Maintenant, si l'on considère l'équation

, dl\ dR , dil ,

d -r-, 7— dt = —— dt,

dr dr dr

il est facile de voir que, comme R est une fonction de r, s, u et de r', s', u', la partie de la différentielle de -7-7 provenant de la variation des constantes arbitraires sera simplement

d'R , J2R , d'R dr'1 dr'ds' dr' du'

780 SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA VARIATION à cause de dr = o, iïs = o, 8u = o. Donc cetle partie seule devra être égalée au second membre, -j-dt, puisque l'équation est censée satisfaite, sans cette partie et sans le second membre, par les mêmes valeurs de r, s, u, r', s', u' en t, a, b, c,f, g, h que dans le cas où il n'y a que t de variable.

On aura de cette manière l'équation

d2R . , e?!R . , rf2R s , dQ, .

-r-r o> -+- i , , , °s + i,i, OH = —r— dt ; dr" dr ds dr du dr

et pareillement les deux autres équations donneront

d'R , , f/'R . , d2R . , rfû .

Sr'-h -j— ■ oV + , , , , ôV = —j- dt,

dt.

dr'ds' ds'1 ds' du! ds

r/2R , , d'R ., rf2R . , dil

. , . , oV -t- , , , , 3*' -t- -j-r. Su' — -=— dr du as du du- au

Ces trois équations, jointes aux équations

<3r = o, o« = o, Su = o,

renferment toutes les conditions du Problème, et serviront à déterminer les valeurs des nouvelles variables a, b, c,f, g, h en t.

Le but de l'Analyse que nous allons exposer est simplement de réduire les valeurs des différentielles

da db de df dg dh dT' dt' W di' dt' dt

données par ces équations à des expressions qui ne renferment que les quantités a, b, c,f, g, h et les différences partielles de Q, relatives à ces mêmes quantités, sans le temps t, comme nous l'avons fait pour les variations des éléments des planètes dans le Mémoire cité.

9. En multipliant la première équation par -r-, et retranchant les

équations

Sr = o, Ss = o, Su = o,

multipliées respectivement par .

d2R dr'

dr'

dr'2 da

dr' ds' da

dr'du'

je forme celle-ci

dQ dr , d'Rfdr. , dr' . \ d2\\ fdr , , dr' » \ </JR /r/r „ , dr ■dt=—--[-r-Sr' r-ôr + . , , , -r-fa' —

dr da dr'2\da da J dr'ds' \da da j ' dr'du' \da da

J'aurai de même par les deux autres équations ces transformées

dQ. ds d-K (ch^,ds^^\^d2R(ch^, dJ \ d2 R (ds , ds^

ds da dr'ds' \da da j ' ds'2 \da da J ~r ds'du' \da da

dQ. du , d2W (du . , du' „ \ d2R (du

?-R (du., du' \ r/2R (du , du' \ 'du' \da da J du'' \da da j

du da dr'du' \da da j ds

J'ajoute ces trois équations ensemble, et comme Q n'est fonction que de r, s, u, sans r', $', u', il est clair qu'on a

dQ dr dQ ch dQ du dQ dr da ds da du da da

On aura donc cette équation

, d2R (dr . , dr' . \ d2K / ds . , ds' , \ d2R (du . , du' . dr2\da da j ds2\da da J du ' \da da

d'R (dr ds . , dr'ds' \da da

dr' .

- — dada

ds' da

d2\\ (dr , du . , dr'du' \da da

dr' s

-. — àu-

du' da

f/2R / ds „ , du ^ , , ,, , -j- ou' -h -j- ds' ds du \da da

ds'

7— du -

du' , da

ds).

10. J'y substitue maintenant les valeurs de §r, as, §u, <JV', §s', du' données ci-dessus (7), et j'ordonue les termes par rapport aux différences da, db, de, df, dg, dh; on aura une formule de cette forme

^-dl=Ada + Bdb^Cdc + Fdf-hGdg^-Hd/t; da J °

et il est d'abord facile de voir que le coefficient A sera nul par la destruction mutuelle des termes qui le composent. On aura ensuite

fr'RIdrdr' dr' dr\ d2R I ds ds' ds' ds\ . d2R/dudu^ du^du\ ~~ drn\da db da db) ' ds" \da db da dbj du"\da db da dbj

d2R (dr ds' ds dr' dr' ds ds' dr\ dr'ds' \da db ^ da db da db da db J

d*\\. I dr du' du dr' dr' du du' dr dr'du'\da db ~^ da db da db da db

<7'R I ds du' du ds' ds' du du' ds

ds' du' \da db da db da db da db

En changeant successivement dans cette expression de B la lettre b en c, f, g, h, c'est-à-dire, les différentielles partielles relatives à b en pareilles différentielles relatives à c,/, g, h, on aura les expressions des valeurs de C, F, G, H.

