x\f*C0S2pt\ J{— 4/>2 -H I -+- 4a2) t I
^x'fgCOS(p + q)t[B[-(p + qy+i + /ia>-]- >(3^+" j
+ *'fgcoS(p-q)t[Bl[-(P-q)' + i + ^]- '(3^~"|=o.
Donc, égalant à zéro les coefficients de chaque cosinus, on aura les équations suivantes
/ ,n 3( 3da -(- i)
d'où l'on tire
a peu près,
# 3(3pg — i) 6
Pil— (p — g)2 + i + 4«2]
La constante a, qui est demeurée indéterminée, dépend de l'excentricité de l'orbite lunaire, et doit par conséquent être fixée par les observations.
Ainsi l'angle mt représentera l'anomalie moyenne de la Lune, c'està-dire, sa distance à l'apogée; de sorte que (h — m)l sera la longitude moyenne de l'apogée, Aï étant, comme plus haut, celle du lieu de la Lune; mais, comme nous avons négligé dans l'équation (Ç) des termes où x se trouve multiplié par a2, on doit s'attendre à ce que la valeur de m ne sera exacte qu'aux quantités de l'ordre de ce près; c'est pourquoi on aura dans cette première approximation m = i et m — h = o, en rejetant les a2 ; ce qui donnerait les apsides fixes.
Venons maintenant à l'équation (ej qui donne la valeur de X; et comme cette quantité ne doit contenir aucun terme tout constant, il est clair qu'on aura simplement
et que la valeur de X sera de cette forme
X = b cos ni, d'où l'on trouvera, par la substitution,
— n- -+- et? = o, n = ce.
Le coefficient indéterminé b dépend de l'excentricité de l'orbite du Soleil, et nt est par conséquent l'angle de l'anomalie moyenne; de sorte
que (n — h')t seva la longitude de l'apogée du Soleil, qui est ici nulle à
cause que
Puisque l'on connaît déjà la forme des premiers termes des valeurs y, x elX, on pourra aisément trouver les suivants et rectifier en même temps les coefficients de ceux qu'on a déjà trouvés; pour cela, il n'y aura qu'à substituer dans les termes négligés des équations proposées les valeurs qu'on vient de trouver, et l'on aura la forme des termes qu'il faudra introduire dans les nouvelles valeurs de y, x et X; on donnera à tous les termes des coefficients indéterminés, et, la substitution faite, on fera égaux à zéro les termes analogues, c'est-à-dire, ceux qui renferment les mêmes cosinus; on aura par là autant d'équations qu'il en faudra pour la détermination de tous les coefficients.
Ainsi, reprenant l'équation (ïj) et substituant dans les lermes qui renferment x et X les valeurs de x, X et y trouvées ci-dessus, il viendra des termes de la forme
afcos(p ±m)t, <igcos(q do m)t,
x\f2 cos ( a/7 ± p ) t, a'f'g cos{2p±q)i,
^f-gcos(p±q±p)t, cc'f2gcos(p±q±q)t,
bfcos(p±n)t, bgcos(q±n)t;
on supposera donc
y =fcospi -t- gcosql -t- afP cos(p + m)t -t- afP, cos(/> — m)l -+- ag(Jcos{q 4- m)t -+- agO, cos(q — m)t + . . .,
et, prenant pour x et X les expressions de l'Article XLVII, on aura l'équation suivante, dans laquelle j'ai négligé les quantités affectées de à\ de au} et de a", à cause que l'on a négligé dans l'équation (*j) les termes
où x se trouvait à la seconde dimension,
r / , i 3*2\ Jy\pA ( i i-3aa\l
oos/*^-, +* + «-- .-y-J — V 1-^ + ^^jJ
r / , , i — 3a2\ 3**pgfi[ p i i — 3a2\ 3a2/"2g.B, / p r 1— 3a=\"l
yL V ? / 4 \ q q pq ) 4 V 9 <7 /"/ /J
-cos(p+ni)t\ nf? -f+»i-+2+i--; -j) r- I-+-— -r—- — r- r- ;
v/ L V (P-*-™) ) 4 \ P-*-'" (p-*-'»Y P[P+m)IS
, T yn / , v 2 i-3a2\ 3*/"/ p i i-3«2\l
■cos[p—m)t\ a] P. — (p— m)-- t-2-t-a2— r-, f~\ i-h-^ -. r2 ; r
\r ^j ,y \r {p—mfj 4 V p—m [p—mf p(p—m)J A
-COS(r/-i-m)t\ as Q — («y-t-'H 2-(-2-t-a2— -r H 7 -2— — ; r
J „/ , V3 . i-3a2\ 3ag / q 1 i-3a2\-] -COS [11— m )t\ tie-QA —[q—mY-i-1-t-u*—- -.) f-( n '- ; n — a -l-...=o.
