VI

Donc les ternies

e"'cos (|U, p'" ) t -t- m"' + e',v cos (p., p,vW-i-«I,v

de la valeur de x, (Article CIV) se changeront en

(e"'-t- 6',v) cos ( ix, p'" ) t -+- m",' \ + e"i (- t — û) sin ( p., — ~ p'" \ t -+- &/" -

Or

(S, H- y,) §"'■+ Ay,i b ô'"-t- c A

fA, (n-a, + (3, -t- y,) ft,(n-«, + 6)

8™yii

p., (i-t- a, -t- (3, -t- y, ) f*i(i -+■ a, -+■ 6) Donc la valeur de x, deviendra

| V"' ~ \ p' ) ' + w' J + s" cos | Y" ~ \ p") l + w" !

x, = e, cos

6ô;"+ca

Par conséquent celle de y, sera (Article CVII), en négligeant les termes de l'ordre de n,

y, = — 2e', sin ([*,— -p')t-+- m, — it\ sin (y.,— -p") f-t-w?

6d? + cA . r/ « ,„\ ,„~|

— 2 — — j- sin u, p'" W ■+■ w

— 2 ~^ — ; — ' , t, ( - < — O ) cos ( u, — - p'" ) t -+- m"! .

^,(n-«, + 6) \2 ; iy 2 r y 'j-

De là on voit que les valeurs de x, et de y, contiendront dans ce cas un terme multiplié par l'angle t, lequel donnera par conséquent une équation dont la valeur ira toujours en augmentant.

On résoudra de la même manière le cas de trois racines égales, et l'on

trouvera pour lors dans les valeurs de x< et de y, des ternies qui contiendront l'angle i avec son carré t-\ et ainsi de suite, s'il y avait quatre racines égales.

20 Soient maintenant p'" et p" imaginaires; on les mettra d'abord (ce qui est toujours possible comme on sait) sous cette forme

p et g étant des quantités réelles; moyennant quoi les quantités A"[, B", C"', A", B™, C" se ramèneront à la forme suivante

b;"= R -+- S v/11^, BV = R — S /=7," c;"=T+Vv/^T, CV = T -Y^.

Faisant ces substitutions dans les équations (à) et supposant /3, + Yi = 2è, j3, = ic \j— 1 , les imaginaires disparaîtront, de sorte qu'on aura pour a,, b, c des valeurs réelles; donc les quantités j3,, y, seront encore de cette forme

De plus, on verra par l'Article Cil que les quantités D", E™, D'*, E'î seront aussi de la forme

D7 = F-+-Gv/— T, D'1T=F — Gy/^7, Donc on aura aussi

(/,(i -+- a, + (3,-f- y,) v fi, (i -H a,-t- (3, + y,

^.(i-t-a,-)- (3,-l-y,) ft,(n- a, + (3, -f-y,)

Or

sin f*,— "(^±^—01 *

— sin U, — -p)fx cos- qt ^+ cos ( p, — '-^p\ t X sin - qt sj— i,

et de même

= cos (//, — -p\ (X cos - 7/ \J— ' ±sin (p, — '^ p\ <Xsin - qtsj—i .

Donc les termes

y,DV

f/,(i-t-a, + (3i-t-yi

u,(H-a, + (3, + 7,) "*" \r' 2'' /" fi,(n-a,+ (3, + y,) de la valeur de x, (Article CIV) se changeront en

cos^,--P y

cos (p., p,v) '

2 H sin (fx, p\ t — A coslp, — - p\ t\ cos- qt\J—\

— 2 Lcos (p., p\ t -t- l sin (y., — -p\ t sin- qtsj—i X /— î".

c'est-à-dire, en mettant au lieu de cos qi\J— 1 et sin-<y£\/— 1 leurs valeurs exponentielles

"*'' (H — /)sin(p.,— "/>] f -f-(L-t- A)cosfft, — -/MM s" ''' |(H + /) sin (p, — - p\ t — (L— A) cos (p., - - /> W ,

expressions qui peuvent encore se changer en celles-ci

~ lr»' Vf n \ , ~H ~ -?»' Vf n \ . ~1

s e cos I p., /> W + oj -f- ge 2 c.os lu, /? W -t- &> ,

en faisant H — /= — Tsinu, L -i- A =¥cosw, H-W = — "gsinw, h — L=?cos5. On mettra donc ces ternies au lieu des termes

s"' cos ( f/, d" W -t- &>'" H- s',v cos I //, p,v ) t + w','

de la valeur de xt de l'Article CIV, et l'on aura

x, = g', cos f //, p' ) t -+- «' -t- e" cos ( m, p" J * + w"

- f •'* r/ w \ , ~n ~ -?*' rv « \ , ~n

+ ee" cos ( f/., p \ t -t- w -(- g e - cos I p., /? W -t- o> ,

d'où l'on tire (Article XC)

y, = — 2g, sin

in ( tj.t p' j t -km', — ag'' sin f p., p") t -t- m"

— 2ge- sin I p., -pjt + ol—iee - sin If/, p \ t -+- n I .

Ainsi, dans ce cas, les valeurs de x et de y contiendront deux termes,

l'un multiplié par e2 , et l'autre par e - , lesquels donneront dans le mouvement des satellites deux équations, dont l'une ira toujours en augmentant et l'autre ira en diminuant.

Si les valeurs de p étaient toutes quatre imaginaires, on ferait sur les deux premiers termes de l'expression de x (Article CM) les mêmes raisonnements et les mêmes réductions que nous venons de faire sur les deux autres.

