VI

Maintenant, il est visible par l'équation (i°) que, si n était = o, on

aurait

Vf-f-Mî = o,

c'est-à-dire, à cause de M? = fxf (i — nS,) (Article LXXIX), VÎ + p.; = o et \\ = — /*;.

Supposons donc, en général,

Y] = — [i](i — nv,),

et l'équation dont nous parlons se changera en celle-ci (T) ^(v,-ë1)-j/s5c.[1îr.(os,«.)Al+n1(a2,a1)«1Vl']

- Ifift [*■(«.. a.) B, H- n,(«3, a,) (5, V,]

-£/«*[*.(*. «.)c. + fi.(a.,«.)y.v1]=o.

L'équation donne

V; = — (j.\(i — nv,)

V, = fX|li- v, W— i; donc V, y/— i = — p., (1 — \nv,);

donc, substituant cette valeur dans l'équation (Q), aussi bien que celle de M|, qui est /ji|(i — në2) (Article XXIX), on aura

[f*»(i — raêj) — |>, — ,<;., zp p.,(i — iw,)]2] ( A,± «, v/^ï)

-T"/4X=[1î;.(^^)-[^-F-+^(I-TwO]n,(a4,a2)](C,±y,v/=Tj=o.

i° Si l'on prend le signe supérieur, et qu'on néglige les ternies affectés de n, on aura

\\A — (p-2— 2f^,)2](A. + «. \l— O = o; ce qui donne

A, -A- a, <J — 1 = 0 et a, ^ — 1= — A,.

2° Si l'on prend le signe inférieur, et qu'après avoir ôté ce qui se détruit on divise toute l'équation par n, on aura, en négligeant toujours les termes affectés de n,

(V) /*; (£lVl-§\ ( A, — «, s/^T) — /î %2 [■*-,(«,-, a2) — p,fi,(a„«d)]

- ï/i » [*■ («4. «0 - ."• Û'(«i. «•)] (C. - 7. V/37) = °- On tirera de même de l'équation (R)

(U) pj/ffLw. — gA (B,-plS/=7)-y;x3 [*•(«.» «s) -f*.Û.(a., a.)]

- I/2 X3 [^,(«2, a3) - u3 ft,(a2, as) ] (A, - a, v/=7)

- {fi X3 [*.(«.. «3) - F3 Û,(«4, «3)] (C, - y, t/=T) = o;

et de l'équation (S)

yl4/=7=— C,

(W) f/f(Çc-ëi)(C,-y,v/-Tj-,/',x,[^.(«.,«4)-^n,(«l, «-.)]

- i/.X« [*.(«.» a.) - ^n,(«2, a.)] (A,- a, vÂ-ï)

- |/3X4 [^.(«3, ft. ) - ,^n,(«3, «4)] (B, - (3, v/-^) = o.

Soit fait, pour plus de simplicité,

(i, 2) = 4rl{al,a})— piÛtia,, a,), (i, 3) = $l{a„a3) — nzîl^a,, a3),

et ainsi des autres.

Soit de plus p = jjl, v{.

On aura, en faisant ces substitutions dans les équations (V), (U), (W), et mettant à la place de a, \j — 1, ]3, y — i, 7, \j— 1 leurs valeurs —A,, — B,, — C(, les équations suivantes

I 2/x| f JL 6l) A, -/ x,(i , 2) -/,x,(3, 2) B, -/« x,(4, 2) C, = o,

(X) y2fX;/Ji 6, B,-/,x3(i,3)-/2X3(2,3)A,-/lX3(4,3)C1=o, (•aftî(-e;-6«)c.-yîz»(i.4)-/.3C(».4)AI-/i3C4(3,4)Bl = o,

d'où l'on tirera facilement les valeurs de A,, B,, C,.

Or, en négligeant les termes affectés de n, on a V, = <j.t s/— 1 (Article

précédent); donc, puisque a, = -===■> on aura «,V, = — p., A,; et de

même |3, V, = — /x, B, , y, V, = — p., C, . Donc l'équation (T) de l'Article XCVI deviendra, après toutes les substitutions,

(Y) aft;l.-E;-61)-/,x.(a,i)A1-/,xl(3,i)B1-/4x.(4,0C. = o;

c'est l'équation qui donnera la valeur de p.

Soit, pour abréger,

et ainsi des autres; les équations (X) donneront, après avoir mis au lieu de/(,/2)... leurs valeurs approchées jjlJ, fi.|,. . . (Article XLV),

Chacune de ces quantités étant divisée par

Ces valeurs étant ensuite substituées dans l'équation (Y), on aura, après les réductions,

(*) Lagrange emploie, dans ce paragraphe et dans les suivants, diverses lettres telles que K, x. • • • <îui ont été précédemment affectées à un autre usage, mais il n'y a pas évidemment de confusion à redouter. {Note de l'Éditeur.)

équation qui, en remettant au lieu de K(, K2,..- leurs valeurs, et ordonnant les termes par rapport à p, montera au quatrième degré, et donnera par conséquent quatre valeurs de p, que nous dénoterons par p', p", p"', pIv.

