D'après les formules (1), les trois quantités
[x' dx"-h y'dy"-i- z'dz") — [x"dx' -+- y"dy'-\- z"dz'), (x"dx-\-y"dy -+- z'dz ) — ( x dx" -hjr dy" ■+- z dz"), (x dx' -+-y dy' -t- z dz') — (x'dx -hy'dy -t-z'dz)
sont égales entre elles. Si l'on désigne par odt leur valeur, on aura, par le. moyen des formules (8),
/ x' dx"-\- y'dy"-t- z' dz"= \[ — dp -h pdt), x"dx'-hy"dy'-+- z"dz'= -j(— dp — pdt).
lia) ' x" dx -hy"dy-h z" dz = {( — dp' -t- pdt), x dx" + y dy" -+-z dz"= j( — dp'— pdt),
I -r dx' -h y dy'-\- zdz' = \{ — dp" -h pdt), x' dx ■+- y' dy ■+- z' dz = -j( — dp"— pdt).
La quantité auxiliaire p que nous introduisons n'est autre chose que celle qui est désignée
par — -f dans le Mémoire de Lagrange ; il est évident que cette quantité peut être exprimée
en fonction des vitesses u, u', u", des distances r, r', r" et de leurs différentielles dr, dr', dr". En effet, considérons quatre directions respectivement parallèles à celles des rayons /', r' et des vitesses 11, a'; soient L, M, N les cosinus des angles formés par la direction de r1 avec les directions de u, u', r; L,, M,, N, les cosinus des angles formés par les directions de «' et r, de u et /•, de u et u'. On aura entre ces six cosinus la relation connue
1 j-(L2-HM2-HN2-hL2 + M2-hN2)-t-(L2L2-t-MJM2-t-NJN2)
j -t- 2 ( L, MN -+- M, NL -h N, LM -+- L, M, N, ) - a( LL, MM, -t- MM, NN, -+- NN, LL, ) = o.
On a d'ailleurs, par les formules précédentes,
rr
lâ -+- u" — u"''
p dt -t- dp" nr'udt
». dr'
M = -rj-,
udt
p dt — dp" ■zru'dt
.. dr
M,= — ri udt
Faisons,
pour
abréger,
avec Lagran
ge,
- Il2 II"
d'où
et
/v .s /" ,*" ,*'\ ,(<¥'Y «fJp'Y t2°) 2 = '' e-\PdF-P *)'+?{*)+?{&)■+?{*-)'
I s„ „i 2 ( dp' ,dp\ (dp'y ,(dPy „/d(r"2)\2
l'équation (16) deviendra, après la substitution des 'valeurs (17),
/ dp dp' '-h dp' dp" -h dp" dp\' , , „ . , , „ .
1) I p -+- -j£— - ^— tt £ — — ) — 4( 2t,-f- 2 Vh- 2'c") -hi6(pp-i-p p -\-p p) (ce -+- eV-f- ce) = o;
c'est précisément l'équation (N) de Lagrange. Si l'on suppose que u2, u'2, u"2 y soient remplacées par leurs valeurs tirées des équations (12), la quantité auxiliaire 0 ne dépendra que des distances r, r', r" et de leurs différentielles du premier et du deuxième ordre.
i. Puisque l'on a
(xdx' — x'dx) -+- (ytfy' — y'dy) ■+- (zdz' — z'dz) = pdt,
il s'ensuit, par la différentiation.
[xd2x' — x'd2x) ■+- [yd2y' — y'd2y) ■+- (zd2z' — z'd2z) = dpdt,
et, si l'on élimine les différentielles secondes des coordonnées au moyen des équations (3) et de celles qui s'en déduisent par le changement de x en y et en z, on aura
( 22 ) ■£ -+- kpq h- B/A/' H- Cp"q" = o;
cette équation n'est autre que l'équation ( H ) de Lagrange, en tenant compte du changement de notation.
