POSÉ

or Ç" est l'angle qui exprime la distance de la Lune au Soleil, de sorte que, comme la latitude du Soleil est très-petite et peut par conséquent être négligée, on aura, par la propriété connue des triangles spbériques rectangles, cosÇ"= cosd; cos(© — <p'), et par conséquent

COS(ffl —

cosii y/n- x +X + xX

Ainsi l'on aura par ce moyen la distance y — <p' de la Lune au Soleil comptée sur l'écliptique; mais la longitude <p' du Soleil est assez connue par la loi de Kepler, que cet aslre suit assez exactement, puisque les dérangements que la Lune pourrait y produire ne seraient que de l'ordre de iB ou de i«2<7, comme on le voit par l'équation (r) de l'Article XLI; donc, en ajoutant cette longitude à la distance cp — <p' des deux astres, on aura la longitude o de la Lune comptée à l'ordinaire clans l'écliptique.

Le Chapitre premier du Mémoire qu'on vient de lire mérite d'être compté parmi les travaux les plus importants de l'illustre Auteur. Les équations différentielles du Problème des trois Corps, lorsqu'on ne considère, ce qui est permis, que des mouvements relatifs, constituent un système du douzième ordre, et la solution complète exige, en conséquence, douze intégrations; les seules intégrales connues étaient celle des forces vives et les trois que fournit le principe des aires : il en restait donc huit à découvrir. En réduisant à sept le nombre des intégrations nécessaires pour l'achèvement de la solution, Lagrange a fait faire à la question un pas considérable, et les géomètres qui se sont occupés après lui du Problème des trois Corps ne sont pas allés au delà. Leurs efforts, cependant, n'ont pas été inutiles : des méthodes

nouvelles et ingénieuses ont été proposées, comme, par exemple, celle que Jacobi a développée dans son célèbre Mémoire sur l'élimination des nœuds dans le Problème des trois Corps ; mais ces méthodes, comme celle de Lagrange, font dépendre la solution du Problème de sept intégrations.

La méthode de Lagrange est des plus remarquables; elle montre que la solution complète du Problème exige seulement que l'on connaisse à chaque instant les côtés du triangle formé par les trois Corps; les coordonnées de chaque Corps se déterminent effectivement ensuite sans aucune difficulté. Quant à la recherche du triangle des trois Corps, elle dépend de trois équations différentielles, parmi lesquelles deux sont du deuxième ordre et la troisième du troisième ordre; ces équations renferment deux constantes arbitraires introduites, l'une par le principe des forces vives, l'autre par celui des aires, en sorte que les distances des Corps sont des fonctions du temps et de neuf constantes arbitraires seulement. Parmi les douze arbitraires que l'intégration complète doit introduire, il y en a donc trois qui ne figurent pas dans les expressions des distances, circonstance que l'examen des conditions du Problème permet d'ailleurs de mettre en évidence à priori.

Préoccupé assurément de l'application qu'il voulait faire de sa nouvelle méthode à la Théorie de la Lune, application qui fait l'objet du Chapitre IV de son Mémoire, Lagrange a négligé d'introduire dans ses formules la symétrie que comportait son analyse, symétrie qu'un trèsléger changement dans les notations permet de rétablir. Les masses des trois Corps étant représentées par A, B, C, Lagrange étudie les mouvements relatifs de B et C autour de A, et il est bientôt amené à introduire en outre, dans ses formules, les quantités qui se rapportent au mouvement relatif du Corps C autour de B. Une telle direction des calculs est incontestablement défectueuse, au point de vue de l'élégance mathématique, en ce sens que les coordonnées des trois orbites relatives considérées ne figurent pas symétriquement dans les formules; mais, pour éviter cet inconvénient, il suffit, comme nous venons de le dire, d'une simple modification dans les notations de l'illustre Auteur, et cette modification revient à introduire, au lieu des mouvements considérés : i° le mouvement relatif du Corps B autour de C; i" celui de C autour de A; 3° celui de A autour de B.

Un habile géomètre allemand, M. Otto Hesse, a repris récemment l'analyse de Lagrange en se plaçant au point de vue que nous venons d'indiquer, et il a publié son travail dans le tome LXXIV du Journal de Crelle (imprimé à Berlin en 1872). M. Hesse ne considère que ce qu'il nomme le Problème restreint, c'est-à-dire, celui qui a pour objet de déterminer à chaque instant le triangle des treis Corps ; c'est à ce Problème restreint que Lagrange a ramené d'ailleurs, comme nous l'avons dit plus haut, le Problème général. M. Hesse, malgré son incontestable talent, n'a pas réussi à perfectionner l'analyse rigoureuse que nous devons à Lagrange, car une inadvertance l'a fait tomber dans une erreur grave, que nous indiquerons plus loin, et qui infirme absolument sa conclusion. Ajoutons que la notation particulière dont le géomètre allemand fait usage, pour abréger l'écriture des formules, ne paraît pas préférable à celle de son illustre devancier.

