CX VI
Les Tables du premier et du second satellite ne renferment que les équations qui dépendent de l'anomalie de Jupiter avec celles qui dépendent de la période de 437 jours dont nous avons parlé au long dans le § V du Chapitre précédent; cependant, il est facile de se convaincre, et M. Wargentin l'avoue lui-même dans les dissertations qu'il a mises à la tête des observations de ces deux satellites [Mémoires de la Société d'Upsal, années 1742 et 1 743)» que les équations attribuées à l'inégalité du mouvement de Jupiter ne s'accordent pas entièrement avec l'équation du centre de cette Planète; d'où il s'ensuit qu'il doit y avoir dans le mouvement de ces deux satellites des inégalités particulières qui, ayant des périodes à très-peu près égales à la révolution de Jupiter, se trouvent pour ainsi dire fondues dans la grande inégalité qui vient de l'excentricité de cette Planète; c'est ce que la Théorie confirme d'ailleurs, car on a vu que les équations du centre des satellites (Article CVII) doivent renfermer quatre termes tels que
'.ne sin
or, dans le temps des éclipses, on a u — v = 1800 à très-peu près (Article LU); donc u = [i.t = 1800 -+- v, donc
3 = sin ii j ( i8oG + v ) -4- «
= — sin ( 1 — ) e -1- w — — 1800 ;
d'où l'on voit que les équations provenant de ces termes auront des périodes égales à la révolution de Jupiter, plus à — de cette révolution.
Au reste on ne doit pas se flatter de pouvoir jamais déterminer ces sortes d'inégalités par la simple Théorie; car les valeurs de p (Article CXV) dépendent des quantités /, c'est-à-dire des masses des satellites, dont la plupart sont encore inconnues. Ainsi, ce n'est que par des observations multipliées et réitérées qu'on peut espérer de perfectionner à cet égard la Théorie des deux premiers satellites.
On a aperçu de pareilles inégalités dans le mouvement du troisième et du quatrième satellite ; ce sont celles qui, dans les Tables de M. Wargentin, répondent aux arguments E et G.
En consultant ces Tables (voyez les Tables des satellites imprimées parmi celles des Planètes de M. Halley), on trouve : i° que le nombre E achève huit périodes exactes dans l'intervalle de cent années juliennes, d'où il s'ensuit que chaque période est de douze ans et demi; 20 que dans le même espace de temps le nombre G achève 8 ?**0 périodes, ce qui donne i2ans,i3o pour la durée de chaque période; mais ce dernier élément a été réformé dans les nouvelles Tables du quatrième satellite imprimées à la fin de la Connaissance des mouvements célestes pour l'année prochaine : suivant ces Tables, le nombre C, qui fait ici le même effet que le nombre G dans les premières, achève 8f~^ périodes en cent années juliennes; d'où l'on tire pour la durée de chaque période i2ans, 1 15 environ.
Or, si l'on imagine que chacune de ces deux équations soit représentée par un seul terme tel que
in ( 1 '- v -+- m ° ] 1800
LA 2f- 2f-/ . J
c'est le cas où l'orbite serait une ellipse mobile), on trouvera aisément
que la quantité ^ sera, pour le troisième satellite, = -j^- = 0,0870,
et, pour le quatrième, = -7^- = 0,0237. ^n pourrait trouver de même
les valeurs des quantités w qui dépendent des époques des arguments E et C, aussi bien que les coefficients m qui expriment les plus grandes équations; mais, pour que toutes ces déterminations fussent exactes, il faudrait que les autres termes qui doivent entrer dans les équations du centre fussent nuls à la fois, ce qui paraît assez difficile; d'ailleurs les incertitudes et les variétés qu'on trouve lorsqu'on compare les observations de ces deux satellites, et qu'on veut fixer les quantités et les périodes des équations dont nous parlons, donnent tout lieu de croire que ces équations sont plutôt des résultats de différentes équations particulières qui, ayant à peu près les mêmes périodes, se confondent ensemble, comme nous l'avons déjà observé par rapport aux deux premiers satellites.
Je finirai ces remarques par donner un léger essai de calcul sur les valeurs des quantités p, et, pour plus de simplicité, je supposerai que les masses du premier et du quatrième satellite soient considérablement plus petites que celles du second et du troisième; hypothèse qui n'a d'ailleurs rien de choquant.
Donc, puisque /, et /,, sont des quantités fort petites, K( et K,, seront fort grandes, par conséquent l'équation (s) de l'Article CXV se réduira à très-peu près à celle-ci
K.KsKsK, — i,633K,K, = o,
K, = o, ou bien K, = o, ou bien Ka K3 — i,633 = o.
