Q'= — JN-+-M

Il ne reste plus qu'à trouver la valeur de d2v; pour cela, on remarquera que y — i8o°est la longitude vraie de la Lune (Article XIII); par conséquent, si l'on appelle m le rapport du mouvement de l'anomalie moyenne de la Lune à son mouvement moyen, et qu'on n'ait égard qu'à sa première inégalité, on aura

■o — i8o° — long. moy. C — a sin/nV, VI. 6

tétant, suivant M. Clairaut, 6° 19', et m un nombre très-peu différent de l'unité; d'où l'on tire

d*v = m2asinm\ c?V2.

Faisant donc ces substitutions dans l'équation (4) ci-dessus, on la changera en celle-ci

• d>6 - ^- 6 d\'> + ^ dV> + m?a sin mV rfV' = o, H 2H

d'où l'on aura, par les méthodes connues,

(5) fl = C9in^V^^-J + nî[i-cos^Vy/TjJ---— ^s.ni«V.

C est l'une des deux constantes indéterminées introduites par la double intégration, l'autre ayant été supposée telle que l'angle Q soit nul lorsque V = o, c'est-à-dire lorsque le lieu vrai de la Lune est le même que son lieu moyen.

De là il est facile de voir que, si l'on veut tenir compte des autres inégalités du mouvement vrai de la Lune, et qu'on suppose pour cela

v — !8o° = long. moy. @ — a sin m V — b sinraV — csinpV — . . ., on trouvera pareillement

sin n V —

T n~TT

Conséquences qui résultent de la formule précédente par rapport à la libration de la Lune et à sa rotation.

Comme l'équateur lunaire n'est que très-peu incliné à l'écliptique, il est clair que l'angle Q représentera, sans erreur sensible, la libration de

la Lune en longitude; d'où l'on voit que cette libration différera un peu de celle qui a été supposée jusqu'à présent par les Astronomes. Pour en faire la comparaison avec plus de facilité, on mettra l'expression de 6 sous la forme suivante

6 = — «sinmv- b sinre V — ... n 5-jj sin/nv-

n , sffl

-KVf)^[— (Vf)]--

et l'on remarquera qu'elle comprend, pour ainsi dire, trois sortes de libra lions.

•La première est représentée par les termes

— asinmV — ôsinnV — ...,

qui expriment la différence entre le mouvement vrai et le mouvement moyen de la Lune; ainsi cette libration est purement optique, et c'est la seule qu'on ait observée jusqu'ici.

La seconde est contenue dans les termes

3M a . xr 3M b . „

et vient en partie de l'irrégularité du mouvement de la Lune et en partie de la non-sphéricité de cette Planète; mais elle sera presque insensible, en supposant, comme on l'a fait au commencement de l'Article précédent, M incomparablement plus petite que H, et cela doit en effet être ainsi; autrement il serait impossible que les Astronomes ne s'en fussent pas encore aperçus.

La troisième enfin est celle qui est représentée par les termes

"»(V¥)^[— (Vf)]-

et qui ne dépend aucunement du mouvement de la Lune autour de la

kk RECHERCHES

Terre, mais simplement de sa figure non sphérique. Elle sera la plus grande, lorsque

el alors sa valeur sera

le signe -t- a lieu lorsque la libration se fait dans le sens de la rotation de la Lune, c'est-à-dire d'occident en orient par rapport au centre de la Lune, et d'orient en occident par rapport à la Terre; et le signe — est pour la libration du côté opposé, d'où l'on voit que ces deux librations ne seront jamais égales, excepté si N = o, auquel cas elles seront entièrement analogues aux oscillations d'un pendule simple de la Ion-

gueur ~^p qui décrirait des arcs égaux à 2C.

Au reste, soit que N = o, ou non, la durée d'une libration entière composée d'une allée et d'un retour, sera toujours égale à la durée.d'une oscillation totale du même pendule, ou bien elle sera au temps pério-

dique de la Lune comme 1 : V/-^-

A l'égard de la rotation de la Lune, comme on a trouvé dans l'Article XIX

m + 9 = v — e, à très-peu près,

on aura, en substituant les valeurs de v et de 0,

w = long. moy. © -+- 180° — e -f- -g ^ sin mV+ ^ ^j S1L1 » v — . ..

m2-TT n»--g-

-Csin V<

f3M\ N f {Vl /3M\]

-rj-iML'-^rVTrJj-

D'où l'on voit :

i° Que la rotation moyenne de la Lune est égale à son mouvement moyen autour de la Terre, moins le mouvement moyen de ses points

équinoxiaux; condition nécessaire pour que cette Planète nous présente toujours à peu près la même face;

20 Que la vitesse de la rotation vraie de la Lune est variable; cette vitesse étant à celle du mouvement moyen autour de la Terre dans le rapport de d<a à dV , c'est-à-dire de

cosreV

de

ma

cosmV

nb

dV

ni2

Ainsi,

faisant V

, on a

de

ma

nb

pour la valeur de la vitesse primitive de rotation, qui aura dû être imprimée à la Lune au commencement de son mouvement. Donc, à cause de l'indéterminée C, il est clair que cette vitesse aura pu être quelconque, pourvu qu'elle différât très-peu de ï, c'est-à-dire de la vitesse du mouvement moyen, et que d'ailleurs la valeur de M ne soit pas nulle, ni négative.

Remarque. — Jusqu'ici les Astronomes avaient toujours supposé que la Lune tournait autour de son centre d'un mouvement parfaitement uniforme, et ils avaient été obligés, en conséquence, pour sauver le phénomène de la non-rotation apparente de cette Planète, d'imaginer qu'elle eût reçu d'abord une vitesse de rotation exactement égale à celle de son mouvement moyen autour de la Terre, ou plutôt de celui de ses points équinoxiaux; ce qui était néanmoins très-difficile à comprendre. Il me semble que la Théorie précédente fournit un dénouement tout simple de ce paradoxe, ou, pour mieux dire, ce paradoxe n'a point lieu dans la

Théorie que je viens de donner de la rotation de la Lune. Ainsi je puis, à oet égard, me flatter d'avoir pleinement satisfait à la première partie de la question proposée par l'Académie.

Scolie. — Si l'on suppose la Lune homogène, et que sa ligure soit celle d'un sphéroïde dont l'équateur et les méridiens seraient des ellipses, comme clans l'Article XII, on trouvera (Articles XI et XII), en faisant D = i,

H = fcF=^-, M=ï-=H= — ' N = o; i5 i5

d'où l'on aura — = eW= à l'ellipticité de l'équateur, c'est-à-dire à la

quantité dont le demi-axe de l'équateur, qui est à peu près dans la même ligne que le centre de la Terre, surpasse l'autre demi-axe, cette quantité étant supposée divisée par le rayon de la Lune; donc, suivant l'Article XX, la Lune fera réellement autour de son axe, en vertu de l'action de la Terre, des oscillations exprimées par la formule

Csin(yv/3êF).

Si l'on veut que l'allongement de la Lune vers la Terre ait été produit par l'action même de la Terre sur cette Planète supposée fluide, alors on aura (Article XII )

Pour évaluer cette expression, nous ferons, avec M. Clairaut,

et.ayec M. de Lalande

(/' est le rayon de la Terre); ensuite nous prendrons

ce qui donnera

p 11x60 de là je trouve