CALCUL DES PERTURBATIONS DES SATELLITES DE JUPITER

Nous nous contenterons ici de chercher les formules qui déterminent le mouvement du premier satellite, parce que les autres s'en déduiront aisément par les remarques des Articles IX et XIII.

Pour appliquer au mouvement du premier satellite les équations générales de l'Article VIII* il est visible qu'il ne faut que marquer les lettres d'un trait (*), et substituer ensuite pour X,, Y,, Z, leurs valeurs tirées de celles de R,, Q,, P, (Article précédent). Mais, avant que de faire cette substitution, nous remarquerons que les équations (Articles V et VI)

: n — X. j O ( i -+■ n x ) dt = a u h » — Y

Voir la Note de la page 76.

ne peuvent subsister dans l'hypothèse de n très-petit, à moins que les

quantités constantes — — ap?, a\x , et les quantités variables R

et Q ne soient chacune très-petites de l'ordre 71.

Or, en examinant les valeurs de R et Q (Article précédent), il est facile de voir qu'elles ne sauraient être supposées très-petites qu'en regar-

Soit donc, en général,

-pjp = ny„, —7jp=nK, v — = iik.

' IP câiu n-

Soit, de plus,

ï— J=nS> -y—=nU.

Nous aurons, à cause de /= — (Article V),

X =--*--££ Y = H 1 «■/Q(,+-,|g)rf*

c'est-à-dire, à cause de F = ffl -+- © (Article X),

«= R y — H — J<J^ + nx'idt

A l'égard de la quantité Z, elle sera déterminée par l'équation (Article Vil)

P-nRz V r,

1 + nx a'

laquelle se réduit à

JP n(i -+- »x)(i -+- "•*' I où l'on remarquera que P est déjà toute multipliée par n (Article XXVIII).

Appliquons maintenant ces formules au premier satellite. Nous au-

rons d'à!

ord en substituant la valeur de R, (Article XXIX;

[r(a,, a.,) ■+- F, («c, a2) cos(f/.2 — p., )t-h r2(a,, a., ) COS i ( (/., — f*, )f -t-. . .]

■«Xi

«Xi

[r(«,, a3) -t-r^a,,^) cos(fi3— p., )î-t-r2(a,, «3)cos2(p.:) — [*,)< h-. . .]

— — [r (a,, aA) -t-T, (<■/,, a,) cos (p., — p;)t-h !",(«,, «,) C0S2(f/.. — p, )'-)-■. .] — |— [2-t-fcos(/« -(/.,)*]

— ^— a;, [n(a,,a2) -t- !!,(«,, a2) cos(p.2 — p^t-t-n^a,,^) C0S2([/., — f*i)f + • • •]

— ^ — ^,[11(3,, a3) -f-ff, («,, «, ) COS(fi3 — u,)f-t- !!,(«,, «3) 0082(1,1, — (i,)f -H. . .]

— — — ar,f n(a,, a,) -f-ff, (a,, a4) cos(f*, — p-,)' + ïï2(al,a<) C0S2(f/., — (*,)£ + ...]

J X,[i -+- y COS (/M — f*,)]

— — ^,[¥(«,,(1,) -t-lf, (a,,a2)cos(p2 — fA,)?-i-,lr2(a1,a2)cos2(fi2 — (*,);-(-. . . J

«Xi

^[^("li'O -*-1ir, («, , «3 ) COS ( fts — (A^ï-I-Tjlfl,,»,) COS 2 ((/., — (/.,)« -I-. . .]

''- — a:4[,F(a1,a4)-l-,F1(al,a))cos(fij — (*,)?-t- ¥,(<!„(!,) cosa(p4 — (/-, )/ -f-. ,

?[! + I COS2(nll — fi, )/]

"^ «Xi

ITf"- ( J-2 — .'', ) [?, («„ «,) sin(p, — p., )< -+- 2 f, (a„ a2 ) sin 2 (p., - p,)* +. . .] 7^7- (/s — Ji)[ri(nn "3) sin ( F-.i — P-, ) ' + ar2(a,, a,) sin2(f*j — (*,)* +•...] ~r(rs —/,)[?,(«,, «,) sin(ft — (i,)fH- 2r,(«,, a<) sin2([A4 — ft,)f + . . ■ .]

rtK

— ( J — y) 3 sin 2 ( m — p., ) t

Multipliant la valeur de Q, par i -+- nxlt et faisant, pour abréger,

n,(«„a2) = n,(a„a2) -t- r,(a„ a,), n,(a,, eu) = n2(a,, a3) -4- f ,(a„ a2), n3(a,, a,) = 8, (a,, a,) + l\(a,, a»)»

on aura, après l'intégration et la substitution,

y, [T. (a,, a.) . . YAa.,a,) . . ,

/j '' " '' COS «,- fl, H p-± -—r C0S2 p, — p. V -+"...

