DANS TOUS LES-PROBLÈMES DE LA MÉCANIQUE

(Mémoires de la première Classe de l'Institut de France, année 1808.)

L'application de l'Algèbre à la Théorie des courbes, qu'on doit à Descartes, avait fait naître la distinction des quantités en constantes et en variables, et la découverte du Calcul différentiel a appris à soumettre au calcul les variations instantanées de ces dernières quantités. Depuis on a beaucoup étendu la considération de la variabilité, et l'on peut dire que presque tous les artifices d'Analyse qu'on a inventés se réduisent à faire varier de différentes manières, soit ensemble ou séparément, tant les quantités qui sont par leur nature variables, que celles que l'état de la question suppose constantes. L'art consiste à choisir parmi toutes les variations possibles celles qui, dans chaque cas, peuvent conduire aux résultats les plus simples et les plus avantageux.

On sait que l'intégration introduit toujours dans le calcul des quantités constantes relativement aux variables des équations, et dont la valeur est arbitraire. On peut donc aussi faire varier ces constantes; ces variations, envisagées sous différents points de vue, ont produit des

(*) Lu le i3 mars 1809.

Théories nouvelles, parmi lesquelles celle de la variation des éléments des planètes est la plus importante.

Dans le .Mémoire (*) que j'ai lu, il y a six mois, sur cette Théorie, j'ai cherché à déduire immédiatement des équations différentielles du mouvement des planètes les variations de leurs éléments, en considérant ceux-ci comme les constantes arbitraires que l'intégration doit introduire lorsqu'on fait abstraction des forces perturbatrices, et en attribuant tout l'effet des perturbations à la variation de ces constantes. Je suis parvenu de cette manière à un résultat général et indépendant de la figure des orbites planétaires. J'ai trouvé que la fonction des dislances qui exprime la somme des intégrales des forces perturbatrices, multipliées chacune par l'élément de sa direction, a cette propriété remarquable, qu'en y faisant varier les seules constantes arbitraires, ses différences partielles relatives à chacune de ces constantes ne renferment point le temps, et ne sont exprimées que par des fonctions linéaires des différences de ces constantes, et dans lesquelles les coefficients de ces différences ne dépendent que des mêmes constantes. De là il a été facile de déduire les variations des éléments, exprimées par des formules différentielles qui ne renferment que les éléments eux-mêmes et les différences partielles de la fonction dont on a parlé par rapport à ces éléments; résultat important auquel M. de Laplaee est parvenu de son côté par la considération des formules du mouvement elliptique.

J'ai entrepris depuis d'étendre à un système de corps qui agissent les uns sur les autres, d'une manière quelconque, l'Analyse qui m'avait réussi. pour les variations des éléments des planètes, en l'appliquant aux formules générales que j'ai données dans la Mécanique analytique, pour le mouvement d'un système quelconque de corps; après plusieurs tentatives infructueuses je suis parvenu, non sans étonnement, vu la grande généralité des équations différentielles, a un résultat analogue à celui que j'avais trouvé pour les planètes, et dont celui-ci n'est plus qu'un cas particulier. Cette nouvelle Analyse, qui fait l'objet de ce Mé-

*) OEiwres de Lagrange, t. VI, p. 71.3.

moire, sera le complément de la Théorie de la variation des constantes arbitraires, et pourra être utile dans plusieurs Problèmes de Mécanique.

Quel que soit le système de corps dont on cherche le mouvement, et de quelque manière qu'ils agissent les uns sur les autres, on peut toujours réduire les variables, qui déterminent leur position dans l'espace, à un petit nombre de variables indépendantes, en éliminant, au moyen des équations de condition données par la nature du système, autant de variables qu'il y a de conditions; c'est-à-dire, en exprimant toutes les variables, qui sont au nombre de trois pour chaque corps, par un petit nombre d'entre elles, ou par d'autres variables quelconques qui, n'étant plus assujetties à aucune condition, seront indépendantes. Cette réduction supposée, le Problème mécanique consiste à déterminer chacune de ces variables par le temps; or j'ai donné, dans la seconde Partie de la Mécanique analytique, la forme générale des équations différentielles pour chacune des variables indépendantes dont il s'agit; de sorte que la solution du Problème ne dépend plus que de l'intégration de ces différentes équations différentielles, qui sont essentiellement du second ordre, et qui sont plus ou moins compliquées suivant la nature du Problème.