Comme R est une fonction donnée de r, s, u, r', s', u', et que ces quantités sont des fonctions supposées connues de t et de a, b, c, f, g, h, il est visible que les coefficients B, C, F, G, H dont il s'agit seront aussi des fonctions de t et de a, b, c, f, g, h. La question est maintenant de déterminer la nature de ces fonctions.

1 1 . Pour cela on se rappellera que les fonctions r, s, u et leurs déri-

, dr , vees r — -j-> s dt

(h ~ dt'

u' — -jj sont telles c.

équations

. dK r/R .

d -r-r r- dt = o,

dr dr

1 dR (lR At

d —r-r 7— dt = O,

ds ds ,f/R f/R -

d -r-r y— dt = 0,

du du

en y regardant les quantités a, b, c,/, g, h comme des constantes arbitraires quelconques, et la quantité t comme seule variable. Ainsi, en donnant aux constantes a, b, c,... des accroissements quelconques Sa,

5è, 5c,... infiniment petits et constants, c'est-à-dire, indépendants de t, les équations différentielles qui en résulteront seront encore satisfaites par les mêmes valeurs de r, s, u et de leurs différences.

Désignons de nouveau par la caractéristique 5 les différentielles de /•, s, u, r', s', u' qui résultent des accroissements da, iïb, 5c, 5/", <$g, èh attribués aux constantes a, b, c,f, g, h; il est clair que, puisque R est une fonction de r, s, u et de r', s', u', on aura, par l'algorithme des différences partielles, ces différences relatives à 5

dm . ,

dR dm . dm . dm

~r~ = ~j~ï or l — i — r os -ï- -, — =— dr dr1 drds dr du

, dm , dm ,

ou H — ; — — - or + -, — -r- os dr dr dr ds

dR dm . dm , dm

T~, — j — n °r -+- —, — i—, às -f- -. =—

dr' drdr' ds dr' dudr'

„ , dm > , , dm >#

■ ou + -r-r- or H — , , , , os dr2 dr ds

dr du'

dr' du'

Donc la première équation, différentiée suivant 5, donnera

,( dm dm , dm . dm ., dm . , dm

al- — 7-roV-i- §s-h -, — T-; du -f- -y—- àV-h

\drdr' dsdr' dudr' dr'2 c/r'ds' dr' du'

dm , rf»R , dm \ dm „ , #r , , t/-n ,

-j— - or H- -j — r Os -h -. — — OM-r- -; — — or+ 7 — 77 0* -f- - — — oV dt=^o. dr2 drds dr du drdr drds drdu

De même la deuxième et la troisième donneront ces deux-ci

dm -, d2R „ , dm

dr ds'

Ss +

du cl s'

dr ds

ÔY-r-

ds2

Ss-h

ds du

■ dm

drdu'

ds du1

■Ss-+

du du'

dr du

ôr-t-

ds du

ôs-h

du2

dr'ds' ds'2 ds' du'

dm „ , dm . , dm .

Ss'-\- -. — 7— ôV )dl — o,

dsdr' ds ds' dsdu'

d2R , , tf'R „ , c?2R

ÔV-

dr'du' ds' du' du'

r 0* -(- -7 — r-, om a/ = o.

dudr1 ' duds' du du'

12. Si, au lieu des accroissements c?a, 5&, 5c, <?/", S»-, §h, on attribue aux mêmes constantes a, b, c, f, g, h d'autres accroissements infiniment petits et constants que nous désignerons par La, Ab, Ac, A/, kg, Ah, et qu'on dénote par la caractéristique A les différences des fonctions r, s,. u, r', s', u' qui en proviennent, on aura trois autres équations semblables

aux précédentes, dans lesquelles la caractéristique â sera simplement remplacée par la caractéristique A.

13. Qu'on ajoute maintenant ensemble les trois équations précédentes multipliées respectivement par A/% As, Au, et qu'on en retranche la somme des trois pareilles équations, dans lesquelles le à est changé en A, après les avoir multipliées respectivement par dr, fis, au, on aura cette équation

Ara —, — t-. or -f- -, — r—, os -+- -, — =— - du '

clrdr' dsdr' ' dudr' dr" ' dr'ds' ' dr' du!

