XXXI Y

11 ne s'agit donc plus que d'intégrer les équations que nous venons de donner; pour cela, on commencera par rejeter tous les termes affectés de n, et l'on cherchera par l'intégration les valeurs de œ, , y, , z, ; on substituera ensuite ces valeurs dans les termes qu'on avait négligés, et l'on en tirera de nouvelles valeurs de ce,, y,, z, plus approchées que les premières. On opérerait ainsi de suite, si nous avions eu égard aux termes

affectés de n2, n3 Par ce moyen, l'intégration de la première et de la

troisième équation de l'Article précédent se réduira à celle d'une équation de cette forme

— h Wu h- f = o,

dt'

T étant une fonction composée de sinus et de cosinus d'angles multiples de t; or l'intégrale de cette équation est, comme l'on sait,

cosM t f ï sin M t dt — sin M t Ç'ï cos M / dt

u — G sin M t -t- H cos M / + J- '-£ ;

de sorte qu'en supposant

T = A -+- B cospt -h bsinpt -i- C cosqt + cs'mql -f-. . .,

TFT "+- H+ -TÏ- : ïjr : tv- — . . . COSM*

ph qc

— îjr COSpt -{ ; J7- Sinpt

sinM/

cosgf-t- — ûûsmqt

H et G sont les valeurs de u et de rj-j- lorsque t = o.

On voit de là que, pour avoir la valeur de ««, il n'y a qu'à diviser chacun des sinus et des cosinus qui entrent dans T par p2 — W,p étant le coefficient de t, et y ajouter encore deux autres termes, qui renferment sinMt et cosMï avec des coefficients arbitraires.

Il ne peut y avoir de difficulté que dans le cas où p serait égal à M; car alors le diviseur jo2 — M2 sera nul, et les termes

; kit, cosmt H jj- cospt,

aussi bien que les termes

pi . ™ b

uiMH rjr-2 smpl

deviendraient — ao , -i- oc : ce qui ne fait rien connaître.

Pour résoudre cette difficulté, on supposera que/? ne soit pas tout à fait égale à M, mais qu'elle en diffère d'une quantité infiniment petite;

et l'on trouvera que les deux premiers termes se réduisent a

Et . „

— sinMf,

et les deux autres à

— cosM/; ip

d'où l'on voit que la valeur de u contiendra des termes multipliés par l'angle t.

Au reste, si dans la quantité T il se trouve des termes de cette forme cos/?z ou sinpt, p étant égal àM + nb, il est visible que ces termes augmenteront beaucoup par l'intégration, puisqu'ils se trouveront divisés par la quantité très-petite/?2 — M2 = nb (2M -h nb).

Donc, si ces sortes de termes ont des coefficients finis dans l'équation différentielle, ils deviendront comme infinis dans l'intégrale; et, s'ils n'ont que des coefficients très-petits dé l'ordre n dans la différentielle, ils deviendront finis dans l'intégrale, et appartiendront à la première valeur de u.

§ I. — Premières formules du mouvement des satellites de Jupiter autour de cette Planète.

Si l'on substitue dans les trois équations de l'Article XXXI11 les valeurs X,, Y, etZ,, qu'on rejette d'abord tous les termes affectés de n, et que l'on fasse, pour abréger,

Lt = g-, — 2f*,H,— x»r(a„'a,)— z»r(an«s) — X«r(ai,"a*) — fK. + t"i»

r2(a,,a2) - COS ( [M — //, ) i H — — ^ - cos z(im— p>)t-

îl(fl.

on trouvera les trois équations suivantes

— X'f'l ri(a,, «2) H 2-^— f,(a„ a2) cos(p.2 — ^)t

— %=/' f>(ai,aj)'+ — ^— Ê2(«„a2) cos2(p, — /*,)* + .-. .

— ^a/i r,(«,,«3) H 2-^— r,(«,,«3) COSfw., — Hi)t

— X>f'\ TI{al,a2)+ — -2^— — r2(al( «,) cosa(p.3 — p.,)* + . . . /

— X«/i r,(a,,«4) H ^— r,(a„a4) cos(p.4 — p,)t

— X<fA f2{a„af)+ 2f\ r2(a,,«4) cos2(f/.4 - p., )* + .

