XL1V

Négligeons encore les produits de deux ou de plusieurs dimensions de x et X, on aura, à la place des équations précédentes, celles-ci

(h i 3x qct'X -5-=yi — 3 a2 h

dt \ 2 2

— 2a2 3y! I i H h 3 I I i y(c/y — adt) = ronsl.,

-j— -+- a2X = const., dt-

d'Y ( , 3x 3a2X\ CI 3x\ , i ;,,

jY + ï î + x! -4- | li J («Y-t- rsdt) = const. ,

lesquelles, en substituant la valeur de a, se réduisent à ces trois-ci

d3\ (e) -r— -t- a2X= const.,

dt2

— 3cc2 3 y- — (i — 3a2) ( j y dt ) + 3 / y c/< I yx dt

!(5y': — i)X + 5 / Xyï/y -+-g«2 / ï(// JyXdt — 5(i- 3a') / Xï(/( fv(//

- yx -H- / \d\ -+■ j dt j \xdt + (i — 3a:2) / x</< / y </*

— (Xy— 3 ( dt j vXdt\ =001181.

Comme les variables x et X sont supposées fort petites vis-à-vis de la variable y qui est finie, on peut d'abord négliger dans l'équation (vj) les termes qui renferment x et X; on aura ainsi cette première équation approchée

-j— -4- i 2 -+- ar) y -+- (i — 3a2) / dt j y dt = const.,

laquelle étant différentiée deux fois devient

+(2 + a2)+(l 3«2iY = o,

qui est intégrable par les méthodes connues.

Pour en trouver l'intégrale, il n'y a qu'à supposer r =/cos(pt-hà),

ou bien, puisqu'on veut que -j- = o lorsque ï = o, on fera simplement

Y =fcOSpl,

et l'on aura, après les substitutions, cette équation enp

p" — (2 -1- a2 ) p1 -+- 1 — 3 a! = o, d'où l'on tire

a2 , /ce-

ou bien, en négligeant les puissances de c plus hautes que la seconde,

et

Donc, dénotant par/) l'une de ces valeurs et par q l'autre, on aura

y=fcospt ■+- geosqt,

f et g étant des constantes indéterminées qui doivent être telles, que lorsque t= o on ait y = Rr= 1; ce qui donne f-h g = 1 .

Cherchons maintenant, d'après cette première valeur approchée de y,

celle de sin^ par les formules (t) de l'Article XLII; on aura M = x2,

en négligeant les quantités x et X; donc aussi k- = or, et k = v.

[équation [x)] ; donc

et

Or

donc

-j-t= -pfsinpt — qgsinqt,

fsinpt gsinql

dt

siîiçr=zjZ2a(/sin/>^— gsinqt),

en négligeant les puissances supérieures de a; donc

>i = a2[i — {fcospt -t- gcosqtf — {fsinpt — gsinqt)-] — a2[i — /2 — g'2 — zfglcospt cosqt — s\nptsinqt)~\

= a2[> — f1 — g* — *fg ™*(p ■+-?)'];

r=r+g*+*fSi

l = 2«'/g-[i - cos(/> + ?) f] = 4«»/g-sin» ( £— -2 l ) ,

donc donc

donc enfin

sin ij^a^/gsin (^^^

vi. 4«

Or, comme on doit avoir f-\- g = i , on peut supposer

/=lcos-Y, §-=(sin-),

sin i|/ = sin / sin ( ±- t ) ,

et l'on aura

l'angle / étant arbitraire et dépendant de l'inclinaison primitive de l'orbite de la Lune : en effet, il est clair que la plus grande valeur de sin^ sera sin/, de sorte que / exprimera la plus grande latitude, c'est-à-dire, l'inclinaison de l'orbite; donc, puisqu'on sait par les observations que l'inclinaison de l'orbite lunaire .est assez petite, et d'environ 5° 8', la constante g sera toujours très-petite et la constante/ presque égale à l'unité; car on aura à peu près

£•= ( sin 2° 34' Y = environ -z — ; ° ooo

de sorte que la quantité g est encore plus petite que la quantité i, qui exprime le rapport des parallaxes de la Lune et du Soleil; d'où il s'ensuit que l'on pourra négliger sans scrupule les termes qui se trouveront multipliés par le carré et les puissances plus bautes de g.

Il est facile de voir, par l'expression de sin -i/ qu'on vient de trouver,

que l'angle - — - t n'est autre chose que la distance de la Lune au nœud,

c'est-à-dire, l'argument de latitude; d'où il s'ensuit que, si l'on retranche cet angle de la longitude de la Lune dans son orbite, on aura la longitude du nœud. Donc, si ht dénote la longitude moyenne de la Lune, on

aura (h — - — - j t pour la longitude moyenne du nœud; or, les longitudes moyennes étant à peu près les mêmes dans les orbites des planètes et dans l'écliptique, ht sera la valeur moyenne de <p, et h sera par consé-

quent égale à ce qu'il doit y avoir de constant dans la valeur de -—• Or les formules de l'Article XLI1 donnent, en rejetant x et ty,

et, à cause de y =f cospt, on aura

h = i / i — I — 1 I a- = i — y- a peu près.

Mais on a aussi

d'où l'on voit que la position du nœud est fixe, du moins par cette première approximation; ce qui ne doit pas paraître surprenant, vu que les valeurs de p et q ne peuvent tout au plus être censées exactes qu'aux quantités de l'ordre de «2 près.

Pour savoir maintenant laquelle des deux valeurs

doit être prise pour p, on remarquera qu'en supposant l'inclinaison de

l'orbite nulle on a

y =fcospt = cospt-,

mais on a (Articles XXXIV et XLI)

y = Rz = RrcosÇ"= cosÇ";

donc

cospt = cosÇ" et pt = Ç"=<p — cp',

puisque Ç" n'est autre chose que l'angle compris entre les deux rayons r

et r'; donc

en nommant ht et h't les valeurs moyennes de f et de <p'; or on a déjà trouvé h = i — j et, pour avoir A', on prendra la partie constante de -j- »

qui est = \/M = a; de sorte que A' = a, et par conséquent-

donc

'Ainsi il faudra toujours avoir soin dans la suite de prendre pour/? une valeur telle, que ses deux premiers termes soient î — a, et pour q une valeur dont les deux premiers termes soient i -f-a; cette remarque est d'autant plus importante que les quantités/? et q seront données dorénavant par des équations particulières dont chacune montera cependant au quatrième degré, comme on le verra ci-après.