Dans l'orbite des planètes autour du Soleil, T devient

dx- -+- df -+- dz2

2 al'

et V devient

r étant le rayon vecteur de la planète m, et la masse du Soleil étant prise pour l'unité. Alors la constante a devient

a étant le grand axe de l'orbite, comme on le voif par l'équation rapportée dans le n° 8 du Mémoire cité.

Ainsi le Théorème sur la variation du grand axe n'est qu'un cas particulier de celui que nous venons de démontrer.

33. Dans la rotation d'un corps solide, on a [Mécanique analytique, Partie II, Section VI, Article 40 (*)]

T = - (Ap2 H- Btf2 4- Cr2) - Fqr — Qpr — ïïpq, ( * ) Dans la deuxième Édition, seconde Partie, Section IX, n° 21 . {Note de l'Éditeur. )

p, q, r étant les vitesses de rotation autour de trois axes perpendiculaires entre eux, et A, B, C, F, G, H étant des constantes dépendantes de la figure du corps et de la position des trois axes; et, si l'on nomme p la vitesse de rotation autour de l'axe instantané de rotation, et )., [x, v les angles que cet axe fait avec les trois axes des rotations p, q, r, on a [Section citée, Article 45 (*)]

p = p cosl, </ — pcosf/, r = pcosv.

La force vive 2T sera ainsi

(A.cos2X-t-B cos'p. -t-Ccos2v — aFcos^cosv — 2Gcos)iCOsv — aIIcosÀcos/x)p2.

Donc, s'il y a des forces perturbatrices, la valeur de p ne pourra jamais être sujette à une variation croissante comme le temps, en ayant même égard aux secondes dimensions des forces perturbatrices.

Ce résultat s'applique naturellement à la rotation de la Terre et des planètes, en tant qu'elle peut être altérée par l'attraction des autres planètes.

34. Je dois ajouter, relativement à l'analyse du n° 25, qu'on peut la rendre rigoureuse en formant d'abord l'équation

. f ,.dR .dR , \ , / l. dR . f/R ,

Ar [de -r-f — è -f- dt) — §r [ dA -j-r — A -p- dt \ dr . dr j \ dr dr

. / „ f/R .dR , \ . / ,. f/R . f/R , n

-+■ As [ dà -rr — à-r- dt) — §s [ dA -r-, A.-,- dt

\ ds ds / \ ds ds

. ( ..dR .dR . \ , / ,. r/R . r/R , -i- Au de -j-t —§-y-dt) — §u[ dA -7-7 -Ay- dt \ du au J \ du du

qui se transforme aisément en celle-ci

d Ar à —r-r -r-Asà —rr -f- Au à -r— — dr A -=—7 — as A —r-, du A -7—7

\ dr ds du- dr ds' du

. , f/R . .dR . .dR . ..dR . , . dR . r . dR\ ,

Ard-j—-hAsà —. 1- Au § —. 1- Ar' § -=-7- + As' è -r-r H- Au' è -7-7- dt

dr ds du dr ds du J

. . f/R , . f/R . . f/R . , . f/R . , A f/R . . . f/R\ , <5rA-j— -^SsA-r--\-duA-1—-i-dr'A-1-r-{-§s'A-r--i-èu'A-rT) dt — dr ds du dr' ds du J

[*) Dans la deuxième Édition, seconde Partie, Section IX, n" 29. [N'oie de l'Éditeur.

Or, R étant une fonction des variables r, s, a, r',..., il est facile de voir, par le développement des différentielles marquées par A et à, que les deux formules

Are -r— -+- As o —, h Au o —, 1- Ar' 6 -j-r- -+-...,

dr ds du dr

„ 4 dR , . dR . s f/R . , . JR ,

or A -> \- os A —. H A ou -= h or A -j-r -+-...

dr ds du ar

sont identiques. Donc il reste l'équation intégrable

, / A , r/R A ,(IR . . r/R „ . JR , . rfR . , . dR\

d Ard-r- + As ô -7— + A;/ 0-^-7- — orA-j-p H- os A -^ o?«A -j-j- — o.

\ dr' ds du dr ds du';

35. Enfin, si dans l'expression Ae^dt du n° 20 on substitue les valeurs des symboles {a, b), (a,c),... données dans le n° 26, et qu'on dénote, comme dans le n° 7, par la caractéristique § les différentielles provenant uniquement de la variation des constantes a, b, c, /,..., on aura l'équation

dT ,dT dT

cIQ. , dr „ dT ds „ dT du . dT drr ds' du'

cU=-;-S-1-r-h-r-è -j-p -+- -j- S -r-y -, — dr -. — ds -= — du,

da da dr' da ds da du du da a a

où le t devant disparaître du second membre y peut être supposé tout ce que l'on voudra.

On aura autant de pareilles équations qu'il y a de constantes arbitraires, en changeant successivement a en b,c,f,... dans les différences partielles.

C'est là, ce me semble, ce que l'Analyse peut donner de plus simple sur la variation des constantes arbitraires dans les Problèmes de Mécanique.