PL 3 PL
- — et ■=
ic 5' 2 c
Si la densité était partout la même, on aurait alors
Scolie III. — On peut au reste déterminer la figure de la Lune par la Théorie, en supposant qu'elle ait été originairement fluide, et qu'elle ait conservé, en se durcissant, la forme qu'elle aurait dû prendre, en vertu de la gravitation mutuelle de ses parties, combinée avec la force centri-
fuge et avec l'attraction de la Terre. Pour cela, nous supposerons que le premier méridieji de la Lune, d'où l'on commence à compter les angles Q, soit celui qui passe par la Terre, lorsque le lieu moyen de cette Planète est égal à son lieu vrai, et nous regarderons l'attraction de la Terre comme agissant dans le sens du diamètre de l'équateur qui se trouve dans le premier méridien; ce qui est vrai à très-peu près, à cause que la Lune nous présente toujours sensiblement la même face. Or soient © le rapport de la force centrifuge à la pesanteur sous l'équateur de la Lune et p la distance moyenne du centre de la Lune à la Terre; on trouvera généralement pour la figure de chaque couche
£ = A cos2P -i- B cos2P cos2Q,
et les deux quantités A et B seront déterminées par les deux équations suivantes
i 5 Lor's e ^cf3
SLr'
- fvd{Ar'i) + r"(&— fl)d\\ =o,
- fDc/(B/-'s)-f- r"(n - JDdBj = o,
jS et yj étant égales à ce que deviennent / DdA et / DdB, lorsque r'=f;
la démonstration de ces formules est facile à trouver par les principes
établis par MM. Clairaut et d'Alembert; je ne la donne point ici, pour
ne pas m'écarter trop de mon objet principal. On aura donc dans cette
hypothèse
X— \ , = j , cos'Ph , , cos2Pcos2Q;
dr dr dr
et par conséquent on trouvera
fDXc/;' cos3PrfPrfQ=ff c fDd(Ar's) + ff e A)rf(B/',s),
f DX dr' sin2 P cos P dV dQ = -±c f D d{ A r's) + -fr c fl)d( B /•" ),
f DX dr' eos3P r/P cosaQ dQ = -^ c A) d( B r"-),
et
ZdX dr' cos8PdP sinaQ dQ = o.
Par là on aura
M = ^ fl)d(Br'% N = o,
iH = - iy f\>d(Ar") - ^ fvdÇBr").
Si l'on suppose D = i, on aura alors
M.= 4"Ç». K-!H = -i^p(A' + iB<),
io i5
en prenant A' et B' pour les valeurs de A et B, lorsque r'=f. Mais, si l'on veut avoir égard aux conditions de l'équilibre, on aura, par les équations (K), quelle que soit d'ailleurs la densité D,
j ic 4ce J 2C 2p 2ce
en mettant r' =/■ Si l'on supposait de plus la densité constante et égale à i , on aurait, à cause de L = —^— dans cette hypothèse,
5Ly i i5T/' i5T/'
ioL-4c/3~,tp' 2p»(5L-2c/3) ~~ 4Lp3 '
Du reste on remarquera que e(A' + B') sera dans ce cas l'ellipticité du premier méridien, et eh! celle du méridien qui est à 90 degrés de là; d'où il suit que les deux demi-axes de l'équateur seront J{i -+- ek'-h eW) et/(i + ek'), et que son ellipticité sera, à très-peu près, eB'.
Il reste encore à trouver la valeur des deux ternies j °^- et j -^ de l'équation (A). Pour cela, soient p le rayon de l'orbite de la Terre autour de la Lune, projeté sur le plan
de I'écliptique lunaire; ou, ce qui revient au même, le rayon de l'orbite de la Lune autour de la Terre, réduit a I'écliptique;
v la longitude de la Terre, vue du centre de la Lune, ce qui est la même chose que la longitude de la Lune vue du centre de la Terre et augmentée de 180 degrés;
À la tangente de la latitude de la Terre, vue de la Lune, et supposée audessus de I'écliptique lunaire, laquelle est égale, mais de signe contraire à celle de la Lune vue de la Terre.
On aura, comme il est. très-facile de le concevoir, x = pcosv, r = psinLi, z = p\;
et, si £ exprime la longitude du nœud ascendant de la Lune et i la tangente de l'inclinaison de l'orbite, la valeur de X sera, suivant les dénominations qu'on vient de poser,
X == — / sin(u — 1800 — Ç) = z'sinfu — Ç).
Soient aussi
p' le rayon de l'orbite apparente du Soleil autour de la Terre, v' sa longitude.
Il est visible qu'on aura
x' — x 7= p' cosî/, y' — y =■ p' .sin y', z'=zz, savoir
x' =z p'cosu'-i- p cos y, y' = p' sinu' -+- p sinu, z' = z = pi.
On fera donc toutes ces substitutions dans l'expression de R et de R' (Article II), et l'on aura, après quelques réductions fort simples, en substituant pour X, Y, Z leurs valeurs [Article VI, équations (E)], et réduisant,
R2 — p-(n- l2) — ap(Xcos v -+■ Y sin v ■+- 11) -+- X2 -f- Y2 -+- Z = p2(i -+- X2) — 2p/-sinP[sin(u — e) sin7r-+-À costt]
— 2 pr cos P sin Q' [sin (v — e) cosu — 1 sin 7r] — 2 pr cos P cos Q' cos (u — z) -+- r'.