S. Revenons maintenant aux équations (4).: on a identiquement
{ydz — zdy) (y'dz' — zdy') -t- (zdx — xdz)(z'dx' — x'dz')-t- (xdy — y dx) (x'dy1 — y'dx') = (xx'-\-yy'-\-zz') (dxdx'-hdydy'-hdzdz1) — (xdx'-hydy'-t- zdz') [x' dx -+- y' dy ■+■ z'dz),
et cette formule subsiste quand on écrit x', y', z' ou x", y'\ z" au lieu de x,y, z, ou bien x", y", z" ou x, y, z au lieu de x', y': z'. D'après cela, si l'on fait
et que Ton ajoute les équations (4), après les avoir élevées au carré, on aura, en faisant usage de la précédente formule, ainsi que des formules (2), (5), (i5) et (18),
'p'YI , a r .. , ■ MA H .» a+b+c
2 ABC f
ce qui est l'équation (P) de Lagrange.
Si maintenant on suppose que «2, «'2, a"2 soient remplacés partout par les valeurs tirées des formules (i3), et que, par le moyen de l'équation (21), p soit éliminé des équations (22) et (23), celles-ci ne contiendront plus que les distances r, /•', r"; la première sera du troisième ordre et l'autre du deuxième; en les joignant à l'équation (14), on obtiendra le système différentiel indiqué par Lagrange. Ce qui précède résume la partie essentielle du Mémoire de l'Auteur.
6. Différentions les équations (5) et remplaçons ensuite les différentielles secondes par les valeurs tirées des équations (3) et des analogues : on aura, en faisant usage des formules précédentes,
dt
lp-2(A.B + C)^ + B(,»f-^)+B7'P = o, Ç-S(A+B + 4 + c(?|-?f)+Cî.ro.
Ces formules coïncident avec les équations (I) de Lagrange, quand on tient compte des équations (J) de l'Auteur. M. Hesse leur substitue les trois combinaisons obtenues quand on les
ajoute entre elles, après les avoir multipliées respectivement par -1 ^> ^, puis par j—3,
ITTS' p~~m' Pu's ennn Par P> p' 1 P"- La première combinaison n'est autre chose que l'équation (6); la deuxième combinaison donne, en se servant des formules (12),
' / ,/ . A-t-B-hC\ ,/' ,, A+B-t-C\ ,/ ... A+B+O
Ar-
, dp ,, dp' ... dp"^
enfin la dernière combinaison, qui seule contient p, est, en faisant usage de l'équation (22),
pj=jp — dt +p dt +p dT-
. - / ,</// „r///\ „ ,/ „6fo" dp\ „( dp ,dp'\
Supposons que l'on différence l'équation (23), ce qui fera disparaître l'arbitraire k, et que
de l'équation résultante on tire la valeur de p ^ pour la substituer dans l'équation (26). Alors,
comme u2, u'2, u"2 représentent les valeurs fournies par les équations (i3), les équations (6), (25) et (26), qui sont toutes du troisième ordre et ne renferment aucune arbitraire, constitueront, d'après M. Hesse, le système différentiel duquel dépendent les distances r, ;■', r", quand on ne fait pas intervenir les principes des forces vives et des aires. Enfin, si des mêmes équations (6), (25) et (26) on tire les valeurs de d(u2), d{u'2), d{u"2), pour les porter dans l'une des équations (24), celle-ci donnera, d'après le même géomètre, une valeur de p qui sera seulement du deuxième ordre; en portant cette valeur dans l'équation (23) et enjoignant ensuite cette équation aux équations (14) et (26), on obtiendra un système composé de deux équations du deuxième ordre et d'une du troisième ordre, dans lequel figureront les deux constantes arbitraires /et k.
Telle est la solution que M. Hesse propose dans son Mémoire. Celte solution paraît, à première vue, beaucoup plus simple que celle de Lagrange, mais il n'est pas difficile de reconnaître l'inexactitude de la conclusion de M. Hesse. Effectivement l'équation (26), après qu'on en a éliminé
'-£ par l'équation (23) différentiée, n'est pas autre chose que l'équation (6) multipliée par le
facteur ^- -t- ^=- -+- ^r ; les trois équations du troisième ordre qui composent le premier sys- A B L
tème de M. Hesse ne sont donc pas distinctes. Le deuxième système du même géomètre ne
saurait, en conséquence, avoir d'existence réelle, puisque les équations du premier système
sont impropres à fournir les valeurs des différentielles du troisième ordre, ou, ce qui revient
au même, les valeurs des différentielles d(u2), d{u'-), d(u"2). On ne saurait se dispenser,
dans la recherche dont nous nous occupons, de tenir compte de l'équation (21), comme Lagrange
a eu soin de le faire.
(Note de l'Éditeur.)
