ADDITION

25. Depuis la lecture de ce Mémoire j'ai observé que l'équation intégrale trouvée dans le n° 15 pouvait se réduire à cette forme simple

. , (/R . , dR . . f/R „ . dR . . dR , . dR r,

Ard-j-- h- AsS-r- -4-Auà-y-? — ôrA-rr —èsA-j-,- —àuA-rT = R, or «5 du dr ds du

et j'ai reconnu qu'il était possible de la déduire directement des trois

équations différentielles

, dR dR ,

d -t—, j— dt = o,

dr dr

rdR dR ,

d -7— 1— dt = o,

ds ds

, dR dR , a -î-t -i— dt — o,

par le seul jeu des caractéristiques à et A, et sans exécuter les diftérentiations relatives à d.

En effet, si l'on ajoute ces équations ensemble, après les avoir multipliées respectivement par Ar, As, Au, on a

. 7dR . 7dR . 7dR (dR . dR . dR . \ .

Ar d -r-r + As d -r— + Au d -j~ — — =— Ar H ,-■ As H =— Au ) dt — o.

dr ds du \ dr ds du /

. ,dR ,/. dR\ dR ,.

Ar </-=—- —diAr-^— \ =— -dAr.

dr' \ dr' ) dr'

Mais nous avons déjà vu que dAr = Ar'dt (numéro cité) ; ainsi l'on aura . ,f/R ./. f/R\ dR . , .

dr' \ dr' I dr

70G SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA VARIATION et de même

dR , / dR\ dR

ds' ~ \ ds' I ds'

Aud~—r = (/ Am-tt rT Au'dl.

du \ du J du

Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, on pourra lui donner cette forme (puisque R est une fonction de r, s, u, r' , s', iï)

,/, dR . dR . f/R\ .„ . diAr-,—- -+■ As-r- -+- Aw-r— — AR dt — o. \ tir ds du J

On trouvera pareillement, en changeant la caractéristique A en o,

./, dR , r/R , dR\ ST> 7j \ o/' ds du J

Maintenant, si l'on affecte tous les termes de la première équation de la caractéristique § et ceux de la seconde de la caractéristique A, et qu'on regarde les variations Ar, As, Au comme constantes à l'égard de la caractéristique &, ainsi que les variations 8r, fis, du, comme constantes à l'égard de la caractéristique A; que de plus on se souvienne que le d n'a rapport qu'au temps t, et est par conséquent indépendant de § et A, on aura ces deux équations-ci

il a *dR a *dti . „,tfR\ . .„ .

d( Aro-j-r -+- Asè-r- -+- AuS-j-A — oARdt = o, \ dr ds1 du J

,/. . f/R . . dR , . dR\ . .„ , \ dr ds du J

Or, puisque les deux caractéristiques 5 et A sont indépendantes entre elles, en supposant les variations de r, s, u, r', s', u' relatives à ces caractéristiques aussi indépendantes les unes des autres, il est clair qu'on

aura

âAR^ A<3R.

Donc, retranchant les deux équations l'une de l'autre, on aura une

équation intégrable relativement à t, et dont l'intégrale sera

A . r/R . ' f/R \ , dR . . <7R s . e?R . . rfR „ cfr' as' du dr' ds du

qui est la même que celle que nous avons déjà trouvée.

Mais, quoique cette Analyse soit bien plus simple que celle du Mémoire, parce que les différentiations n'y sont qu'indiquées, elle peut néanmoins laisser quelques cloutes dans l'esprit, à cause de la supposition que nous y avons faite de l'indépendance des variations de r, s, u, r', s', u' relatives aux deux caractéristiques § et A, tandis qu'il n'y a à la rigueur d'indépendantes que les variations §a, iïb, 5c,... et Aa, Ab, Ac, . . . C'est pourquoi l'entière Analyse, quoique beaucoup plus longue, ne doit pas être regardée comme inutile, puisqu'elle peut servir à mettre notre Théorie à l'abri de toute objection.

26. Au reste, d'après la forme que nous venons de donner à l'équation intégrale, on peut simplifier les expressions des symboles (a, b),

(a, c), En effet il est facile de voir qu'en regardant directement R

comme fonction de a, b, c,..., et substituant T à la place de R, comme nous l'avons fait (21), si l'on suppose, pour abréger,

dT dT c/T ■

~T~i — * > ~TF — ^ » ~1~T — *■ !

dr ds du

on aura, par l'algorithme des différences partielles,

et ainsi des autres symboles, en changeant seulement les lettres a, b en c, /, g, h, où l'on rejettera après les substitutions tous les termes qui contiendront le temps t, ou bien on y fera t — o, pour que les valeurs de ces symboles ne dépendent que des constantes arbitraires a, b,

On voit aussi, par cette forme que nous venons de donner aux ex-

dr dT ds d'ï" du dT"

dr dT

ds dT'

du dT

da db da db da db

db da

pressions des symboles, comment elle peut s'étendre à un plus grand nombre de variables s, t, «,..., et de constantes arbitraires a, b, c, /, g, h,....

