FORMULES GÉNÉRALES POUR LA SOLUTION DU PROBLÈME DES TROIS CORPS
Soient A, B, C les masses des trois Corps qui s'attirent mutuellement en raison directe des masses et en raison inverse du carré des distances; soient nommées de plus x, y, z les coordonnées rectangles de l'orbite du Corps B autour du Corps A, x , y', z' les coordonnées rectangles de l'orbite du Corps C autour du même Corps A, coordonnées qu'on suppose toujours parallèles à trois lignes fixes et perpendiculaires entre elles; enfin soient r, r', r" les distances entre les Corps A et B, A et C, B et C, en sorte que l'on ait
r = ^x2 + y--\- z2 , r'= \Jxn-\r y'2-ï- z'2 , r"= sj{x' — x)2 + ( y' — y )2 + (z' — z)2 .
On aura, comme on sait, en prenant l'élément du temps dt constant, les six équations suivantes
IF
dt2
IF
dt2
dt2
dt'
-Zïïi) x— °>
à l'aide desquelles on pourra déterminer les orbites relatives des Corps B et C autour du Corps A.
Si l'on fait encore
en sorte que x", y", z" soient les coordonnées rectangles de l'orbite du Corps C autour de B, on aura
et, retranchant respectivement les trois premières équations des trois dernières, on aura ces trois-ci
/ d2x" /B + C AA „ , I i i\ ,
(C) \ dt
dt- \ r'" d2r" /B + C A
—nr + — ïït- -+- -r 2+A -)z' =o,
\ dt2 \ r'3 r3 1 \r3 r3 j
qui exprimeront le mouvement relatif du Corps C autour du Corps B.
Il est bon de remarquer l'analogie qu'il y a entre ces neuf équations (A), (B), (C); c'est que les équations (A) se changent en les équations (B) en y changeant seulement B en C, a; en x' , yen y', z en z', ren r', et réciproquement; et que de même ces équations se changent en les équations (C) en y changeant A en C, a; en x", y en y", z en z", r en r" , et vice versa; et la même analogie aura lieu dans toutes les formules que nous trouverons par la suite.
Qu'on multiplie la première des équations (A) par r et la seconde par x, et qu'ensuite on les retranche l'une de l'autre, on aura
yd2x — xd2y ' dt2
c(tt7 - pr3)(rx'-xy') = o.
Combinant de même les deux premières des équations (B) et les deux
premières des équations (C), on aura ces deux-ci y'd2x' — x'd2y' ( i
dt2
xy' — yx' ) = o,
r"d2x" — x"diy1' ( i i\
— sp =hA(vyT- ^){xr -rx ) = °-
Mais
donc
a;'jr" — jy'a?" = xy' — yx' ;
donc, en ajoutant ensemble les trois équations précédentes, après avoir divisé la première par C, la seconde par B et la troisième par A ., on aura celle-ci
yd2x — xd2y y'd2x' — x'd2y' y"d2x" — x"d2y"
CdT Bdt2 ÂdT =0'
On trouvera de la même manière ces deux autres équations
zd2x — xd2z z'd'x' — x'd2z' z"d2x" — x"d2z" CdT2 BdT - + ~ AdlT~ = °'
CdT2 Bdt2 ~+~ ' Adt2 =°'
De sorte qu'on aura, en intégrant,
ydx — xdy y'dx' — x'dy' y"dx" — x" dy"
Cdt h ~ Bdt h : Adt =a'
, zdx — xdz z'dx' — x'dz' z"dx" — x"dz"
cdt + — m — + — m — = b'
zdy — ydz z'dy' — y'dz' z"dy" — y"dz"
Cdt Bdt Âdi = C'
a, b, c étant des constantes arbitraires.
De plus, si l'on multiplie la première des équations (A) par ~^, la première des équations (B) par -^-, et la première des équations (C) par VI. . 3o
—, et qu'ensuite on les ajoute ensemble, on aura, à cause de x"= x'—x, dxd2x dx'd2x' dx" d2x" (xdx x' dx' x"dx"
-Cdë~ + -W- + ~TdF- + (A + B + L)[-cF + T7^ + T7^ On trouvera de même
dzd2z (/z'of2z' dz"d2z" Izdzz'dz' z"dz"
Donc, ajoutant ensemble ces trois équations et mettant
r rfv à la place de x dx + y dy -\- z dz, r' dr' à la place de x' dx' -t- y' dy' -t- z'dz', r"dr" à la place de x" dx" -t- y" dy" -t- z" dz" ,
on aura une équation intégrable dont l'intégrale sera
/étant une constante arbitraire.
Ce sont là les seules intégrales exactes qu'on ait pu trouver jusqu'à présent; or, comme il y a en tout six variables x, y, z, x',y', s', il est clair que, si l'on pouvait trouver encore deux autres intégrales, le problème serait réduit aux premières différences; mais on ne saurait guère se flatter d'y parvenir dans l'état d'imperfection où est encore l'Analyse.
Supposons, pour abréger,
dx- -t- dy2 -+- dz2
u' = të '
dx'2 -+- dr'1 -+- dz'2
" ~ dt2
dx"2 -+- dy"2 -+- dz"2 dt2
en sorte que u, u', u" expriment les vitesses relatives des Corps B, C autour de A, et de C autour de B; il est clair qu'on aura
d2(r2) xd2x -+- yd'y ■+■ zd2z
2 dt1 ~ dt2
2 dt2 dt2
d2{r"2) x" d2x" + r" d2r" ■+■ z" d2z" idt2 - dt2 + '
Donc, mettant dans ces équations au lieu de
d2x d'y d2z d2x' ~dF' dt2 ' Ht2"' dt2 ' ' "
leurs valeurs tirées des équations (A), (B), (C), et faisant attention que
et
xx -+- yy -+- zz = ;
on aura, après avoir fait passer tous les termes du même côté,
+ {^~ +pr3) r-+- ^-pïj {>'■+,■ 2-r»2)-u>=o,
idt2 \ r"3 r3 j 2 \r'3 r3 / v
Donc, si l'on peut avoir les valeurs de u2, u'2, u"2 exprimées en r, r', r" seulement, on aura trois équations entre ces trois dernières variables et le temps t, à l'aide desquelles on pourra à chaque instant déterminer la position relative des Corps.
dt2
dt2
Or on a, en différentiant les valeurs de u1, u'2, u"'2 dxd2x -+■ dyd2y ■+■ dzd7z
udu
dP
, , , dx'd2x' -f- dv'd'r' -t- dz'd2z'
u' du'
dt1
„, „ dx" d1 'x" -h dy' 'd2 y'1 '--t- dz" ' d2 z" »du = - 'd? -■■■
donc, si l'on fait ici les mêmes substitutions que ci-dessus, et qu'on suppose pour un moment
dV =x'dx -\-y' dy -\-z'dz, dV = xdx' -+-ydy' -t- z dz', c?V"= x'dx" +y'dy"-h z'dz", à cause de
xdx-\- rdy + zdz = rdr, x'dx' -t- y' dy' ■+■ z'dz1 = r'dr', x"dx"-\- y" dy* -\r z"dz" = r"dr",
i"du"=
rr. 1 r r dr — A [-r.