. d'R . d'R , dHi . d'R , , d'R , , r/2R „

— Ar -=— or -f- -j—f- ôs -+- -7—7- ou -+- or' ■+- - — =- ôs' -+- -. — r- ou' dt

dr1 drds ardu drdr drds drdu

-As d\ -, — T-r Sr -+- - — r-, §s -+- -, — t-, au -f- , , , , dr' 4- tt- es'

drds' dsds' ' duds' dr'ds' ' ds" ds' du'

- As -j — y or -t- —=—- os -i- - — j- ôw -f- -. — j-t dr -4- -, — r- as' -f- -. — j—r ou dt

' drds ds' dsdu dsdr dsds ds du

. / d'R ^Ud\drM{

d'R , f/'R , d'R , , tf2R „ , r/2R

; o« -i- - — j— ; au -f- , , i , or' -h - , à* -f-

ds du' du du' dr'du' ds' du' «V

, c/2R . f/2R „ J2R , d'R , , d'R „. , tf*2R , . .

— Ak -j — j- àr 4- , , os -f- -7—- à;* -f- -3 — 7-7 ôr + t — T7 °* +t — r-, o« «* \ dr du ds du du' du dr du ds du du

rt . , , Ar-t- - — T- As-h Au^h -7-7- Ar'-t- -7-7-7-7 As' H- , . , . Au' ' drdr dsdr dudr dr' dr'ds drdu

I ^R \ dr'

d'R . f/2R . rf'R . c/2R • , d'R A , rf2R , ,

Ar-i- -7 — ,- As-+- Au -h -,—j-, Ar'-f- -7 — 77 As'+ -, — j—, Au )dt

drds drdu drdr drds drdu

-as d[ -, — îr-Ar-{--. — j-. As-i- -, — j-,Au-i- , , , , Ar'-t- -=— - As + , , , , Au' 1 dr ds ds ds du ds dr ds ds' ds du

, / d'R , r/2R . d'R . rf2R . , rt"2R . , r/2R . A ,

■os ( ^ — ~ Ar-\ — As-{ — ; — — Au-\- -, — rv Ar 4- - — — As'-h - — — Au' j dt

j— y iir-t- — — - iii-1- -j 7- ii«-t- -7 J— L±l -i ; j- ii* -t- —. 7—7

dr ds ds' ds du ds dr ds ds ds du

îud[ , , , Ar+ , , , As-h -7 — r-Au-t- ... , Ar'-i- -,-—.— A^'-i- -—r- Au

\drdu dsdu du du drdu dsdu du'

Ar-f 7 . As-f- -j— Au+ , , , Ar'H- -.— -7-7 As'-+- , , .Au' )dl — o.

dr du ds du ' du' . du dr' du ds' ' ' du du'

14. Et, si l'on exécute les différentiations relatives à la caractéristique d qui se rapporte au temps /, qu'on efface les termes qui se dé-

truisent et qu'on ordonne les autres par rapport aux différentielles de R, on aura

djp^ [Ar ôr'-ôrAr')

</2R ds'-

d-^n {Audu'—ôuAu')

rf'R ûfr' c/s'

+ d d?7ïï(Ar ôs' — §r As' + As *r' - as Ar'

dr'du'

, tf2R ,. ,

ds7^? ( As èu' ~ às Au' + Au oV - °" As' )

-hdd7èr^ArSs -drA*) + dcÊlF(ArSu-drA»)

drds'

+ ddr~d7^dr-ôsAf-)

+ d^W{Asdu-§sA<

dr dw

• "dïdiP{Au§s -ô«^)

+ ^77 (Arrfâr'— Sr d Ar')

H- ^tj (Au d du'— ou d Au'

+ tfrW ^ Ar rf ôs' ~~ ôf ^ Ai' -+- As c/<5r'— as rfAr')

, , , ,{Arddu'—drdAu'-h Auddr'— du d Ar') ardu'

./in 7-7-7 {As ddu'— ds dAu'-h Au dès'— èudAs')

ds' dw

dr dr

[Ar dôr — dr d Ar — A;- dr' dt -+- dr Ar' dt)

, 7 (Ar dès — drdAs — As dr' dt -+- ds Ar' dt) dsdr

-t- -, — ;-; ( Ar d ou — dr d Au — Au or' dt + duAr'dt) du dr' v

dr ds'

