P. ET / » «A

sin a, p'")t ; c — ^ cos a, p W

— h, r sin I a, p")t = -z. .- COS U, p U .

p., (i 4- a, 4- (3, 4- y,) V 3 / fi, (i 4- a, 4- (3, 4- y,) \p 21 y1

On peut simplifier cette expression de x, en supposant, en général, D, = — S, sinco,, Ei = — â, cosco, ;

ce qui donne

è, = ^Dî-t-E,, tangw, = =^j

â, = v ( Y, + A, Y, 4- B, Y3 4- C, Y4 )2 4- ( fi, X, 4- A, f/.2 X2 4- B, F.3 Xs 4- C, fi, X,)2,

Y, 4- A, Y2 4- B, Y3 4- C, Y4 tangw, ^ X| + A| ^ + Bi ^ x^ + ^ ^ x •

Par ce moyen, on aura

D, sin ki, p) < — E, cos (p., p\ t — è, cos | p., — - p ) < + ù>, >

et de là

D', sin l[j., : p' ) t — E' cos ( p., p' ) t = S\ cos (p., p' ) t 4- u', ?

D'"sin (fi,— - p"\ t — E"cos (p., p") f = ô"cos (f/., — -p") f 4- w" ;

et ainsi de suite.

Donc, si l'on fait, pour plus de simplicité,

(3, a;" it y, 37

Xi = e, cos

[ Y " ~~ a P'" ) f + "' j + £',V C°S L V " ~~ 2 pIV) ' + "' J

Scolie. — A l'égard des valeurs de a,, /3,, y,, on les trouvera aisément par résolution des équations (5); mais on pourrait encore se servir d'une autre méthode assez simple, que j'exposerai ici en peu de mots.

Qu'on multiplie la seconde de ces équations par b et la troisième par c (b et c étant deux indéterminées), et qu'on les ajoute toutes ensemble, on aura

À',+ bB\ -f-cC, + ( A",+ 6B','+ cC") a, + (A'"+ bB'"+ cC") (3,

+ (A7-t- 6B7-f- eC7)y, = o.

Or, pour avoir la valeur de a,., on fera

et l'on aura

A',+ 6B', + cC, a' — ~ A", -h 6B"-H cC; "

Les quantités 6 et c doivent donc être telles, que l'on ait

A, + 6B, + cC, =■ o,

en mettant successivement, au lieu de p, p'" et plv .

Or l'équation

A, -t- èfi, +cC, = o,

si l'on y substitue les valeurs de A,, B(, C, (Article XCIX) et qu'on l'ordonne par rapport à p, sera de cette forme

p2 — Mp -t-N = o,

dont les racines devront être p'" et p"; c'est pourquoi on aura M = p'"-\-plv et N = p'"pIV, d'où l'on tirera b et c; on trouvera de la même manière les valeurs de j3, et de y,.

Ayant trouvé la valeur de x,, on trouvera celle dey, par l'équation (H) de l'Article LXXVI.

On aura donc, en négligeant les termes affectés de n ('),

y. = — 2e', si.nl ( tii p' ) t -t- co', — 2 e" sin ( tt, — - p" 1 t -+- w"

— 2e"'sin (p., p'"\t + m"' — 2e',vsin (p., pIV) t -+- w',v •

On aura des expressions semblables pour les valeurs de x2, y2,..- (voyez la remarque de l'Article C).

Pour peu qu'on examine ces valeurs de x et de y, on verra aisément qu'elles renferment, pour ainsi dire, quatre équations du centre prises dans des ellipses mobiles, dont les excentricités seraient ni', ne", m'",

{*) Lagrange rejette en outre les termes constants qui doivent disparaître par les conditions de l'Article XXXII. (Note de l'Éditeur. )

ne", et les anomalies moyennes

V* ~ \ p') ' 4" w'' (p" ~ a pj f + w"' (/* ~ \ p j ' + "'"' Y - a pIÏ) ' + w" ;

d'où l'on voit que les mouvements de ces anomalies seront au mouve-

i ^ n-i « p' rt p" K P'" t n P'v ment moyen du satellite comme i — » i — » i —et i —

à i ; par conséquent les apsides avanceront de

M p' « p" - /i p"' - « piv ^

- — • 36o°, - — • 3fao°, - — - • 3bo°, - ■ — • 3oo"

2 p. 2 fj. ■}. v. 1 [J.