Soit, pour abréger,
dR =
dW
dR" =
■dr
'dr'
2 r"dr"
dV, h) dV',
--k)dY",
et l'on aura
r de sorte que les équations (F) deviendront
j d2(r2) A + B Je' i/i r \ , , „ „,, „1
— W Tl hA — 4-- -;; r r'» -+- r"1 — r2 -t- R" = o;
et il ne restera plus qu'à trouver les valeurs de
dV, dV, dY".
Pour cela, je fais
dp = x' dx -+- y' dy -+- z' dz — x dx' — y dy' — zdz' ,
et comme l'on a
r2 -+- r'2 — r"2 xx + yy -+- zz = ■>
on aura, en différentiant,
x dx' -+- y dy' -+- z dz' -h x' dx -h y' dy + z'dz = rdr -+- r' dr' — r" dr" ;
donc
,, rdr-h r' dr' — r" dr" -t- dp
BV = i
et ensuite
JXT. rdr-\-r' dr' — r" dr" — dp
dY"=r'dr'-d\,
savoir
„T„ r' dr1 ' -t- r" dr" — rdr — do
flV = ■
Tout se réduit donc maintenant à avoir la valeur de dp ; pour y parvenir, je différence, et j'ai
d2p = x' d?x-\-y' d2y -4- z' d2z — xd2x' — yd2y' — zd'z' ;
je substitue à la place de d2x, d-y, d2z, . . . les valeurs tirées des équations (A) et (B), et faisant les autres substitutions convenables, je trouve
ou bien
Supposons, pour mettre nos formules sous une forme plus simple,
et l'on aura d'abord, pour la détermination de dp, cette équation
(H) jZ+Cpq-Bp'q'-XpPq^o.
On aura ensuite
dy=dp" + dP^ rfv,= <*/>'- <*P, dy„=dp-dP^
d'où
(/R = ^f + q{dp" + dP),
Mais
donc
rfR'= — h q' (dp"— dp),
dR" = 2r,l' -+- 1" (dP - d?)
-g-t = - - q\ irdr= dp' -t- dp";
irdr •xdr , , , , , „ .
on trouvera de même
z.r'dr' idr'
q(dp -+- dp"),
ir"dr" idr" ,, , , , . — 7i— = "TTTr +q'(dp'+dp);
de sorte qu'en substituant ces valeurs, et faisant pour plus de simplicité
i' dQ = q'dp'— q"dp" — qdp, (I) ] c?Q' = qdp -h q"dp" -+- q'dp,
\ dQ"= — qdp — q'dp' ■+- q" dp,
et de là
Maintenant on aura
(r2H- r'2 — r"2) = qp";
donc, ajoutant ces deux équations, et mettant q" à la place de q — q'. on ;iura
on trouvera de même
7F + ; (^ - -rj (r"+r"- '•') = ^ + /></ + P'i';
donc, faisant toutes ces substitutions dans les équations (G) ou (F) des Articles précédents, elles deviendront celles-ci
(K) {^)-i±B±Ç-B(M+,V-Q')=oJ
^T- — M-pq-p'q'+Q") = o.
Ainsi l'on pourra, à l'aide de ces trois équations, déterminer les trois rayons r, r' et r" en t, ce qui donnera pour chaque instant la position relative des Corps entre eux.
Il est bon de remarquer que, si l'on divise la première de ces équations par C, la seconde par B et la troisième par A, et qu'ensuite on les ajoute ensemble, on aura (à cause de dQ + c?Q' + dQ" = o, et par conséquent Q -+- Q'-f- Q"= const.) celle-ci
Tx dHr2) d2(r'2) d2(r"2) n. / i i i \
iL -rrà + u iJ + a /,- -Â-t-B + c:7--,-R^-,-T-v = const.,
iCdt2 indt1 zAdt2 \Lr Br Ar/
laquelle pourra tenir lieu d'une quelconque des trois équations (K).
On peut encore mettre les mêmes équations (K) sous une autre forme que voici.
Je multiplie la première de ces équations par d(r-), et je l'intègre ensuite pour avoir
A + B + C:/— C f(p'q' — p"q")d{f*)—C jQd{r>)-i- L = o,
L étant une constante arbitraire.
Or
fQd{r*) = Qr'- fr*dQ;
mais
dQ = q'dp' — q"dp" — qdp;
de plus, a cause de r2=p' -\- p" , on aura
ip'q'—p"q" ) d( r2) - r'{q'dp'— q"dp" )
= — {P'q'—P"q") ( dp'-h dp") -+- (p'-hp" ) {q'dp'— q"dp" ) = q{p"dp'- p'dp");
de sorte que si l'on fait, pour abréger,
dP = q{p"dp' — p'dp" — r*dp),
on aura, en négligeant la constante L qui peut être censée contenue dans P, et divisant toute l'équation par r2,
y 2(A + B+C)+c/P \ q dt2 r \r* I
Faisant de même
dP' = q' {p"dp — p dp" -+- r'2 dp),
dP"= q"(pdp' — p'dp ■+- r"2dp), VI. 3i
on trouvera par des opérations semblables aux précédentes
tfr"
rff
<ft2
Et, si l'on retranche ces équations respectivement des équations (K) trouvées ci-dessus, qu'ensuite on divise les équations restantes par r, / '. r", on aura ces trois-ci
dt2 r'- \ r r'3 1
dt2
Nous avons donc réduit les six équations primitives (A), (B) qui renferment la solution du Problème des trois Corps pris dans toute sa généralité à trois autres équations entre les trois distances r, r', r" et le temps t. 11 est vrai que ces réduites renferment chacune deux signes d'intégration (ce qui est évident en substituant les valeurs de Q, Q', Q", ou de P, P', P" et de dp), et qu'à cet égard elles sont moins simples que les équations primitives; mais, d'un autre côté, elles ont l'avantage de ne renfermer aucun radical, ce qui me parait d'une grande importance dans ces sortes de Problèmes.