H — ; — =-; ( As dos — os d As — A* ds' dt -+- es As' dt) dsds'

'As ddu — ds dAu — Au es' dt-s- eu As' dt)

{As dôr —ds dAr — Ar os' dt -+- dr As' dt)

du ds d'R

dr du

7 {Auddr — Sud Ar — Ar du' dt -h dr Au' dt)

rf2R

-+- -, — T-, {Au dès — dudAs — As du' dt -+- ds Au' dt) ds du

-t- j — j—JAuddu— dud Au — Audu' dt -+- duAu'dt) = o. du du

15. Si maintenant on fait attention que r' dt — dr, et par conséquent dr'dt = ddr=, ddr,

à cause de l'indépendance des caractéristiques d et §, et par la même

raison

ds'dt — dds, du'dt—ddu,

ainsi que

Ar'dt = dAr, As'dt = dAs, Au'dl—dAu,

on verra d'abord que les coefficients de -, — 7-75 -, — 7-7; -, — ri se détruisent 1 dr dr ds ds du du

d'eux-mêmes, et que le premier membre de l'équation devient intégrable par rapport à t, ce qu'on ne pouvait pas espérer. L'équation intégrale est ainsi

-r^- [Ardr'-Sr Ar') dr"

d2R ,A - - * A ,, -+- -T7J- ( As os — as As )

du1''

dr' ds'

(Auèu' — àuAu')

(Ar es' -h As §r' — Sr As'

-+- , , , , (Ar to'-f- Auèr'— §rAu' — SuAr'* dr du v

rf2R , A „ , . ' , ', . ■ . , H — , , , , (Ai àil' -{- Auôs — as A«< — ou As ') ds du

-7— tt r^TT Aras — §rAs)

dsdr' drcls'j x

/ tf2R c/2R \ ,. . , ., .

[du~d?-d7dV){Arôu-§rAu)

-, (As ou— es Au) = K,

du ds' ds du'

la quantité K étant une constante par rapport à t, et qui peut être par conséquent une fonction de a, b, c,f, g, h et de leurs différences relatives aux caractéristiques à et A.

A l'égard des valeurs des différences dr, ds, du, dr', ds', du', il est facile de concevoir qu'elles doivent être exprimées comme celles du n° 7, mais en y changeant les différentielles da, db, de, df, dg, dh en da, db, de, df, âg, dh. Il en sera de même des différences Ar, As, Au, Ar', As , Au, en changeant da, db, de, df, dg, dh en Aa, Ab, Ac, Af, Ag, Ah.

16. Comme ces différences da, db, de, df, âg, dh, ainsi que Aa, Ab, Ac, Af, Ag, Ah sont constantes, c'est-à-dire, indépendantes de t et absolument

arbitraires, l'équation précédente subsistera toujours, quelques vabeurs qu'on leur donne. Supposons d'abord

ensuite

on aura (7)

b = o, Ac =

o, A/= o, Ag-=:o,

a = o, Se =

ôh = 0,

a dr .

Ar = -r- Art, da

A <fo A

Au —

aa .

-3- Aa, da

a - dr' Ar'= -j— Art, da

As'= -j- Art, art

Au'—

du' .

-;— Art, da

èr = % èb, do

&s = -TT- èb, db

ou =

du .

dbèb>

dr' = -=7- 36, do

ds' »,

OS = -77- o/>,

Su' =

et, ces valeurs étant substituées dans l'équation intégrale ci-dessus, on aura, après avoir effacé le facteur commun Aaâb,

d'R [dr dr'

dr'1 \da db

f/'R / ds ds'

ds'2 \da db

du du' da db

of!R

dr' ds'

(dr \da

ds' db +

dr' du'

lia

\da

du'

~dT +

[ds \da

du'

ds' du'

~db~*~

\ds dr

d2R \ drds' }

\ du dr'

dr du' j

cfrdr^ db da

ds ds' db da

du du' db da

ds dr' da db

dr ds' db da

ds dr' db da

du dr da db

dr du' db da

fin r/h + rln WA ri h ri r, rlk A ' r. ) / (a> »

du dr' db da

, du ds'

ds du'

du ds' da db

dr ds

da db

dr du da db

ds du da db

ds du' db da

dr ds db da

dr du\ db da J

ds du \ db da J

du ds' db da

Je désigne par le symbole [a, b) une quantité constante relativement à t, et composée des constantes a, b, c,f, g, h, laquelle sera égale à ce que devient le premier membre de l'équation lorsque, après la substitution des valeurs de r, s, u et de leurs dérivées r', s', iï en fonction de t et de a, b, c, f, g, h, on y fait t — o, ou bien on en rejette tous les termes dépendants de t.