On aura de même
R'2=p'2H- 2p'pcos(i/ — u) +p2(n-X2) — 2p'(Xcosi/+Ysinw')-
— 2P(Xcosu-4-Ysinu-+-ZX)+X2 + Y2-t-Z2
= p'2H- 2 p'p cos (t/ — v) +p2{i -hl-) — 2p'rsinPsin(u' — s) sirm
— 2p'rcosPsinQ'sin(u' — £)cos7r— 2p'rcosP cos Q' cos (1/ — s)
— 2prsinP[sin(u — e) sinTr + X costt]
— 2 pr cos P sin Q' [sin (u — e) costt — 1 sin tt] — 2 pr cos P 0 os Q' cos (u — e) + /,2.
Substituant au lieu de Q' sa valeur Q + w, et faisant, pour abréger, après avoir développé les sinus et les cosinus de Q + w,
T = sin(u — e)sinTr + À costt,
A = sin m sin [u — e) costt -+- cos m cos(u — e) — Xsinw sinir,
A = cos co sin! u — e) costt — sin™ cos(u — e) — 1 cos m shiTr,
I r'= sin(i/ — e)sin7r,
f A'==sin&)sin('u'— e) costt -t-cosw cos(u' — e),
1 A'= cosw sin(u' — e) costt — sin w cos (1/ — s),
R2 =p2(n-X2) — 2p/'sinP xT— 2prcosPcosQx A— 2pr cosP sinQ x A + r2,
R'2=-p'2-+-2p'pcos(i/ — u)4-p2(n-X2) — 2/-sinP x (pT'-f-pD
— 2 7-cosPcosQ X (p'A' + pA) — a/'cosPsinQ x (p'A' + pA) + r\
Je différentie maintenant la valeur de R2 qu'on vient de trouver, en taisant varier seulement go, s, n, et en écrivant à au lieu de d; j'aurai, en retenant les lettres r, A, A, et divisant par 2,
RôR = — pr(sinPôr+ cosPcosQâA -4- cosP sinQÔA),
On a de plus, en négligeant les carrés et les autres puissances de /-visà-vis de p,
-L = ! j h ^-^rsinP-H AcosPcosQ-4- AcosPsinQ).
On multipliera donc ensemble ces valeurs de R§R et de ^ en ayant attention de rejeter tous les termes qui renfermeraient
rsinP, rcosPsinQ, /-cosPcosQ, r2sinPcosPcosQ, r2sinP cosP sinQ,
par la raison que l'intégrale de ces termes, après avoir été multipliés par a, est égale à o [Article V, (B) ; Article IX, (F)] ; on multipliera ensuite chaque terme du produit par oc, et l'on en prendra l'intégrale, en se souvenant que l'on a [Article IX, (G)]
/ ar2cos2P = H, / ccr- cos'P COS2Q = M,
| ar2sin2P=K, I «/•' cos2Psin2 Q = N, ce qui donne
ra/-2cos2Pcos2Q = i(H + M), r«/-2cos2Psin2Q = i(H- M), ar2cos2PsinQ cosQ = jN.
Par ce moyen, on aura
f'~=± ^£L[Krôr + }H(AÔA-h AÔA)
-t-^M(AÔA — AÔA) + |N(AÔA -4- AÔA)].
Or on trouve, par la différentiation de Y, A, A (Article précédent), §T = — cos(u — s) sin7tôe -+- [sin(u — s) costc — Xsin7r]Ô7r,
ôA = [coswsin(u — s) cosrc — sinw cos(u — s) — )iC0SMsin7r]ô&>
— [sinco cos(u — s) costt — cosco sin(u — e)]ôe
— [sinto sin(u — e) sin7i + >isindocos7:]Ô7r;
savoir, comme il est facile de le voir, par la seule inspection des formules (M), Article précédent,
ôÀ = Adco -+- (A costt -l- T cosco sinir)âs — T sinco Ô7r.
On a de même
SA = — Aow — t A costt -+- r sinco sinn) de — r cosco <5tt; donc
AôA -4- AôA= L(A cosco — A sin m) sin 7r de — r(Àsinw -+- Acosw)âîr,
AôA — AôA = aAAâco -h 2AAcosTrck -t- T(A cosco -+- A sinco) sinîrâe
— T,(A sin co — A cos<u)Ô7v,
Ac5A -t- AâA= (A2 — A2)ôco -t- (A2 — A2) costt ck -t- Ti A cosco — A sinco) sinvrâE
— r< A sinco -4- Acosco)â7r.
Donc, si l'on fait, pour abréger,
/'^ = ^L (o'ôw + e'ôe + n'ôTt),
on aura
il':=MAA-t-iN':A2 — A2;,
E' = ( — K-+-}H)rcos(i/ — e)sin7t + 7M[2AAcos7T + r(Acosco + Asinw)sin7T]
-t-jN[(A2 — A2) costt -i- r (A cosco — A sinco) sinn],
11'= (K — 4-H')r[sin(u — e) costt— ). sinTr] — iftir(Asinco — A-cosco) — }Nr(A sinco -t- A cosco).
On remarquera que dans ces formules j'ai mis pour A cosco — A sin w sa valeur cos(u — e), et pour A sinco -+- A cosco, sin(u — s) cosît — XsinTr; mais j'ai conservé dans les autres ternies les lettres T, A, A, tant pour rendre les expressions moins composées que pour les raisons qu'on verra plus bas.