Supposons donc qu'on ait déterminé par les équations (K) ou (M) les trois variables r, r', r" en t; on ne connaîtra encore par là que la position relative des Corps, c'est-à-dire, le triangle que les trois Corps forment à chaque instant; ainsi il reste à voir comment on pourra déterminer ensuite l'orbite même de chaque Corps, c'est-à-dire, les six variables x, y, z, x', y', z'.
Pour cet effet, nous remarquerons d'abord qu'en connaissant/-, r', r" on connaîtra aussi u u', u", et dY , dY1, dY" par les formules de l'Article V. De sorte qu'on aura ( en mettant/?" à la place de
et v" à la place de — ) les dix équations suivantes
xx' -+- yy' -+- zz' = p" ,
x dx H- y dy -+- z dz = r dr,
x' dx' -\- y' dy' -+- z' dz' = r' dr' ,
x' dx ■+■ y' dy -+- z' dz = dY,
x dx' -+- y dy' -+- z dz' ' = dY',
dx2 -+- dy2 ■+- dz2 = u2dt2,
dx'2 -+- dy" -+- dz'2 = u'2 dt'!,
dx dx' + dy dy' -t- dz dz' = v" df.
Or, en regardant les quantités x,y, z, x', y', z', dx, dy, dz, dx' , dy' , dz' comme autant d'inconnues, il est clair que les équations précédentes ne suffisent pas pour les déterminer, puisqu'on aurait douze inconnues, et seulement dix équations; mais, si l'on joint à ces équations les trois équations (D) de l'Article II, on aura alors une équation de plus qu'il n'y a d'inconnues, et la difficulté ne consistera qu'à résoudre ces équations.
J'observe, à l'égard des équations de l'Article précédent, qu'elles ne peuvent tenir lieu que de neuf équations, parce que, en éliminant quelques-unes des inconnues, il arrive que les autres s'en vont d'elles-mêmes,
de sorte qu'on tombe par ce moyen dans une équation où il n'entre plus que les quantités r2, r'-, p", — Pour le prouver de la manière la plus simple qu'il est possible, je prends d'abord les trois équations
xdx ■+■ y dy -4- z dz = rdr,
x'dx -+- y' dy -+- z' dz = dV,
dx'dx -4- dy 'dy -f- dz 'dz = v"dt-,
et j'en tire par les règles ordinaires de l'élimination les valeurs de dx, dy, dz; j'aurai, en faisant, pour abréger,
a = y' dz' — z' dy' , a! = zdy' — ydz' , cc" = yz'—y'z, $—z'dx' — x'dz', (3' = xdz' — zdx' ', fi" = zx' — z'x, y = x'dy' — y'dx', y'=ydx' — xdy', y" = xy' — yx', o =x(y'dz' — z'dy') — y {x'dz' — z'dx') -+- z(x'dy' —y'dx'),
j'aurai, dis-je,
, a rdr -+- p.'dV ■+■ a"v"dt2
dx = — : ,
, (3/-rfr+(3'rfV+ $"v"dt* d
1 ydr + y'dV -h y"v"dP dZ- g—
Or je remarque que l'on a
a? -+- (3! -+- y2 = {x'2 -h y'2 + z'2) {dx'2 + dy'2 -h dz'2) — (x'dx' -h y'dy' -h z'dz')1 = r"u'2dt2 — {r'dr')2,
a'2 + fi'1 -\- y"= {x3 -t- y2 -+- z2) {dx'2 -4- dy'2 -h dz'2) — {xdx' -h y dy' -h zdz'f = r2u'2dt2—d\'2,
(x"2-hfi"2-hy"2={x2-hy2-\- z2) {x'2-hy'2-h z") — {xx' -4- yy' -+■ zz')2 = r2r"-p"2,
aa.'-\-fifi'+yy'={x'dx' -+- y'dy' -\- z'dz') {xdx' -4- ydy' ■+■ zdz' ) — {xx' -¥ yy' -h zz'){dx'- ■+■ dy'2-\- dz'2) = r'dr'dV' — p"u'2dt2,
aa" -+- (3(3" -t- yy" = (x'dx' -h y'dy' -+- z'dz') (xx' -\- yy' -\- zz')
— (xdx' -hydy' -+- zdz') (x'2 -h y'1 -+- z'2) = p"r'dr' — r'2dV,
oc'a"-\- (3'(3" + y'y" = (xdx' -+- ydy' ■+■ z dz' ) (xx' -+- yy' -+■ zz' )
— (x'dx' -h y'dy' -h z'dz') (x2-hy2 + z2) = p"dY' — r2 r'dr' ;
de sorte que, si l'on carre les trois équations précédentes, et qu'on les ajoute ensuite ensemble, on aura, après avoir multiplié par §2, et fait les substitutions convenables,
ô1(dx2+dy2-hdz2) = (rdr)2[r'2u'2dt2 — (r' dr'f] + dY2(i2u'2dt2 — dY'2)
-+-(v"dt2)2(r2r'2 — p"2) + 2rdrdY(r'dr'dY'—p"u'2dl')
+ ir dr v" dt2(p" r' dr' —r'2dY')+zdY v" dt2(p" dY' —r2r' dr').
De même, si l'on prend les trois équations
xx -t- yy -\- zz — r2,
xdx'-hydy'-^-zdz'= dY',
et qu'on en tire les valeurs de x, y et z, il est facile de voir qu'on aura pour x, y, z les mêmes expressions que l'on a trouvées plus haut pour dx, dy, dz, en y changeant seulement rdren r2, dY en//' et v"df en dY'; donc, faisant les mêmes opérations et les mêmes substitutions que cidessus, on aura cette autre équation
fr(x2+y2 + z2) = ri[r'2u'2dt2—(r'dr'y~\ + p"2(r2u'2dt2 — dY'2)
+ dY'2(r2r'2— p"2) -t- ir2p" (r'dr'dY' — p"u'2dt2)
-t- ïr2dY'(p"r'dr'—r'2dY') + ip"dY' (p"dY' — r2r'dr').