On en dira autant des valeurs de z, lesquelles sont entièrement analogues à celles de x (Article CIX); de sorte que, si l'équation en a avait

des racines égales ou imaginaires, les latitudes des satellites se trouveraient sujettes à des variations qui augmenteraient de plus en plus.

Remarque II. — A l'égard des quantités e[ , z\ , . . . , u>\ , w" , . . . , s'2, e2 , . . . , il faudra les déterminer par le moyen des observations; mais il y a là-dessus une remarque importante à faire : c'est que, comme il n'y a proprement que les huit quantités X,, Y,, X2, Y2, X3, Y3, X,, Y4 qui soient absolument arbitraires (Article Cil), et que les quantités dont nous parlons sont au nombre de 32, on aura 24 conditions à vérifier.

Il en est de même des quantités X\ , X",..., yi\ , vj^,..., X'2, 1"2,..., i}',,ni>". (Article CX ).

Scolie. — Nous avons déjà donné les valeurs de ë,, ë2, ë3, ê4 (Article LXXXII) aussi bien que celles de s,, sr2, rs3, zsu (Article LXXXVI).

Ainsi, pour avoir les valeurs de p et de a, il ne s'agira plus que de trouver les valeurs numériques des coefficients de l'équation (Z) (Article XCIX) dans les deux cas (Articles XCVIII, CIX).

Premier Cas.

Suivant les formules de l'Article XCVIII, on a

(1, 2) = ¥,(«„«,) — fjL,fl,{a„a2);

donc, faisant les substitutions de l'Article XCI, et mettant partout p., au lieu de M2, on aura

(i,2) = Ç,(fll,a,) + 2r,(al)«!)- 4 — r,(a„a,)

- (afr, («„«,) + 4 ^--^r.^o,)) ^l*-^, \ v ^ p-2 / p-;-(p-2-F.r

ce qui se réduit à

(1,2) =■$■,(«„ a2) + 2r,(a,,«2) — 2l(F,(«1,a2) — 4Î,(a,, a-,). On trouvera de même

(1, 3) = *F,(a,, «3) -+- 2r,(«„ a3) — 2f,(«„ a,) — 4f,(«,, as), (2, 1) = Y, («2, a, ) + 2Ê, («2, a, ) — 2¥,(a„ a, ) — 4Î, («2, a, ) ;

et ainsi des autres.

Or nous avons déjà donné les valeurs des quantités T, et I\ (Article XLVI1); il ne reste plus qu'à chercher celles de W, et de VF,.

Pour cela, il faut auparavant chercher les valeurs des quantités W, W,

et *F2. Or, en faisant q=—, on trouve (Article XXII), à cause de

A(fl„o,) = ar5 (A), Al(ai,a2) = a-S (B),... (Article LXXXj,

V,(fl,ta.)=^C)-3(B) + ag(A), 2a'j

et de même, à cause de A(a2, a,) = A(a,, a2),...,

¥i(flliai)=fcffl±H(A),

2fl,

¥2(fla)ai)=g(D)-^(C) + g(B),

Donc (Article LXXX)

Y(a,,a2) = DI (flj,ffli), ¥,(«,, «2) = ni(a2, a,)- • ■> ¥(a2, o,) = n («,,«2), ¥,(«,, a1)=n,(a„ a,)...,

c'est-à-dire, que les quantités *F sont les réciproques des quantités II.

On aura donc (Article XXIV)

expression qui servira aussi pour les quantités analogues ¥,(.a,,a3 W, (a2, a3 ), . . . , en faisant successivement

Ensuite on aura, pour les quantités réciproques,

gP3 — 3P, + 2gP gC + 2gA

et ainsi des autres.

Pareillement on trouvera (Article XXV)

y,la„a,) = 3g2Q2~2g2Q + r,(fl„«2)-392,

iTr / v -, </ Qs — 2 9 Q =S , 3

¥,(a2, a. =3 2-^ 3-2- -hTAth, a, ;

et ainsi des autres.

De là on tire, en employant les valeurs de la Table de l'Article LXXXI,

ensuite

Donc l'équation (Z) de l'Article XCIX deviendra

— o,o4oK2K3 — 0,077X3X4 — 3,732X3X4 -4- i,oi3K, -t- i,64i X2 -f- 2,593K3 + 1,373X4 — 5,599 = °>

où il n'y aura plus qu'à substituer au lieu de K,, K2, K3, K4 leurs valeurs

Second Cas.

On aura ici (Article CX)

Donc, faisant successivement q = — , q = -+,■■•, on aura (Articles

XXXlIetXLIIIl

ensuite

(ï,2) = fB, (i,3) = ç2B,.. .; {2,ï) = qB, (3, i) — qB,....

Donc, en employant les valeurs de B données dans l'Article XLVI1, on trouvera

— 3,oii

et l'équation (Z) se changera en celle-ci

— o, 006 K: K3 — 0,161 K2K, — 6,i2oK3K, -l- 2,1 24 K, -+- 0,096X2 -i-o,ii4K3 + 4'738K4 + 11,972 = o,

dans laquelle

Il resterait maintenant à tirer de ces équations les valeurs de p et a, d'oà dépendent les principales inégalités de l'équation du centre et de la latitude des satellites de Jupiter; mais comme nous touchons au terme fixé par l'Académie pour l'admission des Pièces, nous nous contenterons ici d'avoir donné la méthode et les principes nécessaires pour déterminer ces sortes d'inégalités, et nous remettrons ce travail à un autre temps, où nous nous proposons de suivre et de discuter avec attention ces points importants de la Théorie des satellites.

§ IV . — Sur les inégalités des satellites de Jupiter qui dépendent de la période de 1 2 ans.