Maintenant je fais

6sin<p = (5, 6cos<B=y, sinA sing' = e, sinAcosg^X;

j'ai, en différentiant,

rf(3 = sincp db -t- b cos<p d<ç>,

dy = nos o db — b sin cp d®,

de. = cos A sin g dh -h sin A cosgdg,

dl= cosh cos g dh — sin A sin g dg.

Substituant les valeurs précédentes de db, d'o, dh, dg, on aura

dâ Ji — b2lsinv dQ, dQ\ i — b2 . dQ

"77 = — 1 - ; w C0S?77T H HT Sincp——

(Il na2 \ b dy ' db ; na?b ' de

dy s/i — b* /coso dQ . dQ\ i - b2 dQ

-l cinn, COSO

<U na? \ 6 <r/o ' db j na? b 'de

de i / cos A sin g dQ dQ\

dt ~ na2^\ — b\ sin A dg g dh J '

dl i I cosheosg dQ .. 'dQ

dt na? \J\ — b2 \ sin A dg b dh

(*) Dans la deuxième édition, seconde Partie, Section IX, n° 10. (Note de l'Éditeur.

Or, en regardant 0 comme fonction de b et de o, ou de /3 et y, on a l'équation identique

dQ ,, dQ , dQ ,„ dQ ,

(dQ. . dû, \ ,, L(dQ dû . \ ,

=^sin?+^cos?r6+H^cos'~^s,nv 9-

Donc

dQ. dQ . dQ

-db=^sm^-dycos^

dQ L /dQ dQ

dQ ,/dQ dQ . \

dï = b\-djcos?-^rsmy-

De même, en regardant 12 comme fonction de g, h, ou de e, X, on a

da , da „ da , do. ,,

~r- dg ■+■ -rr dn = — de -f- -rr- rf A dg s dh di d\

.de

'■ i ■ da , \ ,, /* . , dû. . , . \ ,

■ cos/i sing -+- -p- cosh cosg- ) dn -+- 1 — - sinA cosg- — — sin« sing ) dg:

donc

dQ [dQ dQ . \ . .

-j— = (—7— cose-— -r^- suis- sin/i, dg \de s dl bJ

dQ (dQ . dQ \ ,

dh=[-dTsm^^îcosz)cosh-

Substituant ces valeurs dans les formules précédentes, elles deviendront

d$ y/i — b2 dQ. i - b2 dQ dt na' dy na'b- de

dy y/i — b2 dQ i — 6' dQ

dt na2 d$ na2b2 ' de

de cos/i dQ

dt ~ na2 y/i — 6J ^X '

rfX cos/; dQ

dt ~~ na2^i — b2 «k

auxquelles on ajoutera ees deux-ci

2 dQ.

dt ~

na de

de dt ~

ï dil na da

ï - fr t dil dil na'b* Y </(3 + 7 dy

On voit que ces formules représentent les six variations sous une forme très-simple et en même temps symétrique. On y serait parvenu directementsi l'on avait donné d'abord aux quantités b,f, g, h la signification des lettres /3, 7, s, X.

A l'égard de l'intégrale j coshdg, qui entre dans la valeur de /par

l'introduction de l'angle © (26), si l'on substitue pour cosA la valeur

équivalente 1 T, elle deviendra

n 1 -t- cos/i

C sin2// .

J 1 -t- cos/î h'

donc

sin2A = e2 -+- A2, tang#=T:

, Adz — et/À

/sin2/« , Ç Idi — tdl n-cosA S~J , + v/,e2 X2'

et, comme £ et X ne sont exprimées qu'en sinus et cosinus d'angles, on pourra réduire en séries les sinus et cosinus de cette intégrale dans les valeurs de sin/et cos/.

En désignant cette intégrale par II, on aura

/=?ff+IL; donc o=/+g-n,

où l'on remarquera que /+ g est ce que les Astronomes nomment la longitude de l'aphélie dans l'orbite.

Les formules précédentes sont surtout utiles lorsque les excentricités

et les inclinaisons sont des quantités assez petites, comme cela a lieu dans notre Système planétaire. En général, il est visible que les quantités |3, y, s, X seront dans tous les cas des fractions moindres que l'unité, et que par conséquent la fonction Q pourra toujours être, développée en une série convergente relativement à ces quantités.

28. Pour appliquer ces équations aux variations séculaires, il n'y aura qu'à substituer, au lieu de Q., la partie non périodique de cette équation. Soit A cette partie, c'est-à-dire, le premier terme du développement de Q. en série de sinus et cosinus des anomalies moyennes m + c, n't -t- c',... des planètes m, m',...; car, comme il n'est fonction que de x, y, z, x', y' , z', . . . et que ces coordonnées sont données par des sinus et cosinus des angles respectifs u, u' ,..., lesquels dépendent des angles nt -t- c, n't -h c',... (18), il est clair que le développement de 0 ne contiendra que les sinus et cosinus de ces derniers angles multipliés par des fonctions des éléments a, b, /, g, h, a', b',f, g', h', Ainsi

A sera une pareille fonction, et l'on aura t— =o; de sorte que les

quatre premières équations se réduiront à celles-ci, dans lesquelles j'ai substitué pour b et cosA leurs valeurs en jS, y, e, X,

rf(3 v/i — (3'— f dk dt na' dy

de. \/i — e2 — V dk

dt na2\/i — (32 — y2 d'A

y/i — P2— y- dk na' dfi

y/l — £2 — X2 dk

na1 v/i — (32— y2 ch '

lesquelles serviront à déterminer les variations séculaires de l'excentricité, de l'aphélie, du nœud et de l'inclinaison.

Lorsqu'on regarde les excentricités et les inclinaisons des orbites comme très-petites, les variables ]3, y, e, X deviennent très-petites, ainsi que leurs analogues j3', y', s', X',.... On peut alors réduire la fonction A en une série ascendante par rapport à ces quantités; et, si l'on s'arrête aux secondes dimensions, ce qui suffit pour la première approximation, on aura des équations linéaires semblables à celles dont j'ai donné l'in-

tégration et la résolution complète pour toutes les grandes planètes dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1774 (*) et dans ceux de i Académie de Berlin de 178a (**).

Enfin, comme dy est la variation instantanée du lieu de l'aphélie dans l'orbite, si l'on y ajoute la variation instantanée de de l'époque de l'anomalie moyenne, on aura de -+- d<? pour la variation instantanée de l'époque de la longitude moyenne, que nous désignerons par dQ. Ainsi, en observant que

72 h PJi — /32

1 + v 1 — b2 on aura, par les formules du n° 26,

rfô__^rfa bJi — b* dQ,

dt ~ na da na2(i-t- Ji — b2) db

L'angle 6 donnera la variation du mouvement moyen, dépendant de la variation de l'époque, et l'on aura la partie séculaire de cette variation en substituant la fonction A à la place de il.

Cette variation séculaire est insensible dans Jupiter et dans Saturne, comme je l'ai fait voir dans le Mémoire sur les variations séculaires des mouvements moyens des planètes [Mémoires de Berlin de 1783 (***)]; mais elle devient sensible dans la Lune et donne l'explication de l'équation séculaire de cette planète, comme M. de Laplace l'a reconnu le premier. Voyez les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1786, et ceux de l'Académie de Berlin pour 1792 et 1793 {"*"), où j'ai donné l'application de mes formules à la Lune.

(*) OE livres de La grange, t. VI, p. 635. (**) OEuvres de Lagrange, t. V, p. ia5. (***) OEuvres de Lagrange, t. V, p. 38 1. (**** ) OEuvres de Lagrange, t. V, p. 687.