VI

5. Nous ne considérerons ici que trois variables indépendantes, r, s, u\ mais on verra aisément que l'Analyse est générale, quel que soit le nombre de ces variables. On n'aura donc entre ces variables que trois équations, qui, à cause que V ne contient point r', s', u', peuvent se mettre sous cette forme plus simple

7dR dR „ dû .

d -r-r j— dl = —r- dt,

dr dr dr

7dR f/R ,, dLl j.

d-r-r ;- dt— -j- dt,

ds ds ds

,d\\ dl\ . dil .

d — - — -r- dt = -j- dt, du du du

en faisant R = T - V.

Dans ces équations, R est une fonction donnée de r, s, u et de r', s', u', et Q, est aussi une fonction donnée seulement de r, s, u, mais qui peut contenir encore d'autres variables dépendant du mouvement des centres des forces perturbatrices.

6. Nous supposerons connue la solution complète de ces équations dans le cas où l'on fait abstraction des seconds membres qui dépendent de la fonction 0; ainsi, pour ce cas, les valeurs de r, s, u seront censées connues en fonctions de t et des six constantes arbitraires a, b, c,f, g, h, et il s'agira de faire varier ces constantes de manière que les expressions finies de r, s, u, ainsi que celles de r', s', u', c'est-à-dire, de leurs différentielles ^A -4-, -£ relatives seulement a t et indépendantes de la

dt dt dt '

variation des constantes, satisfassent en entier aux mêmes équations, en ayant égard aux termes dépendants de Q..

7. Dénotons par la caractéristique 5, comme dans le Mémoire sur la variation des éléments des planètes, les différentielles provenant de la variation des six constantes arbitraires a, b, c,f, g, h; on aura par l'algorithme des différences partielles, en regardant r, s, u, ainsi que r',

s'-, 11! comme fonctions de t et de a, b, c,f, g, h,

. dr , dr ,, dr , dr ,„ dr , dr

Ôr = -t- da+ ^n- dû -h -r- OC -i- -n; df-h -y- dg+ -rr dli ,

da db de df J dg ■ ° dli

. ds , ds „ ds , ds ,„ ds , ds .,

OS = -7- M + -TV «0 H r- de H 77; df -f- -7- dg H 77- « " >

da db de df J dg ° dli

. du , du ,, du , du ,„ du , du ,, ou — -=- da -t- -jt do h — 7- de -i- -rr. df -i- -j- dg-h -jt dit; da db de df J dg ° dfi

et de même

„ , dr' , dr' ,, dr' , dr1 ... dr' , dr' ,,

Or = —r- da -{ — 77- db h =— de H i-r df H — 7— fls- -+- -77- a« ,

da db de df J dg ° dh

ds' , ds' „ rfs' . ds' ,„ ds' , r/s' ,,

os' = ^— f/a h — 77- ao h — 7- </c h — 777 df -+- -.— «£• -+- -jr dh , da db de df J dg ° dh

. , du' , du' „ du' , du' ,„ du' , du' ,.

ûh' = -7— aa H — 77- db h — ,- a<? -1 777 df H — 7— og- -i — 77- dh .

da db de df J dg ° dh

En regardant les constantes a, b, c,f, g, h comme variables en même temps que t, les différentielles de r, s, u seront ainsi

r'dl-h§r, s'dt-hôs, u'dt-hôu;

donc, pour que ces différentielles se réduisent à r'dt, s'dt, u'dt, comme si les constantes arbitraires ne variaient pas, il faudra que l'on ait

§r — o, os — o, ou = o.