27. Je ferai encore ici une autre observation importante. On sait que la loi de Mécanique appelée la conservation des forces vives a lieu dans tout système de corps liés entre eux d'une manière quelconque, qui agissent les uns sur les autres par des forces proportionnelles à des fonctions des distances, et sont en même temps soumis à des forces étrangères dirigées vers des centres fixes et proportionnelles aussi à des fonctions des distances aux centres; mais elle cesse d'avoir lieu, si les forces étrangères ou quelques-unes d'entre elles tendent à des centres mobiles et indépendants du système.

Cependant on peut démontrer par les formules de ce Mémoire que les variations de la force vive du système, produites par ces sortes de forces que nous regardons comme des forces perturbatrices, ne peuvent jamais croître comme le temps, mais doivent toujours être périodiques, si les mouvements des corps du système sans les forces perturbatrices, ainsi que ceux des centres de ces forces, sont simplement périodiques; et ce résultat a lieu en ayant égard non-seulement aux premiers termes dus aux forces perturbatrices, mais aussi à ceux qui contiendraient les carrés et les produits de ces mêmes forces.

28. En effet les équations du système sans les forces perturbatrices sont de la forme (5)

, dR

d-rr dr

-™dt, clr

, dR

d~rr ds'

dR , ds

, dR du

r— dt =

quel que soit le nombre des variables /•, s, u,...

En ajoutant ensemble ces équations, après les avoir multipliées res-

dr , ds , du

pectivement par r — -775 s = -j-, u = -7-1 ■ ■ ■ ■> on a

, ,dR , , dR , , dR dR . dR . dR ,

r d --=— - ->- sa — r + u a -j—r -+-■■■■■ 7— dr J— as r— au — . . = o.

ar ds du dr ds du

Or la première partie de cette équation peut se mettre sous la forme

, / f/R , dR , dR , \ dR , , dR , , dR , ,

d -—,■ r -< — — - s' H — -— u' -4- . . . 1-,- dr 7-,- ds' j-T du' — . . . .

\dr' ds duL- j dr ds du

Donc, puisque R ne contient d'autres variables que /', s, u — , r', s', u' l'équation prendra cette forme

JdR , dR , dR , \

dont l'intégrale est

dR , dR , dR , ar ds du

a étant une constante arbitraire.

Or R =T — V (5); et, comme V n'est censé contenir que /-, s, u.. . sans r', s', u',..., l'équation précédente devient

dT , d'£ , d'Y , rr X1

Mais, la quantité T étant exprimée en fonction de r, s, u et de r', s', u',..., il est facile de voir qu'elle ne peut être qu'une fonction homogène de deux dimensions de r', s', u',..., et qu'ainsi on doit avoir, par la propriété connue de ces sortes de fonctions,

— — - r -1 TT S H j— r U -t- ■ ■ . = 2 1 .

dr ds du

De sorte que l'équation qu'on vient de trouver se réduira à

laquelle exprime la loi de la conservation des forces vives. [Voyez la cinquième Section de la seconde Partie de la Mécanique analytique, Article IV (*).]

29. Lorsqu'on a égard aux forces perturbatrices, les équations des mouvements du système sont (5)

, dR

dR ,

— dt —

dû,

-r-dt, dr

■ dR ds

dR ,

,- dl —

dû .

-i- dt, ds

ddK

du'

-™dt =

dû'

-T-dt, du

et, en faisant sur ces équations les mêmes opérations, on aura, au lieu de l'équation T + V = a, celle-ci

, ri dû dû , dû ,

T + V = a+ | -JT- dr H j- ds H — ;— du

J \ dr ds du

dans laquelle la quantité

dû , dû , dû ,

— =~ dr H — t— ds + -t— du -+- . . .

dr ds du

n'est pas intégrable, parce que la quantité û est en même temps fonction de r, s, u, . . . et des variables qui dépendent du mouvement des centres des forces perturbatrices.

Ainsi, dans le cas des forces perturbatrices, la constante arbitraire a de l'équation T-f-V= a devient variable, et l'on a

dû . dû , dû .

da — --,— dr H — s— ds -h -t— du ■+ . . . . dr ds du

La force vive du système (1) étant exprimée par 2T, elle sera égale à ia — 2V; mais la quantité V est une fonction donnée des variables qui déterminent la position instantanée des corps dans l'espace. Donc les

(*) Dans la deuxième Édition, seconde Partie, Section V, n° 22. [Note de l'Éditeur. )

variations de la constante arbitraire 2a seront celles que la force vive éprouve par l'action des forces perturbatrices.