Or on a
dx2 -+- dy2 -+- dz2 = u?dv, et x2 -+- y1 ■+■ z2 = r2
24(i ESSAI SUR LE PROBLÈME
donc on aura les deux équations suivantes
d2u2 dt2 = (r drf{r'2 u'2dt2 — r'-dr") -4- dY2(r2u"dt2 — dY'2)
+ ( v" dt')2 ( r2 r'2 — p"2) + 2 r drdY[r'dr' dV — p" iï'dt2)
+ 2rdrv"dl2(p"r'dr'— r'*d\') -hidYv"dt2(p"dY' — r2r'dr'),
d'r2 = ri{r'2u'2dt2 — r'2dr'2) + p"2(r2u'2dl2 — dY'2)
-+- dY''{r2r'2 —p"2) -t- 2r2p"(.r' dr'dY' — p" u"dt2)
-f- 2r'dY'(p" r'dr' — r'2dV) -h ip" dY'(p"dY'— r'r'dr').
D'où, chassant &2, ou aura une équation entre les seules quantités connues r2, r'2,
Si l'on tire de la dernière équation la valeur de §2, on aura, en réduisant et effaçant ce qui se détruit,
è2 = r"(r2ul2dt2 — r2dr'2 — û?V'!)'-t- a/>" r' dr'dV — p"'u'2dt2';
et, cette valeur de â2 étant substituée dans l'autre équation, on aura
r"(r2u"dt' — r'dr" — dY'2)u2dt2 + {ip" r' dr' dV — p"2u'2 dt2)u2 dt2 = (rdr)2{r'2u'2dt2 — r'2dr'2) + dY2(r2u'2dl2 — dY'2)
-+- {v" dt2)2 {r2 r'2 —p"2) -+- irdrdY (r' dr' dY' — p" u'2dï>)
-t- zrdrv" df(p"r'dr' — r'2dY') ■+- 7.dYv"dt2{p"dY'— r2r' dr');
ou bien, en ordonnant les termes,
(r2r'2 — p"2) {u2iï2 — v"2) dt1 + {rdr.r'dr' — dY dY' f
— \r'{r'dr')2 — zp" r' dr' dY' + r'2 dY'2]u2dt2
— \r"{rdr)2 — zp"rdrdY -t- r2dY2]u'2dt2
— z[p"{rdr.r'dr' '+ dY dY') — r'V dr' dY — r'2 rdrd\']v"dt2 = o.
Or (Article V)
dy=dp^±dpi et dyi=dp»-dP
de plus on a, par les formules du même Article,
et de même
donc, si l'on fait ces substitutions, et qu'on suppose pour plus de simplicité
* = /(tt)' +'{£)'+"{%)'-i'% -*£)$ + -©'• *=' (^T - Kf )'-"-(§)' «('3 -'*)£ -(§)'•
l'équation suivante deviendra, après avoir été multipliée par -rj,
,.,, „, , „ i n\ i , « i m ,/*. ,, . ,,, ,,v f(lpdij'-hdpt/p"-hdp'dp"-\-r/û'2\2 (N) ib(/y +/)//+//)) (w + pr+ ne ) — 4(2r'H-2V-f-2V)H- (^-^ — ^r^ — ' — - — ^-!— ) = o.
11 faut donc que cette équation ait lieu en même temps que les trois équations (K) de l'Article V; de sorte que, comme elle ne contient d'ailleurs que les mêmes variables que les équations (K), et qu'elle est d'un ordre moins élevé d'une unité que celle-ci, on pourra la regarder comme une intégrale de ces mêmes équations (K), mais intégrale particulière à cause qu'elle ne renferme aucune nouvelle constante; ainsi, si l'on intègre les équations (K) en y ajoutant les constantes nécessaires, ces constantes devront être telles qu'elles satisfassent à l'équation (N). De sorte que, si l'on ne veut pas se servir de cette dernière équation à la place de l'une des équations (K), il faudra néanmoins y avoir égard dans la détermination des constantes; mais pour cela il suffira d'y supposer partout t = o.
Au reste nous ferons toujours usage de cette équation pour déterminer la constante qui doit entrer dans la valeur de -£■> résultante de l'intégration de l'équation (H) de l'Article V.
Reprenons maintenant les équations (D) de l'Article II, et faisant, pour abréger,
X = y dx — x dy, X' = y' dx' — x' dy', X" = y" dx" — x" dy", çj.= z dx — x dz, fx' = z' dx' — x' dz', f."= z" dx" — x" dz", v = z dy — y dz, v' = z' dy' — y' dz', v" = z" dy" — y" dz",
on aura, après avoir multiplié par dt,
X ï 1" C+B + Â = fld<'
C^B^Â=cdL
Or je trouve, comme plus haut,
X2 -+- \j? -+- v- = (x1 -+- y1 -+- z2) {dx2 ■+- dy7 ■+■ dz2) — (xdx-\- ydy-h zdz)2=r2u2dt2— (rdr)2,
et par analogie
X'2 ■+■ ;j.'2 -+- v'2 = r'2 u'2 dt2 — ( r' dr')2,
l"2 + \j!' 2 -+- v"2 = r"2 u" 2dr- — ( r" dr')2;
je trouve de même
XV-l-ftfi'4-vv'= (xx'-i-yy'-hzz') (dxdx'-h dydy'-¥- dzdz') — [x' dx -\- y' dy -\- z' dz) (xdx'-hydy'-i-zdz'
=p"V"dt2-dNdv=p»V"dt2- (4£)\(±)\
et par analogie
XX" -f- fifj." -+- w" = p'v'df — ( — ) -+- ( —
y~X' -\-\)!\j!' +v'v"=. pvdt2 — I -J-\ -l i-i
Donc, si l'on fait, pour plus de simplicité,
rdr ~dt
r' dr'
~dT
•"dr" dt
et
dp V (dp
idtj \idt
%dt) \idt
dfV (dp
idtj \idt
v> =TLdt\
n*+p.'p."+v'ï"=,Frf/!,
v" = Wdt\
II" -+- \j.\)" -+- vv" = Wdt2,
v"2=a"dp,
II' + [j.fj.' -4- w' =W"dt\
en sorte que l'on ait
I'2 -t- p" I"2 -+- fj."-
on aura, en carrant les trois équations (0) et les ajoutant ensemble,
n n' n" ?.w îï' iW" ., ,
(P) (? + W + ^ + ÂB+MT + -B(r = fl+6" + C'
équation qui est aussi, comme l'on voit, d'un ordre moins élevé d'une unité que les équations (K); et comme elle renferme la constante arbitraire a2-t-62+c2 qui ne se trouve point dans les équations (K), on peut la regarder comme une intégrale complète de ces mêmes équations.
