VI

on aura donc

= icF + ê I DXtfr'cos>PrfP'/Q ) [ H =|cF,

à très-peu près

K = 4cF;

?F -+- e f DX f//-' cos'P JP r7Q K = f cF + e / DX</r'sin2PcosPc/P</Q M — e rDX(/r'cos3Pf/PcosaQ</Q, N = e ÇuXdr'cos'PdPsin^QdQ.

D'où l'on voit : i° que les quantités H et K sont des quantités finies; 2° que les quantités M et N sont des quantités très-petites par rapport à H et K, étant de l'ordre de e; 3° que la quantité K — |H est aussi une quantité très-petite du même ordre, étant égale à

e fl)Xdr'(sin2P — ; cos2P) cosPc?Pf/Q.

Quant à la masse de la Lune, on la trouve en intégrant l'expression de «, savoir, dans la supposition présente,

D r'dr cosP dP dQ = D r'Hlr' cos P f/P dQ + éDX'dr' cos P dV dQ,

et son intégrale sera

a c / D r'-dr' + e j DX'dr' nos P f/P dQ,

en prenant ici X' pour la valeur de — t-t^m

Donc, nommant cette masse L, on aura, aux quantités de l'ordre de e près,

L = 2cfl)r"dr', d'où f\)r''dr'=:

Or, quoique sans connaître la valeur de D on ne puisse déterminer le rapport de F ou de I X)r"'dr' à / Dr'-dr1 , on peut néanmoins trouver

des limites entre lesquelles ce rapport doit nécessairement demeurer. Il est clair : i° que, si/exprime la valeur de r' à la surface,

Çlir'idr'<fi ij)r"dr[,

parce que r"' est toujours </V2; de plus on a

fl)r'*dr'^ |D/S — | fr">dD, f»r'»6?r'= jD/3 - j fr'3dD;

ce qui donne

3f f-Dr»dr'— 5 j Hr"dr' = fr'*(r" -f2)dl)

égale à une quantité positive si dh est négatif, et à une quantité négative si c?D est positif, parce que r'2 </2; donc, 20 si la densité diminue du centre à la circonférence,

jBr'>dr'<^f2 ilïr"dn';

mais si elle augmente,

f'Dr',dr'>lp fl)r"dr';

ainsi, dans ce dernier cas, la valeur de F sera contenue entre les limites