17. Or on voit que les premiers termes de cette équation coïncident avec ceux de l'expression du coefficient B du terme B db dans la valeur

de -j—dt (10). Ainsi, en substituant B à la place de ces termes, on aura

simplement

. d'R d2R \ / dr ds dr ds

dsdr' drds'J \da db db da

d2R d2R \ (dr du dr du

dudr' drdu'j \da db db da

d2R d2R \ Ids^du ds du\

i du ds' ds du' j \da db db da'

d'où l'on tire

B = {a'b^-{didZ-dJdV)

d2R d'R \ I dr ds ds dr

da db da db

t d'R d'R \ / dr du du dr\ \drdu' dudr' J \da db da db)

d'R d2R \ / ds du du ds

ds du' du ds' J \da db da db

18. Supposons ensuite dans les valeurs de dr, ds, du, dr', ds', du' les différences da, db, df, dg, dh nulles; on aura

§r = — Se, §s — -r- §c, ou = -j- Se, de de de

tr>=É£to, ds'^^àe, M=^§e.

de de de

En substituant ces valeurs dans la même équation générale, et conservant les valeurs précédentes de Ar, As, Au, Ar', As', Au', on aura, en

790 SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA VARIATION effaçant le facteur commun àaâc, cette autre équation

d-RIdrdr' dr dr'\ dr' ' \ da de de da )

d2R( ds ds' ds ds'\ ds12 \da de de da j

d2R (du du' du du'\ du'2\da de de da J

d7R ( dr ds' | ds dr'

dr ds' ds dr'\

dr'ds' \da de ' da de

de da de da J

d2R (dr du' , du dr' dr'du' \da de ~T~ da de

dr du' du dr' \ 1 de da de da J 1

ds du du ds'\ de da de da j

d2R Ids du' du ds' ds'du' \da de ~" da de

1 d'R d2R \ (dr ds \dsdr' drds' j \da de

dr ds\ de daj

( d2R d2R\ Idr du \dudr' drdu' j \da de

dr du\ de da)

( d2R d2R \ (ds du

ds du\

\duds' ds'du' ) \da de

de da)

-tttttt > = (*.<0-

La quantité désignée par le symbole (a, c) exprime la valeur de la formule qui forme le premier membre de l'équation lorsque l'on y fait t = o ou qu'on rejette tous les termes indépendants de t; et l'on voit que cette quantité répond à celle qu'on a désignée par le symbole (a, b) en ce que la lettre c est partout à la place de b. On voit aussi de la même manière que les premiers termes de cette équation forment la valeur du

coefficient C du terme Cdc de l'expression de -j— dt; ainsi l'on en peut

déduire la valeur de ce coefficient exprimée de cette manière

dr ds'

drdu'

\ ds du'

ds dr'

du dr'

d2R du ds'

dr ds da de

ds dr\ da de)

dr du ^da de

du dr\ da de)

ds du

du ds\

da de

da de)

Comme cette expression de C résulte de celle de B, en y changeant simplement b en c, on aura pareillement celles de F, G, H, en changeant successivement b en/, g, h.

19. Ainsi la valeur de -r- dt (10) deviendra, par ces substitutions,

—r- dtz^la, b da

db -+- {a, c) de -t- {a,f) df-r (a, g) dg -t- (a, h) d/i

\ dr ds'

d'R \ dr f ds „ ds 7 ds ,„ ds 7 ds ,.\

; — j—,- ) -j- \-jl db -+- -j- de -i- -rr. df -+- -y- dg -f- -77- d h)

dsdr' j da\db de df J dg ° dh j

\ dr ds'

d' R \ ds 1 dr ,, dr , dr dr dr . \ dsdr'J da\db de df dg b dh J

\ dr du'

d7R \ dr I du „ du . du .„ du . du .. \ dudr'j da\db 'de df ^ dg ft dh )

\ dr du'

d' R \ du 1 dr „ dr , c?/- . ,, c?/' , c?r , . \ dudr'j da \db de df J dg b dh j

\ ds du'

d'R \ ds j du ]k du K du /f du 7^ du u\ duds' j da \db de df •* dg " dh j

\ ds du'

d'R \ du f ds j. ds , ds ,„ ds , ds ,,\ duds da\db de df J dg ° dh J

20. Si maintenant on se rappelle que les équations iïr = o, c^ = o, du — o du n° 7 donnent

<//■ ,, <r/r , dr lr dr , <7r ,, dr

-yj- db + -j- de ■+■ -jT, db de dj

db + -j- de H — 7? rff -, — 7-dg -\ — rr dh — =- da,

de df J dg ° dh da

ds „ ds , ds ,„ ds , ds ,, ds .