L 2Vi"-« P-w J

— K,/, } ^ — - cosa(m — u,)t

, rf,(a,,a3) , f2(«,,a3)

,, Tr^a,, «O , r2(«,, «j)

^L^TfI7C0S^-^)'^ï(^Z^c0s2(/,<-p.1)^ + ...J

K, — — £ cos 2 (m — u.At

4(m — fj.,)

ai1

Ili RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS

La première équation étant intégrée par la méthode de l'Article XXXIV, on trouvera que la valeur de x, renferme premièrement

fL le terme constant — t^W-' lequel devant être nul (Article XXXIII), on

aura l'équation L, = o.

Ensuite la valeur de se, renfermera deux termes, tels que sinMz et cosM,£, avec des coefficients arbitraires, lesquels pourront se réduire à un seul terme représenté par î, cos(M, l -+- &>,); s,, w, étant pareillement des constantes arbitraires.

De cette manière, si l'on fait

S,(rt„ a2) = rï\(«„ a,) -+- 2f*' f, (a„ «2)1 ? =£- r^,

Z2(a„ a,) = |r;(«„ o.) H- — ^ r r2(«„ «2) 1 77 ^ un,

Z3(«,, «,) = rr3(«„ a,) -+- ^-^^ r,(o„ th)\ ^- r^,

et de même

S, (a,, «3)= r,(a,,fl3) h ^— f,(a„a3) ; ^ ^5

Sj(a„ a3)= r2(a,,a3)-+- . 3^"' — î2(«„a:,) L- ~- ^r,

et ainsi des autres, et qu'on suppose de plus

xx = e, cos(M,< -(- m,)

— £S[E,(ffl„ eu) cos(p.2 — (7., ) ^ -4- E2(«,, «2) cos2(p.2 — w, ) t -+■ . . .]

— ^3[Ei(a,, a3) cos(fx3— !->■<)( -i- Ea(a„ as) cos2(f/.3 — p.l)t + . . .]

— %4[E, (a„ a,) cos(p« — f/.,) / -t-E2(a,, a,) C0S2(f/.4 — p., ) t -t- . . .]

— K, (3, cosa (m — p., )/.

Ayant trouvé la valeur a,1,, on aura l'expression du rayon vecteur r{ de l'orbite du premier satellite rapportée au plan de l'orbite de Jupiter, par la formule i\ — at(i -hnx,) [Article IV].

Or, en examinant cette expression de /■, , on reconnaîtra aisément que le terme na,E, cos(M(z + wf) représente l'équation elliptique qui vient de l'excentricité de l'orbite, de sorte que ras, exprimera la valeur de l'excentricité, et M,t-h «, sera l'anomalie moyenne; d'où l'on voit que le mouvement de cette anomalie sera au mouvement moyen du satellite comme M, à p, ; par conséquent le mouvement moyen de la ligne des apsides sera au mouvement moyen du satellite comme p, — M, à p., . Nous verrons plus bas (Article XLV), qu'en négligeant les quantités de l'ordre n, on a M, -—p.,, de sorte que la ligne des apsides sera fixe, au moins par cette première approximation.

A l'égard de u,, on le déterminera par le moyen d'une époque quelconque donnée de l'anomalie moyenne; ainsi les quantités s, et &>, dépendent entièrement des observations.

Les autres termes de la valeur de rK expriment les inégalités qui viennent de l'action des trois satellites <D2, @3, @, et du Soleil sur le satellite ©,.

On substituera maintenant la valeur de x, dans la seconde équation de l'Article XXXV, et l'on tirera par l'intégration la valeur dey,, mais

on aura attention de faire évanouir auparavant (Article XXXIII) le terme constant/, H, ; ce qui donnera H, = o. Soit, pour abréger,

$,(«,, a2)= 3^' S,(ffl„Oj) -t- ; — — -t,{ana,),

$,(«„ «,) = 2p" — r Sa(a„ a,) -+- -t-^1 - f,(a„ a2),

et pareillement

et ainsi de suite.

Soit de plus

»==ArlV V'

m — p., r 8(??z — f/.,)2 on trouvera

r> = - ^jg^sinfM, *+.»,)

+ &[^'(a'> «2)sin(/yL2 — p., )* + $,(«,, «2)sin 2 (,«-, — (n,)< +. . .] -t-^3[$,(a,, a,) sin(f/.3 — p,)ï + $2(«,,a3) sin 2 (/*.,— p,)ï -t-. . .] -4- ^4 [$.(«1, «0 sin(p.4— fi,)f + $2(a,,a4)sin 2(^.4 — p,)f-t-. . .] -+- K,y, sin2(m — p. , ) i .

