SOLUTION DU PROBLÈME DES TROIS CORPS DANS DIFFÉRENTS CAS

Nous allons examiner dans ce Chapitre quelques cas particuliers, où le Problème des trois Corps se simplifie beaucoup et admet une solution exacte ou presque exacte; quoique ces cas n'aient pas lieu dans le Système du monde, nous croyons cependant qu'ils méritent l'attention des Géomètres, parce qu'il en peut résulter des lumières pour la solution générale du Problème des trois Corps.

Le premier cas qui se présente est celui où les trois distances r, r', r" seraient constantes, en sorte que le triangle formé par ces Corps demeurât toujours le même et ne fît que changer de position.

On aura dans ce cas

dr=o, dr'=o, dr"=zo,

et par conséquent aussi

dp = o, dp1 = o, dp" = o ; donc les trois équations (K) deviendront

(a) { -, hB(pq+p"q" + Q') =o,

A -H B + C . , , , - „ , -p, hA(— pq — p'q'+Q") = o;

d'où l'on voit que les quantités Q, Q', Q" seront pareillement con-

stantes, en sorte qu'on aura

dQ = o, dQ' = o, dQ" = o,

moyennant quoi les équations (I) se réduiront à celles-ci

q dp = o, q'dp = o, q"dp = o,

lesquelles donneront, ou q — o, q'=o, q"=o, ou dp — o. Examinons séparément ces deux cas.

Soit d'abord

q = o, q'= o, q" = o; donc

de sorte que le triangle formé par les trois Corps sera équilatère; les équations (a) donneront donc

CQ = BQ' = AQ" = - ^.±A±C ,

et, ces valeurs étant substituées dans les formules (J), on aura

Maintenant on aura

donc

v-?IÏ, U-— •

de plus l'équation (H) donnera -£ = o, par conséquent

a étant une constante arbitraire qui doit satisfaire à l'équation (NJ.

Or on trouve

l=Z' = I"=r><x2; VI. 35

de sorle que l'équation dont nous parlons deviendra

9 r* u' — 6 r2 u2 câ -4- a' = o,

c'est-à-dire,

d'où

Ainsi l'on aura satisfait à toutes les équations du Problème; de sorte que la valeur de r demeurera indéterminée; d'où il s'ensuit que le système des trois Corps peut se mouvoir de manière que les trois Corps forment toujours un triangle quelconque équilatéral.

Ayant trouvé

on aura

4Pi<2— 2 = o, 4P«'2— l'=zo, 4P«"2— 2"=o;

sin^^o, sin<j/=o;

d'où l'on voit que les trois Corps seront toujours nécessairement dans un même plan.

On trouve ensuite