XVI
Scolie. — Les équations (i), (2), (3), que nous venons de trouver, répondent exactement aux équations (G), (H)', (K) données par M. d'Alembert, dans les Mémoires de l'Académie de l'année 1764. pages 4^4 et 425, pour la précession des équinoxes et la nutation de l'axe de la Terre, en vertu de l'action du Soleil et de la Lune.
Pour en faire la comparaison, on remarquera :
i° Que les angles P, s, n, dans les formules de M. d'Alembert, répondent dans les nôtres aux compléments des angles m, £, n;
20 Que les lignes /et a — h dans celles-là ont dans celles-ci pour valeurs /-cosP et rsinP, et que les angles X" sont la même chose que les compléments des angles Q';
3° Que les angles V, X', V, X répondent aux compléments des angles ^-180°, Q — 9, f — 1800, Q — 5';
4° Que les angles y' et y répondent ici aux angles y — (s+ 2700), y'— (s-f- 2700).
Enfin on mettra dans les formules citées T au lieu de L, et p, p' et — 1 au lieu de u', u et//.
Résolution de l'équation (1)
J'observerai d'abord qu'en regardant la Lune comme peu différente d'un globe, ainsi qu'elle l'est en effet, les quantités M, N sont incomparablement plus petites que les quantités H, K Article XI); d'où il suit que, dans l'expression de fi (Article IX), on peut négliger les termes qui
renferment M et N vis à vis de ceux qui renferment H; ce qui la réduit à
d(dto -4- cosTirfe)
dt2
J'observe ensuite qu'au lieu de l'angle u, qui représente le mouvement de rotation de la Lune, il est beaucoup plus commode d'employer l'angle 0 (Article XVI), lequel est toujours nécessairement très-petit, à cause que la Lune montre toujours à peu près la même face à la Terre. Or, pour trouver la valeur de w en 6, on aura recours aux formules de l'Article cité, et l'on remarquera :
i°Que
Asinw-f-Acosw^y/n-A2 cos^lcosôsinw-t-sinS cosw) = v/i + XJ cos^ sin(&H-0),
et que de même
A cosw — A sinw = y/i -i- X2 cosip cos(,w -t- 0);
2° Qu'en substituant pour A et pour A leurs valeurs [Article XIV, (M)],
A sinw -i- A cosw = sin(u — e) costc — Xsin7t,
et que, par les mêmes substitutions,
A cosw — A sinw = cos(u — e);
d'où il s'ensuit que l'on aura
sin ( w -+- 8 ) sin{u — e) costt — 1 sinn
cos(w + 0) — cos(u^e).
ou bien
tang(w -+-0) = tang(u — e) costt — 7isin7rséc(u — t)
= tang(> — e) — 2 sin2- tang(u — e) — Xsin7rséc(u — e),
parce que, comme l'on sait,
. 7T I — COSTT
sin2 - == ;
3° Que la quantité X, qui dénote la tangente de la latitude de la Lune (Article XIII), est toujours une quantité assez petite, puisque sa plus grande valeur est d'environ tang5°9';
4° Que l'angle n, qui représente l'inclinaison de l'équateur lunaire à . l'écliptique (Article V), est aussi très-petit; car, suivant les observations de M. Cassini, on & n =■ 2°3o', et, suivant celles de M. Mayer, on a seulement 7T = I°2C)'.
D'où il s'ensuit qu'on aura à très-peu près
tang(w -+- 0) = tang(u — s), et par conséquent
ou, si l'on veut faire le calcul plus exactement, en ne négligeant que les quantités de l'ordre sin''7r et de X2sin27r
2 sm
2 sin2- tang(u — s) , . . , ,,
i D A siri7Tsec(u — e)1
i-f-tang2(u — e) i -+- tang2(u — e)
= v — e — sin2- sin(2i; — 2s) — A sinn cos{u — e).
Mais nous nous contenterons ici de prendre simplement v — s pour la valeur de w -t- 9, ce qui nous donnera
u> = u — e — 0, cfos = du — de — dB et
du -+- costt de = du—(ï — cosît) de —-dQ = du — a sin2 -de — d6 = du — d6,
en négligeant, comme on vient de le faire, les termes de l'ordre de sin2 -■ Faisant donc cette substitution dans la valeur de Ù. ci-dessus, on
dl' Soit maintenant V le mouvement moyen d'e la Lune autour de la Terre,
on aura, en regardant l'orbite de cette Planète comme circulaire,
dT- T
dt2 — ,, ,,,f
(il faudrait mettrerâ la vérité T + L au lieu de T, mais la différence qui en résulte est trop petite pour qu'il soit nécessaire d'en tenir compte ici).
Donc
,, 4— dt- i + V~~ dt2
en négligeant le carré de la quantité très-petite X.
On trouvera de même, en nommant V le mouvement moyen de la Terre
autour du Soleil,
mais on remarquera que V'= -^p a très-peu près, et par conséquent 3JV'2 i 3d\2
dr- 180 dr-
3dV" d'où il s'ensuit que l'on peut négliger entièrement le terme , il" venant
de l'action du Soleil, vis-à-vis du terme — j— 12' qui vient de l'action de la Terre, de sorte que l'équation (i) deviendra simplement, après avoir fait les substitutions précédentes et divisé par -r, ,
(4) d»e + <ju iS^.o'=o.
Or, par l'Article XIV, on a
Q'^MAA + liNtA2 — A2), et, par l'Article XVI,
A = cosô costy y i -t- 1-, A = sin 6 cos^ y ■ ~+" ^2>
donc, puisque
sinôcosô = -jsin20, et sin20 — cos26 = — cos20,
on aura
Q'= jcos*|(n-X2) (Msin20 — Ncos20);
mais on a (Articles XVI et XIII)
sin<\i y/i -+- X2 = T = sin(u — e) sin7r -t-Xcosr, d'où l'on tire
cosvp y'1 + ^2 = s/' "+" ?-2sin27r — 2Xsin7TC0S7r sin(u — s) — sin27rsin2(u — e)=.i,
en négligeant, comme nous l'avons fait jusqu'ici, les termes où se trouvent les quantités très-petites X et sinrc formant des produits de deux ou de plusieurs dimensions.
De plus, si l'on suppose, ce qui est permis, que le premier méridien de la Lune soit celui qui passe par la Terre, lorsque le lieu vrai de cette Planète est égal à son lieu moyen, il est clair que l'angle 0, qui représente la distance du méridien qui passe par le centre apparent de la Lune à son premier méridien (XVI), sera toujours très-petit; car, suivant les observations de la libration, cet angle ne va guère au delà de 8 degrés; par conséquent on aura à très-peu près, et avec une exactitude suffisante pour notre objet, sin2© = 26 et cos2Ô = i. Donc enfin