Puisque <pt = (j.,t -h nyt (Article IV), on aura, en connaissant 7,, l'expression du mouvement vrai du premier satellite par son mouvement moyen.

Le terme — 2"^'C| sin(M, t-\- «,) représentera l'équation du centre

qui vient de la figure elliptique de l'orbite, et les termes suivants exprimeront les inégalités causées par l'action des trois autres satellites et du Soleil.

Enfin l'équation

donnera

^'Zl IVT2

-j- -t-N .z, = o 2, — X sin(N,f + -il),

X, etvj, étant des quantités arbitraires; car il est visible que cette expression GsinN, t+ H cosN,£, laquelle représente généralement la valeur de z, (Article XXXIV), peut se réduire à celle-ci : )., sin(N,z -f- vj,).

On aura donc, à cause de /?, = nz, (Article IV),

pt = ni, sin(N,f -l- n, )

= tangente de la latitude du satellite par rapport au plan de l'orbite de Jupiter ;

d'où l'on voit que l'orbite réelle du satellite sera toute dans un plan passant par le centre de Jupiter, et dont on connaîtra la position en remarquant : i° que n).,, étant la plus grande valeur dep,, exprimera la tangente de l'inclinaison; 2° que N^ + vj, sera la distance du satellite au nœud ascendant, comptée sur l'orbite de Jupiter, laquelle étant retranchée de la longitude moyenne p, l, on aura (p., — N, )t — y?., pour la longitude moyenne du nœud.

Au reste, puisque l'on a ici N, = p., (Article XXXV), le' mouvement du nœud sera nul, et sa longitude moyenne sera —"/?,, ou plutôt 36o°— vj,, quantité qui dépend des observations; mais il faut se souvenir que ce résultat n'est exact qu'aux quantités de l'ordre n près.

On trouvera de même, pour le second satellite, les formules suivantes

x, = e2 cos(M2 1 -+- oh)

— jt,[Zi(«2, «,) cosfp, — p.2) t -+- E2(a2, a,) cos2(p, — p.2) / +. . .]

— yJ['El{a2, a,) cos(p.3 — p.2) / + S2(«2, a,) cos2(p.3 — p,) t -t- . . .]

— j£4[Ei(a2, a<) cos(p.< — p.2) ' -+- E,(a2, a*) cos2(p., — p.2) *-t-. . .]

— K2 (32 cos 2 ( m — p., ) l ;

y, = rf— sin I Mj / + w2 1

■+- ^,[$,1 «2, a,) sin (p., — p.2) / -+- $2(a2, a,) sin 2 (p., — - p,) J +. . .] -4- yj3 [<î>, t a2, a:, ) sin ( p.3 — p.2 ) £ -t- $2( «2, a3 ) sin 2 ( p.3 — p.2) / + . . . ] -f- X4[$i(a2, «4) sin(p.i — p.2) < -+- <t>2(«2, a,) sin 2 (p., — - p.3) * +. , .] -t- K2y2sin2(»! — p.2) <; z2 = ^ sin(p.2< -4- ïh).

lit l'on aura ensuite

/•2= a2(i 4- na?2), »2 = p., < -+- ra^'j, p, = nz2. Quant aux quantités marquées par H et <£>, on aura

E,(a,,a,) = |"f,(rt2, a,)+ 2^ f,(a2,«,)l 4; ÏH>

E2(a2, a,) = Tr2(«,, a,)H ^ r,(«2, «,)]

Outre cela, on aura L2 = g7 — 2u2H2 — %, T'a2, a,) — yzT<ch, az) — yyiT(a7, at) — -jK2 4- -\ -/..,

[OT — u.2/

Entin on trouvera les deux conditions L2 = o et H2 = o, qui serviront a déterminer les deux constantes/, et t2 'Article XIX,.

On aura des formules analogues pour le troisième et le quatrième satellite, que nous nous dispenserons de rappeler ici, parce qu'elles se déduisent à l'œil de celles que nous venons de donner.

£j II. — Valeurs numériques des coefficients des formule* précédentes.