On pourrait croire que l'équation (E) que nous avons trouvée dans l'Article II pourrait ainsi, en y substituant les valeurs de u, iï et u", donner une nouvelle intégrale, mais il est facile de voir qu'il n'en résulterait VI. 32
2o0 ESSAI SUR LE PROBLÈME
qu'une équation identique, car l'équation dont il s'agit se réduit d'abord à
iO u'1 u"- , . „ / i i i \ .
G B A ' \Cr Br' Ai'" ,
et, mettant pour u, u' et u" leurs valeurs tirées des formules (J), on aura, en rejetant ce qui se détruit,
ce qui ne renferme aucune nouvelle condition, car les quantités Q, Q', Q" sont déjà d'elles-mêmes telles que <fQ -4- dQ' -h dQ" = o (Article V). Au reste, si l'on combine l'équation
avec les équations (N) et (P), après y avoir substitué les valeurs de u, u' et u", on pourra, par le moyen de ces trois équations, déterminer les trois quantités Q, Q' et Q", lesquelles ne renfermeront par conséquent que les variables finies r, r', r" et leurs différentielles premières dr, dr',
dr" avec la quantité -£■•, ainsi, substituant ces valeurs dans les équations (K), on aura trois équations du second ordre entre les variables /■, r' et r", dans lesquelles il n'y aura plus qu'à substituer la valeur de -j--
Donc, si à l'aide d'une de ces équations on élimine la quantité -y- des
deux autres, on aura d'abord deux équations purement du second ordre entre les variables r, r', r" et t; ensuite, si l'on différentie la valeur de
-jji et qu'on mette la valeur de-^ dans l'équation (H), on aura une troisième équation entre les mêmes variables, qui ne sera que du troisième ordfe. De sorte que l'on aura, par ce moyen, pour la détermination des variables r, r' et r", deux équations différentielles du second ordre et une du troisième; et ces équations suffiront, comme on le verra dans un moment, pour la solution complète du Problème des trois Corps.
Nous croyons cependant qu'il est encore plus simple et plus commode
pour le calcul de substituer dans les équations (K) les valeurs de Q, Q' et Q" tirées des équations (J); car, quoique les équations résultantes puissent monter à des ordres plus élevés que le second, elles auront toujours ce grand avantage que les variables s'y trouveront peu mêlées entre elles, et que l'analogie qui y règne facilitera beaucoup leur résolution.
Des dix équations de l'Article VIII il n'en reste donc plus que neuf, et des trois équations (D) de l'Article II, ou (0) de l'Article XI, il n'en reste plus que deux; de sorte qu'on n'aura en tout que onze équations pour la détermination des six variables x, y, z, x',y', z' et de leurs différentielles^, dy,...; d'où l'on voit qu'il est impossible de déterminer ces variables directement et par les seules opérations de l'Algèbre; mais on pourra en venir à bout au moyen d'une intégration, comme on va le voir.
Je suppose que l'on veuille connaître les valeurs de x, y, z; on aura d'abord l'équation
Ensuite, multipliant les trois équations (0) de l'Article XI respectivement par À, [j., v, et les ajoutant ensemble, on aura
X2 -+- u.2 -+- v2 11' + au.' -+- v/ 11" -+- au." -+- vu" , , , v ,
£ 1 4j ■ H 4 = {al+ba + cv)dt;
ou bien, en faisant les substitutions du même Article,
(R) ( -^ -+- -p- + — 1 dt = a{ydx — x dy) -+- 6 [z dx — xdz) -+- c{zdy — ydz).
Enfin, multipliant les mêmes équations (0) respectivement par z, — y, x, et les ajoutant ensemble, on aura
lz — uy-hiix l' z — u' y ■+- v' x 1" z — u" y H- v" x
^~- 1 -^ 1 ^ = (az — by + cx)dt.
Or il est aisé de voir que l'on a \z — \x,y + vœ = o, et que
— X'z -+- u.'y — y'x est la même quantité que nous avons désignée plus haut par 5 (Article IX); donc, puisqu'on a déjà trouvé (Article X)
§2 (r2r>2 p'>i)undp rJr'2dr'2+ ip"r'dr'dY — r"dV'J, on aura, en faisant les substitutions du même Article X,
(V.z — f*'j-t- v'a;)2= (pp' -\- pp" + p' p" )u'* -7- rf<J,
et par analogie
(,X"-3 — i>-"y + v"xf = (pp' -+- pp" -\- p' p")u"' ■ ^- <//2.
De sorte que l'équation ci-dessus deviendra
(S) T\iï(pp'+pp"+pY)rf1-z , iM(pp'+pp"+p'p")u">-i" =a: | ^
Ainsi on aura trois équations (Q), (R) et (S), à l'aide desquelles on pourra déterminer facilement les valeurs de x, y, z, dès qu'on connaîtra celles de r, r' et r".
On peut trouver de semblables formules pour la détermination de x', y', z' ; et même, sans faire un nouveau calcul, il suffira de changer dans les précédentes B en C et C en B, d'accentuer les lettres qui n'ont point d'accent et d'effacer l'accent de celles qui en ont un, sans toucher à celles qui ont deux accents. Il faut seulement observer que la quantité dp ne change point de valeur, mais seulement de signe, lorsqu'on change entre elles les masses A, B, C et les lettres accentuées, ce qui se voit clairement par l'équation (H) de l'Article V.
Supposons, pour abréger,
rr n W" V r = ïï + -B- + T'
y/4 (pp' + pp" + p'p" )u" — 2' \jMpp' -hpp" + p'p")u"i — 2"
et l'on aura ces trois équations
x2 -+- y2 -+- z2 = r2, a z — h y -t- ex = Z, a(ydx — xdy) -+- b(zdx — xdz) -+- c (z dy — ydz) = T dt .
Comme les constantes a, b, c sont arbitraires (Article II) et ne dépendent que de la position du plan de projection des orbites des Corps B et C autour du Corps A, il est facile de voir qu'on peut prendre ce plan de manière que l'on ait b = o et c = o; car pour cela il suffira qu'on ait b = oetc—o au commencement du mouvement, c'est-à-dire, lorsque t = o.