-"X, L f*2 — f-, r »((*. — Pi) J

1* . ll " -' COS p, — p, ) / -+- , ' '" , C0S2 p, - f*, >-!-. ••

»x, L ft — (*,

COS ( p., — p, 1

r,(ff|,o.,) Mft — d)

"*" | j:, [n,(a1,aa)sin(p2— fA,)î + n2(a,, a2) sin2(p.2 — {*,)< -+-. . .]rfe

^3 — / ^ [ni(«l,(73)sin(p;, — [!,)*-+- fi, («„-«,) sin2(f*3 — p,)? H-. . .\dt — — — / *i [n,(«,3al)sin(pj — p.,)f+ n2(a,,«J sin2(p, — p.,)« + . . .]dt

/i,x3 sin2(w — u. )t dt

" /x f jr2[Ç,(a(, a2) sin(p, — p,)? + ?,(«„«,) sinaj», — p,) « -h. . .] r/< ~*~ /z Xi i/ •

"y" / ^[¥,((7,, a3)sln(p3— p,)î -+- ?,(«„ «3) sin2(ft3 — p.,) /+...] f/z

"y' ■ /^ -r , [ T, { «, , «4 ) sin ( fA, — p, )* + ?,( a,, a,) siii2(p, ~ (*,)■*+...]'&

/Ex f sin 2 ( « — u.)tdi

"y- j (r2 — r,) [?,(«,,«,) cos (p, — p,)/ + 2r3(a„fl2) cosafu, — p,)< + . ..]//*

■ "x* Ç(f3 — j,) [f , («„ a3) cos Gfj— -ft) ' -t-afj (a,, a3) COS2 (,u3 - 1 ~+~ "Xi >/

72 y' / (js — .r,) [?,(«,, a,) cos(p< — p,)« + af2(a,;«4) cosa(iv

/(J — r, ) X 3 COS2(m — u.)tdt.

.]tfe

Enfin, si l'on fait

= a\Tt{a„ a2) -+■ f, (a,, a2),

= ajr2(a,, fls) + r2(ac, a2),

= aïasr,(a,, a2), — a'a2r2(ai, a2),

et ainsi de suite, on trouvera

Z, = "^ — s, [r(«j,a2) + F, («„ «,) COS(f*2 — (*,)« -+-r,(«,, aj cosa(fi2 — «.,)/-+-...] - — zl[T(al,a)) -h r, (a0«3j COS (fi., — f*, ) ï -l- ra ( «, , «.,) c0S2(f*3 — f-,) <-*-•• .]

■^ — s, [r(«,, «J -t-r^fl,, aj cos(«i — u.t)t + r,(fl,, a,) cos2(,a1 ■

3,[f -h | cosa(/« — ft )']

■"Xi

-^ — z4 [r(«1, a,) + r,(a,, «2) cos(f/.2 — [/.,')* + r2(à,, a,À) C0S2(u, — u.t)t -(-,. . .]

^2 — s3 [r(«,, «,) ■+- r^a,, a3) cos(f.3 — «,)* + l\( «,, a3) cosa(p3 — [*,).* ■

"*' 3, [r(«„ «t) +'r,(«,, «O COS(fi., — u,)' + r2(«n fl4) C0S2(y.( — (t,)f -)-. . .],

"Xi

dt"-

(3 ftf — 2 f, ) .r, -+-./; X, - a *,/, Y,— n (6 p. ; - 3/, ) x; - f «/ z\ + 6» f,.,/, a:, Y, - «,/f Y; = o,

2 p.f JE, — /, Y, — 3 « p. , .27, H- 2/î/, ■£, Y, = O,

On se souviendra que les quantités x, et -jy ne doivent renfermer aucun terme constant, suivant la remarque de l'Article IV.