Supposons que dans un Problème donné on soit parvenu à intégrer complètement les équations dont il dépend, mais en faisant abstraction de certaines forces qui agissent sur. les corps dans une raison quelconque des distances, et qu'on peut regarder comme des forces perturbatrices du mouvement du système. A l'imitation de ce qu'on fait à l'égard des planètes, on peut réduire l'effet de ces forces, surtout si on les suppose très-petites, à ne faire varier dans la solution générale que les constantes arbitraires introduites par les différentes intégrations; et, comme il doit y avoir deux constantes arbitraires à raison de chaque variable, puisque ces variables dépendent d'équations différentielles du second ordre, on peut faire en sorte que, non-seulement leurs expressions finies, mais encore leurs expressions différentielles, soient les mêmes que si les constantes dont il s'agit demeuraient invariables; de sorte qu'à chaque instant les lieux des corps dans l'espace, ainsi que leurs vitesses et leurs

directions, soient représentés par les mêmes formules, en ayant égard aux forces perturbatrices, que lorsqu'on fait abstraction de ces forces, comme cela a lieu pour les planètes.

En considérant sous ce point de vue la variation des constantes arbitraires, j'ai trouvé que la fonction qui représente l'intégrale de toutes les forces perturbatrices, multipliées chacune par l'élément de la distance dont elle dépend, jouit aussi de la même propriété, que ses différences partielles relatives à chacune des constantes arbitraires sont exprimées uniquement par des fonctions différentielles de ces mêmes constantes sans le temps; de sorte que l'on a, pour les variations de ces constantes, des équations différentielles qui ne renferment que ces constantes avec les différences partielles de la fonction dont il s'agit, relatives à chacune d'elles, comme dans le cas des perturbations des planètes, forme extrêmement avantageuse pour le calcul des variations des constantes, et surtout pour la détermination de leurs variations séculaires. Ainsi cette propriété, que j'ai reconnue à l'égard du mouvement des planètes, a lieu, en général, pour tous les Problèmes sur le mouvement des corps, et peut être regardée comme un résultat général des lois fondamentales de la Mécanique. Elle fournit en même temps un nouvel instrument pour faciliter la solution de plusieurs Problèmes importants.

Le Système du monde, outre les perturbations des planètes, auquel la Théorie de la variation des éléments s'applique naturellement, en offre encore un autre plus difficile, et susceptible également de la même Théorie : c'est celui de la rotation des planètes autour de leur centre de gravité, en ayant égard à leur figure non sphérique et à l'attraction que les autres planètes exercent sur chacune de leurs molécules. En faisant abstraction de ces forces d'attraction, qu'on peut regarder comme des forces perturbatrices, le Problème consiste à déterminer le mouvement d'un corps solide de figure quelconque autour de son centre de gravité, lorsqu'il n'est sollicité par aucune force et qu'il a seulement reçu une impulsion initiale quelconque; et l'on sait que ce Problème, pour lequel d'Alembert avait donné le premier les équations différen-

tielles, a été résolu complètement par Euler. On a ici, comme pour le mouvement d'une planète dans son orbite, trois équations différentielles du second ordre entre trois variables indépendantes; par conséquent les expressions finies de ces variables doivent renfermer six constantes arbitraires qu'on peut regarder comme les éléments de la rotation, et dont trois tiennent à la rotation elle-même, et les trois autres sont relatives au plan auquel on rapporte la rotation, comme dans le cas du mouvement de translation. Ces éléments deviendront variables par l'action des forces perturbatrices, et la détermination de leurs variations est un Problème dont la solution n'a pas encore été donnée, ni même tentée, que je sache, sous ce point de vue général. Je me propose d'en faire l'objet d'un autre Mémoire; dans celui-ci je ne vais exposer que l'Analyse générale et applicable à tous les Problèmes de Mécanique.