Pour justifier les remarques qui précèdent, il est nécessaire d'entrer dans quelques détails; nous le ferons d'une manière succincte, en introduisant dans l'analyse de Lagrange les modifications nécessaires pour rétablir la symétrie des formules, et en dégageant la solution de tout ce qui n'est qu'accessoire.

1. Soient x, y, z les coordonnées rectangles du Corps B par rapport à C; x\ y', z' celles du Corps C par rapport à A ; x", y", z" celles de A par rapport à B ; on aura

(1) x -h x' -+- x" = o, y-\-y'+y"—o, z-hz'-t-z"=o.

Soient aussi

) /■ = \fx'-i-y--hz' , r' = \/xn -t- y'2 -t- z" , r" = \/x"2-hy"2 -t- zn .

,es équations différentielles du mouvement forment trois groupes dont l'un est

1 (iti ri \^r3 7.i., ,.n j

J dt' r'3 V' ' ' ' /

de

et dont les deux antres se déduisent du précédent en changeant x en r et en z. A cause des formules ( 1 ) , les équations de chaque groupe peuvent être réduites à deux distinctes; ces équations coïncideraient avec les équations (A), (B), (C) de Lagrange, si l'on y faisait le simple changement de x.r, z, x",y", z" en — x", — y", — z", — x, —y, — z. Du groupe (3) et des deux groupes analogues on déduit

x d'1 y — yd2x x' d2 y' — y' d2 x x"d2y" — y"d2x" XdP WdT2 CdF2

équation qui subsiste quand on exécute la substitution circulaire [x,y, z) et qu'on répète cette substitution. On conclut de là les trois intégrales des aires, savoir

V riz — z

dr

y'dz'-z

'dy'

y»dz"- z' Cdl

'dy"

Adt

Bdt

zdx — x Adt

dz

z'dx'—a Ëdt

-'dz'

z" dx" — x Cdt

"dz"

xdy—y

dx

x'/ly' — y

'dx'

x"dy"—y

"dx"

Adt Bdt Cdt.

11, b, c étant trois constantes arbitraires. Ensuite, si l'on fait

dx"2 -+- dy"2 -+- dz"2 W2

et que l'on ajoute ensemble les équations du groupe (3) et des deux analogues, après avoir multiplié ces équations respectivement par

■idx idx' idx" idy o.dy' idy" idz idz' idz"

~~Â~' HT' ~c~' ~T~' "B~: ""c-' T' "b-' ~<r:

1 a d r\ ( tlr flr' (lr"

ce qui donne, par l'intégration, l'équation des forces vives, savoir

(7) g + Ç + Ç)-2(A.B + C)(^^ + ^, /étant une constante arbitraire.

"1. Posons

(8) x'x" -hj-'j" -t- z'z" = — p, x"x-\-y"y + z" z — — //, xx' -t- jrr'-t- zz' = — p" , ou, ce qui revient au même,

foi ' +''

on aura

faisons en outre

■pi

ce qui donnera

-p -hJJ, I '=p-hp

Si l'on différentie deux fois la première équation (2), après l'avoir élevée au carré, on aura

t> \ dt2 J dt*

2 dt* \ dt1 " df dt1 ,

et cette formule subsiste quand on y remplace x,y, z, /-, u par x', y', z', /•', «'ou par x", y", z", r", u". Si donc on multiplie les équations (3) par x, x', x" respectivement, et qu'on ajoute ensuite chacune des équations résultantes avec celles qu'on en déduit par le changement de x en r et en z, on aura, en vertu de la formule précédente,

2 dt* r

1 d2{rn) A + B + C

2 dt' r'

+ B {p"q"—p'q' ) - ttn = o, H-C( pq —p'(j') — u"2 = 0.

Ces formules (i3) répondent aux formules (F) de Lagrange, ou, ce qui revient au même, aux formules (K), en tenant compte des formules (J) de l'Auteur.

Ajoutons les quatre équations (i3 ) et ( 7 ). après avoir divisé les trois premières par A, B, C respectivement; on aura

4) La A dt2 "%B di2

2C dt- ! v '\Xr Br' O"

Cette équation coïncide, avec l'équation (L) de Lagrange, quand on y permute les lettres r et r"; c'est une transformée de l'intégrale des forces vives; elle ne renferme que les seules distances /■, r', r".