à chaque révolution du satellite.

On pourrait, par la méthode de l'Article III, réduire ces quatre équations à une seule, dans laquelle l'excentricité serait variable et le mouvement des apsides non uniforme; mais je crois qu'il est plus commode de les laisser sous leur forme naturelle.

On suivra une méthode analogue pour trouver la valeur de zt, au moyen des équations (N,), (N2),... de l'Article XCI. Mais, sans entrer dans de nouveaux calculs à cet égard, il suffira de remarquer que les équations dont nous parlons peuvent se déduire des équations (M,), (M2), . . . , en changeant x en z, M en N, ¥ en I\ et supposant nulles

toutes les quantités marquées par la lettre II; d'où il s'ensuit : i° Que si l'on fait (Article XGVIII)

(i,2)=f,(al, a,), (i,3)=î,(a„*ffls), (2, 1) = f,(a,, «,),.. .; ensuite

K, — — 2 ttl , K, = — 2 ^

on aura pour A,, B,, G, les mêmes expressions que dans l'Article XCIX, et la valeur de a devra se déterminer au moyen de l'équation (Z).

20 Que si l'on suppose, lorsque t= o,

z, = Z,, z-. = Z2, z3 = Z„ z4 = Zj, ^£i v chl-v ^ — v ^ — v

</t " df — " dt r A '

et qu'on lasse

X' — s/(Vi+A|V,+ B,V3+ CiV,)1-*- (p.,Zj -t-A,p.2Z2-l- B,u3Z3+ C^Zs)2,

V, + A,V,+ B,Va + C,V4

— fi,Zt -+- A,p.2Z, 4- B,p.3Z3 -+- C,p.4Z4'

ensuite

X' Xj , r «'X.

Xw P'xT jl„ y.xV

les quantités a,, j3,, y, étant déterminées par les équations (8) de l'Article G1V, on aura

z, = X', sin u, h — u' ) t ■+- ■/)' -h À" sin ( p., h — ■ a". ) t -+- n"

-h X'"sin ( p., H — a-'") t -t-vi"' -l- >.',Ysin ( p., + - a-,v ) / + v,1,'' »

et ainsi des autres quantités z2, z3, z4,

Cette expression de z, est composée, comme l'on voit, de quatre termes, chacun analogue à l'expression de z,, trouvée dans l'Article XL, laquelle donne un plan mobile dont l'inclinaison est constante; donc, pour trouver la position de l'orbite d'un satellite quelconque, il n'y aura qu'à imaginer quatre plans passant par le centre de Jupiter, dont le premier se meuve sur celui de l'orbite de cette Planète, en gardant toujours avec lui

la même inclinaison; le second se meuve de la même manière sur le premier; le troisième sur le second, et enfin le quatrième, qui sera celui de l'orbite du satellite, se meuve pareillement sur le troisième. Ainsi les quantités ni', ni", ni'", nllv seront les tangentes des inclinaisons du premier plan sur celui de Jupiter, du second sur le premier, du troisième sur le second et du quatrième sur le troisième, et les angles

seront les distances du satellite aux nœuds du premier plan avec celui de 1/f , du second avec le premier, du troisième avec le second et du quatrième avec le troisième; d'où l'on voit que les noeuds de ces quatre plans rétrograderont pendant une révolution du satellite de

11 <*' oc. ,, n a" ■>!■ „ n a'" i£ o n °"" i£ o • 3bo°, • Jbo°, • dbo°, • ibo°.