Les calculs que nous venons de faire dans ce paragraphe n'appartiennent proprement qu'au premier satellite; mais il est aisé de les appliquer à chacun des trois autres, suivant Jes remarques faites ailleurs. En effet, pour les appliquer, par exemple, au second satellite, il n'y aura qu'à marquer de deux traits toutes les lettres qui ne sont marquées que d'un seul, et réciproquement ôter un trait a celles qui en ont deux, et ainsi de suite (*); ainsi, dans l'équation (Z), il ne faudra qu'échanger entre elles les lettres K(, K2, et les nombres i, 2. Or on verra aisément que cette permutation ne produira aucun changement dans l'équation; d'où il s'ensuit que les valeurs de p seront les mêmes pour le second satellite que pour le premier. On en dira autant par rapport au troisième et au quatrième, de sorte que l'équation (Z) servira pour tous les quatre satellites, et c'est ce qui fait que cette équation monte au quatrième degré.

Reprenons maintenant l'équation (P) de l'Article XCV, et substituons-y, au lieu de a, , p, , 7, , leurs valeurs A, \J— 1, B, \J— 1 , C, \/— 1 (Article XCVII), et au lieu de V, sa valeur p.,(i — |w>, )\/ — 1 (Article XCVII), c'est-à-dire, m, — -p) \J — 1, à cause de fj.lvl=p (Article XCVIII), on aura, en négligeant partout lés termes affectés de n, excepté dans ev'(,

-+-A, (2(i,- t>;){p — Pv/=î) + B,(2p3 — (a,) [q — Qy/— 1)

-t-C, (2ft(— f/.,) [r — Rv/IIT)JfV''5"v'v/l=const.,

(*) Voir la Note de la page 76.

c est- a- dire, en mettant au lieu de ey ' sa valeur

cos(f/.( — \np) t ■+- sin(fj.., — \np) t x \J— i,

+ C, (§ -M^ - M r)] cos(V- ^P) /

-c' (î -(»ft-ft)»)] sin(f -?p) '

+ Ci \dt + (2^fi' ' r) J sin y- ~ î'y' Xv/=T ~[ft«.-A.(î-C»is-h)p)-«.{î-(»*v-ft)o)

— C, ( j (ap- «,)R) cos( [t, p J/x\/— i = const.,

équation qui, à cause du radical y/— i, lequel peut avoir indifféremment les signes + ou —, se décompose en ces deux-ci

.[,,x,-a,(|-(2,2-,,)p)-b1(§-(^-mq) et

+ C' (§ + <2fX< - * > '')] Sin (**' ~ *p) ' -[,,x,-A1(|(2,2-,,)p)-B,(|-(^-,,)Q)

D, et E, étant deux constantes arbitraires que nous déterminerons dans un moment.

On aura donc par là

M M-A.(î-("H.-MP)-^(î-(»ft^sîQ)-ci(î-(»P,-ft-)H)

= D, sin ( fi, ; p ) t — E, cos I p, pjt,

équation qui suffira pour trouver la valeur de x,, comme on le verra ci-après.

Soit, lorsque t = o,

Xi ^^ -*-1, ^2 — — A-2) X3 = A.3, X4 ^= A.4,

c?x, xr dxi -. dx3 . rfx4 ,.

— s— = Y|, — 5— = Y2, -t— = Y3, -7— = Y4. r/< r/< <fr rf<

On aura (Article XCII)

ensuite

dt .*' dt " e?? "

Donc, substituant ces valeurs dans les équations (a) et (|3), et faisant t — o, on aura

D, = Y, -+- A, Y2 -4- B, Y3 -4- C, Y„ ■ E, = — (fx.X, 4- Alf/.2X2-t-B1p.3X3 + C1^X4).

cm.

Soit maintenant, pour abréger,

l'équation (y) deviendra

fi,x, — A,(P) — B,(Q) — C,(R) = D,sinU, p) t - E, cos ( p., — -pi t.

Substituons successivement, dans cette équation, au lieu de p, ses quatre valeurs p', p", p'", p" (Article XCIX), on aura

f*,x, — A', (P) — B', (Q) — Cr,(R)=D', sinU, p' W — E', cos U, — - p' ] t,

f/-, x, — A", (P) — B'; (Q) — C"(R) — V" sin (p, — ^ p" j t — E"t cos (p, - " p" \ t, ul, x,— A"'(P) — B"'(Q) — C"'(R)= Dfsmhui,— - p'" \t — E"'cosU, — - p'" ) f,

p.,x1-A'lv(P)-B'lv(Q)-C,,ï(R) = D,,ïsin(fJi,- - pA t — E',v cos (p., - -prv) ?,

A', , B', , C'j , D'( , E', ; A'2, B'2 , C'2 , D'2 , E'2 , . . . étant ce que deviennent

les quantités A,, B,, C(, D,, E, lorsque p devient p', p",

Donc, éliminant de ces quatre équations les trois inconnues (P), (Q), (R), on aura la valeur de x,.

Pour cet effet, je multiplie la seconde équation par a,, la troisième par (S,, la quatrième par 7, (a,, p,, y, étant de nouvelles indéterminées); après quoi je les ajoute toutes quatre ensemble, et je fais évanouir séparément chacun des coefficients de (P), (Q), (R); j'ai

C\ -+- a, C" + (3, C"' -+- y, C',v = o, VI. 25

+fr

+yO

fi.

+yo

sin u, p" W ; L COS u, P )t