Supposant donc è = o et c = o, on aura
az=Z, a(ydx — xdy) = Tdt;
donc
et, à cause de x2 -+- y'- -4- s2 = r2, on aura
de sorte qu'en faisant
ydx — xdy aTdt
aTdt
— := tang<p,
et de là
z / , à . / zj
— , v=t/r2 ;Sincp, x^zi/r'
a J y a2 T' y rt2
COS<p.
Mais si l'on ne veut pas s'astreindre à la supposition de è=o et c—o, ce qui oblige de prendre le plan de projection d'une manière déterminée, voici comment on pourra déterminer les quantités x, y, z avec toute la généralité possible.
Soient
Iz — my -+- nx = X, Iz — jj.y -+- vx = Y,
/, m, n, À, (x, v étant des coefficients indéterminés, et X, Y deux nouvelles variables; on aura
Y dX — XdY = (mv — ny.) (ydx — xdy) -+- (ni— h) (zdx — x dz) -+- (lp — m\) (zdy —ydz) ;
donc, faisant
mv — nfj. = ka, n). — lv = kb, lp. — m\ = kc, on aura l'équation (Article XIV)
YdX — XdY=kTdt.
Supposons maintenant que l'on ait
substituant les valeurs de X, Y et Z en x, y et z, et comparant ensuite les termes qui contiennent les mêmes puissances de x, y et s, on aura ces six équations
/( l2 -+- l2) •+- ga2 = i , f{lm -4- ?.//) -t- gab = o, f(m2-h y.2) -i- gb2 = i, f{ln -+- Xv) -+- gwe = o, /( n2 H- v2) -+- g-c2 = i , f{mn -+- /«/) -+- g-ôc = o,
lesquelles, étant combinées avec les trois précédentes, serviront à déterminer les neuf inconnues l, m, n, X, p., v,/, g", k.
Cela fait, on aura donc, à cause de x2 -h y2 -{- z2 = r2 , l'équation
d'où donc
Donc, si l'on fait
YdX — XdY fk'ïdt
r*-eV-
do
fh-Tdt
l/- — 7^-sincp, X=i/- — ^-^cosa.
Ainsi l'on connaîtra les trois quantités X, Y, Z, à l'aide desquelles on pourra déterminer ce, y, z.
Pour cela, on prendra les trois équations
Iz — my-h nx — X, Iz — py -+- vx = Y, «3 — 6j -+- ex = Z,
et on les ajoutera ensemble après les avoir multipliées respectivement : i° par//,/X, ga; i° par/m, fa, gb\ 3° par//i,/v, gc; on aura sur-lechamp, en vertu des équations de l'Article précédent,
z=f{lX + lY) + gaZ, y=-f{mX+p.Y) — gbZ, x—f(nX + vY)-t-gcZ.
Maintenant, comme on a supposé
on aura, en substituant les valeurs de ce, y, z qu'on vient de trouver, el
comparant les termes homogènes,
f(l2 -+- m* -h n2) = i, 11 -\-mp.+ nv = o, f[l2 -+- u.2 -+- v2) = i, la -+- wiè h- ne = o, g-(a2 -+- b2 -+- c2) = i, la + p.b -+■ vc = o,
et ces équations devront être identiques avec les six qu'on a trouvées cidessus (Article XV), et pourront par conséquent être employées à la place de celles-là pour la détermination des inconnues /, m,....
Or, comme il faut satisfaire en même temps à ces trois autres équations (Article XV)
mv — nu = ka, ni — lv^=kb, ly. — ml = kc,
je remarque que, si l'on ajoute ensemble ces dernières équations après les avoir multipliées respectivement : i° par /, m, n; 2° par )., p., v, on aura ces deux-ci
h [la + mb -4- ne) = o, k (la ■+■ yb -+- i/c) = o,
lesquelles s'accordent avec la cinquième et la sixième des précédentes; ainsi l'on peut déjà réduire à une seule les trois équations dont il s'agit, et l'on y satisfera par la détermination de l'inconnue k. Or, si l'on ajoute ensemble les carrés de ces équations, on aura
k2(a2 -+- b2 -+- c1) = (mv — ny)2 + (ni — IvY + (ly. — ml)'
= ( l2 -+- m- ■+- n2 ) ( l2 ■+■ y-2 -+■ v2 ) — ( Il -+■ m p. + n v )2 = -^
en vertu des six équations ci-dessus; de sorte qu'on aura
fnja' -hb2-h c2
Donc il n'y aura plus qu'à satisfaire aux six équations trouvées plus haut : c'est ce qu'on pourra exécuter de plusieurs manières à cause qu'il y a plus d'indéterminées que d'équations.
On aura d'abord
s ~~ a2 -+- b2 + e ' ensuite, si l'on chasse X des deux équations
Il -+- m;j. -\- nv = o, la -+- p.b ■+■ vc = o,
on aura
(«m — 6/) p. -+- (a« — cl)v = o,
et, chassant fA, on aura de même
(6/ — am ) 1 ■+- ( bn — cm ) v = o, d'où je conclus qu'on aura
l = (cm — bn)o, f/.=:{an — cl) à, v = (6Z — am)à, & étant une inconnue qu'on déterminera par l'équation
laquelle donnera
/ô2[(cm — 6n)2 -+- {an — cl)* -+- (bl — am)2] = i; mais on a
(cm-k)î+(«/i-c/)î+(è/-am)2 = (ûî+6!+c1)(/1+mI+n2)-(a/+6m+t,»),=-7à cause de
a2 -+- 62 -+- c2 = -? /' -t- -m2 -t- Ji2 = -= » a/ -l- 6w + en = o g f
par les équations ci-dessus; donc on aura - = r, ô = v^
\/a2 -l- è2 -t- c VI. 33
et il ne restera qu'à satisfaire à ces deux équations
f( l2 -+- m2 -+- n2) = i , la + mb -+- ne = o.
Supposons, pour plus de simplicité,
a= hcoset, h == h sin a cose, c = h sin a sine; on aura
de sorte que
A= ^0' + 62 + e2, et la seconde des deux équations précédentes deviendra
/cos a -+- sin a (m cose -+- n sine) = o;
soit donc
/ = sina sin/;,
et l'on aura, en faisant pour plus de simplicité / = i ,
sin2a sinV; -t- m2 + n? = i, cos a sin-/; -+- m cose -+- n sine = o.