On égalera donc à zéro les coefficients de ces différents cosinus, et
équation d'où l'on tirera la même valeur de p que ci-dessus (Article XLY), de sorte qu'on aura
et l'on sera maintenant assuré que cette valeur est exacte jusqu'aux quantités de l'ordre de oc'- inclusivement;
, 1— 3«2 3a2 f'[B + B.)/ i\ 3a2f'[£-£A p2 — 1 + 3«' 2° — o2-*-2-i-a- — 3 •■ — '- i-il 1 -h : — l- LLC =o;
or, comme nous négligeons les quantités de l'ordre de a4, on aura (en mettant pour p et q leurs valeurs approchées)
PI
de sorte que, à cause de B = — 4 et B{ = 6 (Article XLVII), l'équation précédente se réduira à
ou bien
q1 — I 2 -+- a.2 ,J- 1- i5/2a3 q2 + i — 3aJ — = o;
d'où l'on tire d'abord, aux quantités de l'ordre u3 près, en ayant égard à la remarque de l'Article XLVI,
a2 Za2f2 I i5f'a
a2 Ztx2f2 i5f2cc2
et de là
on aura donc ici
■ p -+- q a.2 3f2cc2
par conséquent le mouvement moyen du nœud qui est représenté par
les observations;
|A — ~-^) J (Article XLVI) sera = j^- 1, ce qui s'accorde avec
3" P\ — lO + IB'+î + f- — y H -. -—- ; ; :
, ,, I i — 3a2l 3T p i i — ia1 \
L '.y— m) A 4L p— m [p — nif p{p—m)]
d'où l'on tire à peu près
On repassera présentement à l'équation (Ç) pour trouver une valeur de x plus exacte que celle de l'Article XLV1I.
Pour cet effet, on commencera par substituer dans les termes de cette dernière équation qui suivent les deux premiers, à la place de x, X et y, leurs valeurs trouvées dans les Articles précédents, et négligeant les quantités de l'ordre de g-, aussi bien que celles qui seraient affectées de a2 multipliée par a1 , «a2, b-, bar et ex* , à cause que nous avons rejeté dans la même équation les termes de l'ordre a2 dans lesquels x et X pouvaient former ensemble des produits de deux dimensions, on aura par ces substitutions des termes de la forme
a-f-cosipt, x"-fg cos (pzkiq)t, a'af'1cos(p±m±p) l,
a?agfcos{p±m±q)t, <z*f cos^pt, a,f3gcos(3p±q)t,
y?hf-cos(o.p±n l, x-bcosnt, ot.-hgfcos(p±q±n)l;
c'est pourquoi on supposera
x = a cosmt -+- œ f'À cosipl
-t- a'fgB cos(p -+- q)t -t- a'fgB, cos(p — q)t
-t- y.-af-C cosi ip-h m)t -+- x'af'C, cos(-).p — m)l
-+- x-ag/D cosi p -+- q + m) t ■+- x'agfcos p -4- q — m) t
DES ï II OIS COUPS. 333
et substituant cette valeur de x aussi bien que celles de y et X des Articles précédents, on aura, en négligeant ce qu'on doit négliger,
L l(i>' — in') ■' • ' " /J \p-f-i" P — '"! J
' L \ H/ i(pJ-4p2)J a a/>- J
T».«'„cp8(v,»)r[/»C1[-(V-iii)ïH-i+4«']-?4r -^2p~M=k ~*~ 4(/»-'«J(v-»') + ""J"
Ainsi il n'y aura plus qu'à égaler à zéro les coefficients de ces dilï'érents cosinus, pour déterminer les inconnues jw, .4, 5, Z? , C,, C, ,
Le coefficient de cosmj donnera la valeur de m exacte jusqu'aux quantités de l'ordre de y- inclusivement, et l'on aura, à cause de
P — — y et 7),= y (Article précédent), l'équation
^a zip1— m2) ^p{p-hm) 4p(p — m) 2
ou bien
3 a2/"2 qa'/2
d'où, en mettant pour/,/) et m leurs valeurs approchées 1, on lire
m2= 1 — as:*- el m. = 1 — a:';
de sorte que le mouvement de l'apogée (h — m) 1 deviendra -r't, à
cause de A == 1 — -r-
Comme notre dessein n'est point de donner ici une Théorie complète de la Lune, nous nous contenterons de ce léger essai, qui peut suffire pour donner une idée de la méthode qu'il faudra suivre clans l'intégra-
lion des équations différentielles de l'Article XLT, auxquelles nous avons réduit le Problème des mouvements de la Lune et du Soleil autour de la Terre.
Quand on aura trouvé les valeurs de x, X et y en t, c'est-à-dire, de r, r' et r", on aura d'abord les latitudes <|/ et <|/ par les formules (t) de l'Article XLII, et ensuite on aura les longitudes o et cp' par les formules («) du même Article; ou bien, comme Y = RrcosÇ", en connaissant y, r et R, on connaîtra