Si l'on voulait connaître directement la position du plan de l'orbite du satellite par rapport à celui de l'orbite de Jupiter, on y parviendrait par la méthode de l'Article III; car, nommant nx la tangente de l'inclinaison et 4* la distance du satellite au nœud ascendant, on aurait

/ „ n-dz2 . nzdca

savoir, à tause de y = yJ- -+- ny,

I dz2 , u.zdt

V ■ p2dt2 OY dz

d'où l'on tire, par les logarithmes,

expression dans laquelle les imaginaires se détruiront mutuellement,

mais qu'il sera difficile, peut-être impossible, de réduire aune forme finie. Ainsi je crois qu'il vaudra mieux s'en tenir à la formule de l'Article CIX.

Telles sont les premières valeurs des variables x, y, s dans lesquelles on a négligé les quantités de l'ordre de n. Si l'on veut y avoir égard, il n'y a qu'à substituer ces mêmes valeurs dans les équations de l'Article LXXVI, et les intégrer ensuite par la méthode ordinaire (Article XXXIV).

Nous n'entrerons point dans ce détail, qui n'a d'autre difficulté que la longueur du calcul, et qui d'ailleurs ne paraît guère nécessaire dans la Théorie des satellites.

Il y a cependant encore quelques termes des équations (G) et . (K) de l'Article LXXVI auxquels il ne serait peut-être pas inutile d'avoir égard; ce sont ceux qui viennent de l'action du Soleil, et qui renferment les quantités x,, y,, zf, multipliées par cos2(m— \j.t)t, ou par sin2(/w— p,)t; car, en substituant au lieu de ces quantités leurs valeurs trouvées cidessus, on aura, à cause de m très-petit (Article XLVIII), des termes qui augmenteront beaucoup par l'intégration , et qui appartiendront aussi en quelque manière à la première approximation; je dis en quelque manière, parce que ces termes, quoique fort augmentés par l'intégration, se trouveront encore assez petits par rapport à ceux que nous avons trouvés jusqu'ici.

En effet les termes dont il s'agit étant tous multipliés par nK= —

(Article XLIX), et devant être divisés par des quantités de l'ordre de m et de n, seront encore après l'intégration de l'ordre de m et par conséquent très-petits. C'est là la raison pour laquelle nous n'avons point eu d'égard à ces sortes de termes dans les calculs précédents; d'autant plus que notre objet principal est de déterminer les inégalités des satellites causées par leur action mutuelle, conformément au Programme de l'Académie. Je pourrai peut-être dans une autre occasion reprendre plus au long ces recherches.

Remarque I. — Nous avons vu que les quantités p et a dépendent de deux équations du quatrième degré (Articles XC1X et CX). Or il peut arriver deux cas qu'il est bon d'examiner. Le premier est celui où ces équations auraient des racines égales; le second, celui où elles auraient des racines imaginaires.

Voyons donc ce qu'il faudra faire dans ces deux cas : i° Supposons que deux quelconques des valeurs de p soient égales entre elles, par exemple p'v = p'". On fera plv — p'"+ i, i étant une quantité évanouissante, et l'on aura (Article XCIX)

a-,' = a'; -i- f /, B7 = b;"+ g i, cn = c;"+ h /,

F, G, H étant les coefficients de dp1" dans les différentielles de A",

Donc les équations (5) de l'Article CIV deviendront, en faisant )3| 4"7i = b et y,i = c,

A', -+- «A" -+- b A"' -+- cF = o, B; -f-«B" + 6B;"-i- cG = o, C[ -+■ «C"+ iC"'-t- cH=o,

d'où l'on tirera a, , b et c.

On aura de même (Article CIV)

ô',' = ô'"-t- A i et g>7 = w"+ Q. i,

A et il étant pareillement les coefficients de dp3 dans la différentiation de #"' et w".

Donc

COS ( p., p,T W H- &)','

= cos (p., p'" ) i -f- w"' -f- 1 ' ( - < — û 1 sin ( y., p'" j t -+- go'" •