Donc
m cos e -i- n sin e = — cos a sin ri ;
donc
w: + /7.2 — (m cose + rasine)2 = (m sine — n cose)2
= i — sin2asin2yj — cos2a sin'y;—! — sin2/j = cos2/i ;
et, tirant la racine carrée,
m sins — n cose = cosy; ; de sorte qu'on aura
m = sine cosy; — cosa cosesiny;,
n = — cose cos/j — cosa sine sin yj ;
et de là on trouvera les valeurs de X, p., y par les formules précédentes.
On aura de cette manière
/ = sina sinri,
m = sine costî — cosa cose sin/î, n = — cose cos/j — cosa sine sin-/;, 1 = sina cosr,,
fj. = — sine sin/] — cosa cose cos/), v = cose sin/) — cosa sine cosrj.
Si l'on substitue ces valeurs clans les expressions de x, y et z de l'Ar-
z ticle XVI, il est facile de voir que les quantités X, Y et j ne sont autre
chose que les coordonnées rectangles de la même courbe, qui est représentée par les coordonnées x,y, z, mais rapportée à un autre plan de projection, dont la position dépend des angles a, z et i). En effet, si l'on considère les deux plans des coordonnées x, y, et des coordonnées X, Y, l'angle « sera celui de l'inclinaison de ces deux plans, l'angle -r\ sera celui que la ligne d'interjection de ces plans fait avec l'axe des abscisses x, et l'angle e sera celui que l'axe des abscisses X comprend avec la même ligne d'in-
tersection. Or, comme l'expression des coordonnées X, Y et j est plus
simple que celle des coordonnées x, y, z, il est clair que le plan de pro-
jection auquel appartiennent les coordonnées X, Y et y est plus propre
que tout autre plan pour y rapporter les mouvements des trois Corps, ou plutôt le mouvement relatif de deux de ces Corps autour du troisième.
On voit donc que la position du plan de projection n'est point du tout indifférente, et que, parmi tous les plans possibles qu'on peut faire passer par le Corps A, il y en a un qui doit être choisi de préférence, parce que les mouvements des Corps B et C autour de A sont par rapport à ce plan les plus simples qu'il est possible.
Cette remarque, qui me paraît de quelque importance dans le Problème des trois Corps, n'avait pas encore été faite, parce que personne,, que je sache, n'avait jusqu'à présent envisagé ce Problème d'une manière aussi générale que nous venons de le faire.
Nous prendrons donc, à la place des coordonnées x, y, z, celles-ci X, Y, y> pour représenter le mouvement du Corps B autour de A; et comme l'on a, à cause de h = — (Article XV),
il est clair que f sera l'angle décrit par le Corps B autour de A dans le plan de projection, c'est-à-dire, la longitude du Corps B dans ce même
plan; et que y- sera le sinus de la latitude. Ainsi on aura (Article XVI),
à cause de/= i,
y/a2 -4- b2 4- cJ f> Pour le Corps B :
Rayon recteur de l'orbite ;•,
r Tdt
Longitude.
/Tdt
Sinus de la latitude -s-
hr
Pour le Corps C :
Rayon recteur de l'orbite r',
Longitude
/Tdt
Sinus de la latitude 7—7
hr
Les valeurs de T et de Z sont données par les formules de l'Article XIV,
et pour avoir celles de T' et Z' il n'y aura qu'à changer dans celles-là l'accent zéro en ' et ' en zéro, et ensuite B en C et C en B.
Quant à la quantité h, c'est une constante arbitraire qui dépend du mouvement initial des Corps; mais il faudra la prendre telle, qu'elle s'accorde avec l'équation (P) de l'Article XI, dans laquelle le second
membre est
de sorte qu'il n'y aura qu'à prendre pour h la racine carrée de la valeur du premier membre de cette équation lorsqu'on y fait t — o.
Les formules que nous venons de trouver servent à déterminer les orbites des Corps B et C autour du Corps A par rapport à un plan fixe passant par ce même Corps; mais il faut voir encore comment on peut déterminer, par leur moyen, la position mutuelle de ces orbites. Pour cela, nous commencerons par remarquer que si l'on considère le triangle formé à chaque instant par les trois Corps A, B, C, et dont les trois côtés sont r, r' et r", et qu'on nomme Ç, Ç', Ç" les trois angles opposés à ces côtés, on aura, comme on le sait, par la Géométrie élémentaire,
COSÇ :=
COS Ç'
C0SÇ"=;
-j. ri 1 1
Or on a (Article VIII)
p" = xx1 -\-yy' 4- zz';
donc
xx' -\- yy' -+- zz'
2 rr"
rr"
cos Ç" =
Ç" étant l'angle formé au centre du Corps A par les rayons recteurs r et r' des deux autres corps B et C.
Qu'on imagine maintenant deux plans passant, l'un par le Corps A et par les deux points infiniment proches dans lesquels s'est trouvé le Corps B au commencement et à la fin du temps infiniment petit dt, et l'autre par le même Corps A, et par les deux points infiniment proches où le Corps C était au commencement et à la fin du même temps dt; ces deux plans seront ceux des orbites des Corps B et C autour de A, et ils se couperont nécessairement dans une ligne droite passant par le Corps A, laquelle sera donc la ligne des nœuds des deux orbites.
Soit w l'inclinaison de ces deux plans l'un à l'autre, £ la distance du Corps B à l'intersection des deux plans ou à la ligne des nœuds, c'est-àdire, l'angle compris entre le rayon r et la ligne des nœuds, et £' la distance du Corps C à la même ligne des nœuds, c'est-à-dire, l'angle formé par le rayon r' et la ligne des nœuds; si l'on imagine une sphère décrite autour de A comme centre, et que par les points où les deux rayons r, r' et la ligne des nœuds traversent la surface de celte sphère, dont nous supposerons le rayon égal à i, on mène des arcs de grands cercles, on aura un triangle sphérique dont les trois côtés seront H,, %' et Ç", et dont l'angle opposé au côté Ç" sera w; de sorte qu'on aura, par les formules
connues,
cos Ç" = cos £ cos £' -+- s'n i sm i' cos w >
donc
cos £ cos £'-+■ sin £ sin £ cos m = ,—i-.
