c/P, dQ, dR, que nous avons données dans le n° 31 de la même Section (*), et qui, en y

i ' | Dans la deuxième édition, seconde Partie, Section IX, n° 11. (Noie de l'Éditeur.)

changeant ç>, ij>, w en /", g-, A, deviennent

dP = sin/sin/iÉ?g-+ cosfdh, dQ = cos/ sin A G?g- — sin/ c?A, dR = «?/"+ cos A t?g.

De là on aura tout de suite

rfR

rfP . -, . , dQ , . . f/R .

T-=sinrsinn, -7— = cosr sin/i, -r— =cosn, dg J dg J dg

rfP ,. rfQ • . . . rfR

— =r COS/, -77- = — Sin/, -TT-—O.

rf/i ^ dli J rtli

Substituant ces valeurs dans les formules du n° 19, et exécutant

les différeutiations partielles relatives à a, b, c, on aura, à cause de

d-na2 ., dn «a,.»,

— , — = -ina -h a* -y- = — ( 1 9 ,

da da 1 '

.. naJi — b2, , nay/1—b2 , ,

a,f) — - 1 ya,g) = — — -v cosft, (a,A) = o,

nab , , , na2b , . , .

(/),/) = , (/>, g)= — c.os/i. (b,h) = o,

Ensuite les mêmes valeurs, substituées dans les formules du n° 22, donneront

{f, g-)=:o, [f,h) = o, ( g, h) = — na*y/i — b' sinh.

En joignant à ces valeurs celles de (a, b), (a, c), (b, c), trouvées dans le n° 20, savoir

on aura les valeurs des quinze symboles que nous avons employés.

24. Telles sont les valeurs qu'il faut substituer dans les formules du n° 6, lesquelles deviendront par là

-^ dt = de na i/i — b- df na J i — b2 cos h dp,

da 2 2 v J i v °

dû , na-b ,„ na2b . ,

-n- dt = -^= df H — == cos A de, db y/i-62 J sji-b' 5

dû dc~

dQ. , i ; 7T , «a2 6 ,,

--— dt = - na J i — 6^ aa = db ,

df 2 y/1 — 62

-^— <i< = -naJi — b2 cos A c'a ■ cos A rfè — m«2 y'i — b2 sin A (/A,

rfg- 2 v/i-62

-=^ f/i = na2 i/i — 62 sin A aV;

d'où l'on tire facilement

da__J2 dû

dt na de

db i — b2 </Q y/i — 62 dû dt na2 b de na2 b df

de 2 dû i — b2 dû dt ~ na da na2b db

df y/i — b2 dû cos A dil

dt ~~ na2b db na1 \f ï — b' sin h dh

dg i dû

dt ~~ na2 \J\ — b2 sin h dn

dh cos h dû i dû

dt na2 \Ji — b2 sin h df na' y* i — 6' sin A dg

Voilà les formules des variations des six éléments elliptiques a, b, c, f, g, h, exprimées par les différences partielles de la même fonction il, relativement à ces mêmes éléments; ce qui est infiniment commode pour

le calcul. Or, comme £î est une fonction des coordonnées ce, y, z, oc',y' , z',..., en substituant pour ces coordonnées leurs valeurs, elle deviendra une fonction de u, de a, b, c,f, g, h, de u', de a', b', c',f, g', h', de u",..., et pourra toujours être réduite en série suivant les sinus et cosinus des angles u, u',.... Alors le terme indépendant de a, u! ,... donnera les équations séculaires, et les autres termes donneront les équations périodiques. Et, si l'on rapporte les orbites des planètes au centre commun de gravité du Soleil et des planètes, on aura l'avantage de l'uniformité et de la simplicité du calcul pour toutes les planètes.

