XL VII

Ayant trouvé la première valeur approchée de y, on la substituera dans l'équation (Ç) qui donne la valeur de x, en y négligeant d'abord les termes où x et y sont mêlés ; ce qui la réduit à celle-ci

f/JX

-p^ -+- (i -+- 4a2) x — a2 [9 y- — 3(f\dt)'] = const. ;

or, puisque

v =fcospt -4- gcosql,

on aura, en négligeant les g2,

\' =f2 cos'pt -+- zfgcospt cosqt

= -/2(i+ cosa.pt) -4-/g[cos(/> -+• q)t + cos{p — q)t~],

et

1 f pq

= —. ■ (1 — COS20O — ^- rcos(o -+- q)t — cos(i> — q)t~\;

dont'., substituant ces valeurs, et rejetant tous les termes constants, à cause qu'il ne doit y en avoir aucun dans la valeur de x par l'hypothèse, on aura

___,(, + 4a*)x j±j: > C0S2pt

^ [{3pq + i)cos(p -t-q)t + (3pq — i) cos(p — q)t] = o.

Ainsi la valeur de x sera de cette forme

x = acosmt -i- a2/2 A cosipt ■+■ a? fg[B cos(p -+- q)t ■+- B, cos{p — q).t~\, et, la substitution faite, on aura a cos mt.( — m2 -+- i -+- 4<*2)