rr
Supposons maintenant que pendant le temps dt le Corps B décrive autour de A l'angle infiniment petit dO, et que le Corps C décrive l'angle d$' , il est clair que, tandis que les lignes oc, y, z, r croissent de leurs différentielles dx, dy, dz, dr, l'angle 2 croîtra de d9, et l'angle <d demeurera le même, parce qu'on suppose que la position des plans des orbites des Corps B et C est la même au commencement et à la fin de l'instant dt; de même, en faisant croître les lignes x' ,y' , z , r' de leurs différentielles dx', dy, dz', dr', il n'y aura que l'angle |' qui variera en croissant de dd'. Or, comme l'équation précédente doit être identique et indépendante de la loi des mouvements des Corps B et C, il est clair qu'on pourra y faire va-
rier les quantités ce, y, z, r et Èj qui appartiennent au Corps B indépendamment des quantités x',y', z', r' et Z' qui appartiennent au Corps C, et vice versa celles-ci indépendamment de celles-là; d'où il suit qu'en faisant varier d'abord x, y, z, r et §, ensuite x' , y', z', r' et 2', enfin les unes et les autres en même temps, on tirera de l'équation dont il s'agit les trois suivantes
. „ .,. y . y, , ,,, (xx'-^-yy'-hzz')dr x'dx+r'dr-i-z'dz (— sin £ cos £ -t-cosEsin£'cos&>)«0 =— ■ J-^T- -, H — ~ >
„ . w ... v, ,,, {xx'-\-yy'+zz')dr' xdx'-hydy'-hzdz' (—cos£sin£ H- sin£cos£ cos &>;■«& = ~-J—, 1 : — * ?
/'/•'-' rr
(sin!- sin £/ + cosljcosË/ cosw)J9 d9'
( xx' -+- y y' -+- zz') dr dr' ( x1 dx ■+■ y' dy ■+- z'dz) dr'
r'r'2 rr'2
{ x dx' -+- y dy' -+- z dz' ) dr dx dx' -+- dy dy ' -+- dz dz' r-iri rr>
Donc, si l'on fait dans toutes ces équations les substitutions de l'Article VIII, on aura ces quatre-ci
cos \ cos£'-t- sin \ sln £' cosw = —, -,
. ■„ .,, y . y, v"dr-\-rd\'
— sin £ cos £ -4- cos £ sin £ cos &> = — '- — „ . ,, — ,
y . y, .y y, l)"dl''+ r'rfV
— cos £ sin £ + sin £ cos £ cos co = — * ; — tt j
rr 'du
. „ . .„ . v, p"drdr'—d\f.rdr'— dW'.r'dr-h rr' v" dt2
sin£sin£ + cos£cos£ cosw = - — — , ,. ,. ,.,
' * r2r'-dddO
Or il est facile de concevoir que le carré du petit espace que parcourt le Corps B dans le temps dt est exprimé également par dx2 + dy2-+-dzi et par r- dû2 + dr2, de sorte qu'on aura
rdQ = \Jdx2 -+- dy2 -+■ dz2 — dr
et par conséquent (Articles VIII et XI)
,„ Jifdv — dr2 dt i/ÏÏ d6 = î = — \ — i
et de même
,., sjundt> — dr"1 dt sJW r' ■ r'2
Ainsi les seconds membres des quatre équations précédentes seront tous donnés, dès qu'on connaîtra r, r' et r" en t (Article cité); de sorte qu'on aura quatre équations entre les trois inconnues '£, '£,' et w, par lesquelles on pourra non-seulement déterminer ces trois inconnues, mais encore avoir une équation entre les quantités r, r', r", u, u',..., et cette équation sera la même que celle qu'on a déjà trouvée plus haut (Article X) par une voie bien différente.
Supposons, pour abréger, que les équations précédentes soient représentées ainsi
cos £ cos H' -i- sin£ sin^'cosw = >.,
sin£ cos£' — cos£ sinË'cosw = u,
cos£ sinH' — sin£ cos£'cosco = v,
sin£ sin£' -+- cos£ cos£/cosw = — m,
en faisant
, p" p" dr -+- rdX p" dr'-h- r' dV'
rr ^ r'r'ad rr'2d9
— p"drdr'-h dV.rdr' -+- rfV. r'dr — rr'v"dP r>r'*dBd& ~~ '
il est facile de réduire ces quatre équations à ces deux-ci
cos(£± £') (iqr cosw) = /±nj, sin (£±£')(izpcosw) =p.±v,
lesquelles, à cause de l'ambiguïté des signes, équivalent réellement à quatre équations. Élevant ces deux équations au carré, et ensuite les ajoutant ensemble, on a
[iZÇ. C0SW)J = (/±S3)!-I- (fi±v)2,
d'où, à cause de l'ambiguïté des signes, on tire
— cos &) = Iva -+- pv, i -+- cos2o> = l2 -H \j? -t- v2 -+- m2 ;
de sorte qu'éliminant cosw on aura
i -4- (hs -+- uv)? = X'2 -+- p.2 + i/2 + ra2.
Si l'on substitue dans cette équation les valeurs de X, p., v, zs, comme
aussi celles de dQ et de dO', on aura une équation qui sera la même que
l'équation (N) de l'Article X; ce qui peut servir à confirmer la bonté de
nos calculs.
L'équation
— cosgj = Irn -+- fxv
donnera
p'V'dt2 — dVdY' W"
COSC) = „ ,. ,.. ,., = i
r2r'2dodV JTLW
ce qui fera connaître l'inclinaison m des deux orbites.
Connaissant w, on connaîtra aisément S, et §'; car, en multipliant les
deux équations
cos(£ -+- £') (i — cos co) = 1 -t- m,
cos(£ — £')(i -h cosw) = 1 — ro l'une par l'autre, on aura celle-ci
}(cos2J; ■+■ C0S2^')sin2w = X2— ra2; et de même les deux autres équations
sin (£ + £') (i — cosu) = f* + v, sin(£ — £')(i -+- cosw) = ^ — v, étant multipliées ensemble, donneront
— j(cos2^ — cos2^') sin2w = [i.2 — v2, d'où l'on tire
y ~k2 — ra2 — u2 + v2 w X2 — sj2 -I- w2 — v2
C0S2fc= — -1 ! COS 2?'= r-H ?
sin2co sin2w
vi. 34
ou bien, en mettant à la place de sr2 sa valeur