25. Avant dé terminer ce Mémoire, il est bon de faire remarquer que la valeur de -j--> qu'on vient de trouver, s'accorde avec celle qu'on a trouvée par une autre voie (8). En effet, comme par l'équation du n° 18

nt -4- c = u -+- b sinu

l'angle u devient une fonction de nt -+- c, il est visible que les différences

partielles de ù, relatives à nt et à c, seront la même chose; de sorte

qu'on aura

dil dQ.

de ii dt '

ainsi I on aura

., i -i- m ■ mais n- = — - — . donc

du 2 dil

dt na n dt

, là1 dil ,

da = T n dt,

i -I- m n dt

qui est la formule du n° 8; ce qui pourrait servir, s'il était nécessaire, à continuer la bonté de nos calculs.

Une autre remarque essentielle, c'est que, dans la différentiation partielle de la fonction D relativement à a, on peut se dispenser de faire varier la quantité n qui dépend de a; car, puisque ù est une fonction VI. 96

de nt 4- c, la portion de -j— qui dépend de n sera

dQ, dn

de da '

de donc, comme la valeur de -7- contient le terme dt

2 dû na da

elle contiendra, à raison de la variation de n, la partie

2 dQ dn na de da

Donc la variation de l'angle nt -\-c sera, à raison de la variation de n,

dn , 2 dil dn ,

t -=— da — ; — t -j- dl ; .

da na de a a

mais

f/a = =— dt ;

na de

donc la variation sera nulle. Mais, comme n est une quantité essentiellement variable, la différentielle de ni est n dt -+- tdn; ainsi, en

n'ayant point égard à la partie tdn, il faudra substituer / ndt à la place

de ni dans la valeur de u, ce qui fera disparaître en même temps les termes qui se trouveraient multipliés par t; mais l'emploi de ces termes étail nécessaire dans les formules des variations dues à la constante a, sans quoi on aurait trouvé pour la quantité (a, c) une valeur fausse.

26. Les formules du n° 24, quoique fort simples, sont encore susceptibles d'une simplification importante. 11 est visible que la seconde équation est de cette forme

dQ. , na'b .

-rr- dt = -= df-h cosh ds), db ,/. ;)2 J

Donc, si l'on fait

df-\- cos.h dg = dy,

ce qui donne

f= cp — / cos A dg,

et qu'on suppose que cette valeur soit substituée partout au lieu de/, on aura, au lieu de la formule qui donne la valeur de -j-i celle-ci

dvf Ji — b' dQ

dt na? b db

Ensuite, en regardant Q d'abord comme fonction de/ et g, et ensuite comme fonction de <p et g, en substituant la valeur de dcp, on aura

dQ ,, dQ . dQ , dQ , dQ JjP I dQ . dQ -j7df-h-1-dg=-j—d(p-i--—dg=-7-df-i- \-j— cos h -t- -=— df ■' dg " do dg b dcp J \tf<p dg

d'où l'on tire

dQ dQ dQ dQ , dQ

-r~ = -j--! -j— = -r- COSft-4- -j— ■

df <fy dg dy dg

dQ , dQ

On substituera donc ces valeurs à la place de —tf et -r— 1 et les valeurs

v dJ dg

, db dk , de -r- et -j- deviendront dt dt

db i — b> dQ Ji — b' dQ dt na2b de na2b dcp

dh 1 dQ

dt ~ na'Ji — b2sinh dg

Par ce moyen nos six formules seront

da 2 dQ

dt na de

db 1-62 dQ s/i — b* dQ dt ~~ na?b de na?b c/cp

de 1 dQ 1 — 62 dQ dt na do. nalb db

v'i-fc2

dQ,

lia1 b

db '

na? \J i -

- b1 sin/?

dh ' dQ

do dt

dg dt

"t na2 y/i — b2 sin A dg

Nous remarquerons ici que l'angle afo exprime proprement le mouvement de l'aphélie sur le plan de l'orbite mobile; car cet angle est le même que celui que nous avons désigné par e?R (23), et qui, d'après ce qui a été démontré dans la Section citée de la Mécanique analytique (26) (*), représente la rotation de l'axe des X, qui est le grand axe de l'ellipse, autour de l'axe des Z perpendiculaire au plan de l'orbite.