On aura de plus par les formules de l'Article LXXXV1, en mettant n/)' nX^' • • • au 'ieu ae ~ïf"' W,""> et ne conservant que les termes qui renferment fe et /3, on aura, dis-je,
ê, = 0,982x2-1- 0,124x3, ê2 = 6o,4ox3, §3=1,467x2, §« — 0,260x1 + 1,139x3.
Donc, puisque
on a, pour les quatre valeurs de p, les équations suivantes
— °>982'/2 — °ji24x3 = °'
o,g4ox-, — — 1, 467X3
L>-2 fJ-3
a >< ci 0,4.0b = o,
d'où l'on tire à peu près
p = 0,731, y.3X, + 0,470^X3 ±^'(0,731 ^.3X3 + 0,470^, x3)2 + 0,408 fA2fx3X=X3 • Ainsi l'on aura les quatre valeurs de p, qui donneront pour chaque satellite quatre équations, dont les périodes seront de 1 + — révolutions de Jupiter.
§ V. — Des durées des éclipses des satellites de Jupiter.
La durée d'une éclipse dépend de quatre éléments : de la largeur de l'ombre de Jupiter, de la vitesse du satellite, de sa latitude, et de l'inclinaison de sa route, laquelle peut être prise pour rectiligne pendant tout le temps de l'éclipsé.
Soit donc a l'angle que le demi-diamètre de la section de l'ombre soustend au centre de Jupiter; cet angle est donné par les observations pour chacun des quatre satellites.
Supposons de plus que (p dénote la longitude du satellite, et p la tangente de sa latitude, au moment de la conjonction
Enfin soit y — | la longitude du satellite au moment de son entrée dans l'ombre; de sorte que <\> exprime l'angle qu'il parcourt sur le plan de Jupiter depuis l'immersion jusqu'à la conjonction.
On aura, pour la valeur de p qui y répond, p f- ty à peu près.
Cela posé, supposons, pour plus d'exactitude, que la section de l'ombre soit une ellipse semblable à celle des méridiens de Jupiter; il est visible qu'on aura
Demi-grand axe de l'ellipse va,
Demi-petit axe (E étant l'ellipticité comme dans l'Article XVI). va(i — E), Abscisse prise depuis le centre vty,
Appliquée correspondante v (p / ^ ) •
Donc, par la nature de l'ellipse,
équation d'où l'on tirera ty.
On aura donc
d'où l'on tire, après les réductions,
Le signe + donne la valeur é pour l'immersion, comme nous l'avons supposé, et le signe — donne au contraire la valeur de ty pour l'émersion.
Substituons maintenant p.t -+- ny au lieu de <p, nz au lieu de p, et de même n§ au lieu de a (car il est évident que la quantité a doit être du
même ordre que la quantité/»); on aura, en ne négligeant que les termes affectés de n3 ,
zdz
Pour convertir cette expression en temps, on la divisera par la vitesse angulaire qui est -?- = \x-\-n -j-\ ce qui donnera, en négligeant toujours les n3,
fj.{i— E)v (j.(i — E)2\y.dt^y ' pdtv
Donc l'intervalle entre l'immersion et la conjonction sera
(j.(i — E)v v y (J.{i — Ey\lj.dt ^ ' pât v v J
et l'intervalle entre la conjonction et l'émersion sera
Par conséquent la demi-durée sera
ï^fê^-»^^31^]-
rfr
fx(i— E) v ; jx(i — E) jxdf
Il paraît que les Astronomes ont toujours supposé jusqu'à présent que les durées des éclipses des satellites étaient les mêmes avant et après la conjonction; ce qui n'est pas vrai à la rigueur, la différence étant de
reJ zdz , pdp
-, c'est-à-dire de
(U.(i — K)2 pat p-2(i — E)2t/?'
d'où l'on voit que ces durées ne peuvent être égales que dans deux cas
i° lorsque p — o, c'est-à-dire lorsque la latitude du satellite est nulle, et que par conséquent l'éclipsé est centrale; 20 lorsque dp = o, savoir lorsque la latitude est la plus grande, ou bien que le satellite est dans les limites.
Supposons maintenant qu'on ait observé la demi-durée d'une éclipse de satellite, laquelle soit de A secondes; on aura, en remettant pour nô
et nz, a. etp,
dr
p.dt
sMi-E)2-/?2,
où il faudra prendre, pour /j., 36o degrés divisés par le temps périodique réduit en secondes; ou bien on convertira immédiatement la durée A en degrés, et l'on aura simplement
dr 1 — n — r- \j.dt
A = -y^— sM^E)' - p\ d'où l'on tire