Formules générales pour la variation des constantes arbitraires dans les Problèmes de Mécanique.

\ . Soit un système de corps m, m , . . . , qui agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque, et qui soient de plus sollicités par des forces accélératrices P, Q, . . . , P', Q', . . . tendant à des centres fixes ou à des corps mêmes du système, et proportionnelles à des fonctions quelconques des distances p, q,..., p', q' ,..., en sorte que les différentielles Pdp, Qdq,..., Vdp',... soient toujours intégrables.

Soient x, y, z les coordonnées rectangles du corps m; x' , y' , z' celles du corps m',..., et soit

dx2 -+- dy2 ■+■ dz2 m | dx,2 + dy'*-\- dz'2 ml

■xdt1 -xdt2

dt étant l'élément du temps supposé constant. Soit de plus

V = ( fpdp + fqdq + . . . \ m -+- ( ff'dp' 4- fq'dq' -h .

Cette quantité V sera aussi une fonction des coordonnées x, y, z, x',y\

z',..., puisque, en désignant par a, j3, 7 les coordonnées du centre de la

force P, on a

p = sl{x— a.y + {y- (3)2+ (2 - yY, et ainsi des autres.

2. Les conditions du système dépendantes de la disposition des corps entre eux, étant traduites en Analyse, fourniront autant d'équations de condition entre leurs coordonnées ce, y, z, ce', y', z',..., par lesquelles quelques-unes de ces variables seront déterminées en fonctions des autres; de sorte qu'il ne restera qu'un certain nombre de variables indépendantes, par lesquelles la position du système sera déterminée à chaque instant.

Désignons, en général, par r, s, u, . . . les variables indépendantes

dont les coordonnées ce, y, z, ce', y', z',... seront des fonctions connues;

il est clair que les quantités T et V deviendront aussi des fonctions de

ces mêmes variables; et en particulier la quantité T sera une fonction

. , , , . , dr ds du , , .

de r, s, u,... et de leurs dérivées -j-, ^> ^-> ■•> que nous dénoterons,

pour plus de simplicité, par r', s', u',...; mais la quantité V sera une simple fonction de r, s, u, —

3. Cela posé, j'ai démontré, dans la Mécanique analytique [Partie II, Section IV (*)], que ces variables fournissent autant d'équations différentielles de la forme

,dl

dT dY dr dr

jdT

d-dY

dT dY

ds ds

du'

~~dT'

dT dY du du

(*) Cette citation, qui se réfère à la première édition de la Mécanique analytique, convient aussi à la deuxième édition. - [Note de l'Éditeur.)

Il est visible que ces équations seront toutes du second ordrerde sorte que les expressions finies de r, s,u,... contiendront deux fois autant de constantes arbitraires qu'il y a de variables. Nous dénoterons ces constantes par a, b, c,f, g, h,

4. Supposons maintenant que, le Problème étant résolu dans cet état et les expressions de r, s, u,... étant connues en fonctions de t et de a, b, c, /,..., on demande de résoudre le même Problème, dans le cas où les différents corps du système seraient de plus soumis à l'action de forces perturbatrices de la nature des forces P, Q, . . . , mais dont les centres soient mobiles d'une manière quelconque indépendante du système.

Désignons par — 0 ce que devient la fonction V pour les forces perturbatrices dont il s'agit; il n'y aura qu'à mettre V— Q. à la place de V dans les équations précédentes, pour avoir les équations du mouvement du même système altéré par les forces perturbatrices.

Ces équations seront ainsi

7dT

ddr~''

d'Y dV dr dr

dil

' ~dr

ds'

~~dt~

dT dV ds ds

dil

du'

dT dV du du

dQ.

et, si l'on suppose que les mêmes expressions de /*, s, u,..., ainsi que celles de r', s', u',..., y satisfassent encore en regardant comme variables les constantes arbitraires a, b, c,f, g,.-., la question sera réduite à déterminer ces variables d'après ces conditions.