-rr db -~ -r- de -+- -rr. df -i- j- dg -+- -rr dh = y- da,

db de dj J dg ° dh da

du „ du 7 du ,. du 7 du 7, du ,

-rr db -\- -j- de -h -rr df -i- -r- dg -h -rr dh r= — da,

db de dj •' dg ° dh da

on voit tout de suite que cette expression de -j^dt se réduit à la forme très-simple

~dt = (a, b) db + {a, c) de + («,/) df-h (a, g) dg -+- (a, h) dh ;

et de là, par l'analogie qui règne dans nos formules, on pourra déduire

immédiatement les expressions de -rr dt, ~dt,..., en changeant r db de °

simplement a en b, c On aura ainsi, en observant que la valeur

de (a, b) ne fait que changer de signe par le changement de a en b et

b en a, et qu'il en est de même des valeurs de tous les autres symboles

^fdt=- («> b) da -h {b, c) de + (b,f) df+ {b, g) dg -h (b, h)dh, -jT dt = — {b, c)db — {a, c)da + {c,f) df -h (c, g) dg -h (c, h) dh, ^ dt = -(b,f) db - (c, f) de - (a,f) da + (/, g) dg + (/, h) dh, û dt=-(b, g) db - (e, g) de - (f, g) df - (a, g) da H- {g, h) dh,

— {b,h)db — (c, h) de - (f, h) df - (g, h)dg - (a, h) da,

formules entièrement semblables à celles que nous avons trouvées dans le Mémoire sur la variation des éléments des planètes (6), et qui n'en diffèrent que par la valeur des symboles (a, b), (a, c), {b, c),

21. A l'égard de ces valeurs, il est bon d'observer qu'elles ne dépendent pas de la fonction R elle-même, mais seulement de ses différences partielles relatives à r', s', u'; de sorte que, comme on a supposé R = T — V (5), et que V n'est fonction que de r, s, u (2), on aura simplement

dR dT rfR^T dR dT

dr' dr' ds' ds' du' du' '

par conséquent, dans les expressions des valeurs dont il s'agit, on pourra mettre partout T à la place de R.

De cette manière on aura, en général, pour un symbole quelconque

, ,. d'T l dr dr' dr' dr

dr'' \da db da db

d- T / ds ds' ds ds

ds'2 \da db da db

d'T l du du' du' du

du'1 \da db da db

d'T I dr ds' ds dr' dr' ds ds' dr

dr' ds1 \da db da db da db da db

d'T I dr du' du dr' dr' du du' dr

dr' du' \da db da db da db da db

d'T f ds du' -du ds' ds' du du' ds

ds' du! \da db da db da db da db

d'T / s' du' \

( d'T d'T \ /dr ds ^ ds

\ ds dr' dr ds' ) \da db da

dr da db

(d'T d'T \ /dr du du dr

\dudr' drdu! ) \da db da db

d'T d'T \ /efe du du (h

duds' dsdu'j \da db da db

en faisant t = o, ou bien en rejetant tous les termes qui contiendraient t, après la substitution des valeurs de T et de /*, s, u en fonction de t, a, b, c, f, g, h.

22. On voit aussi, par cette formule, comment on pourrait l'étendre au cas où il y aurait un plus grand nombre de variables indépendantes.

A l'égard de la fonction T, elle n'est autre chose que la moitié de la somme des masses multipliées chacune par le carré de sa vitesse, c'està-dire, la moitié de la force vive du système exprimée en fonction des variables indépendantes et de leurs dérivées relatives au temps. Ainsi notre Analyse a toute la généralité et la simplicité qu'on peut désirer.

23. Lorsqu'on aura trouvé les valeurs de tous les symboles (a, b), (a, c), [b, c),. . . en fonction des constantes a, b, c, . . . , on aura autant d'équations de la forme de celles du n° 20, par lesquelles on pourra dé-