L'ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE
Nec cum fiduciâ inveniendi, nec sine spe. Senec, Nat., qusest. vu, 29.
[Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris, Savants étrangers t. Vil; 1773. (Prix pour l'année 1774.)]
La question proposée par l'Académie Royale des Sciences pour le sujet du Prix de l'année 1774 est double et renferme, à proprement parler, deux questions différentes.
Dans la première, on demande par quel moyen on peut s'assurer qu'il ne résultera aucune erreur sensible des quantités qu'on aura négligées dans le calcul des mouvements de la Lune.
Et, dans la seconde, on demande si, en ayant égard non-seulement à l'action du Soleil et de la Terre sur la Lune, mais encore, s'il est néces-
(* ) Ce premier essai de Lagrange sur l'Équation séculaire de la Lune, qui a obtenu le Prix de l'Académie Royale des Sciences, pour 1774,. est antérieur de dix-huit années au Mémoire sur le môme sujet que l'Auteur présenta à l'Académie de Berlin ( OEuvres de Lagrange, t. V, p. 687 ).
C'est en 1787 que Laplace fit connaître sa mémorable découverte de la cause qui produit l'équation séculaire de la Lune ; mais, dès 1783, Lagrange avait reconnu que les moyens mouvements des planètes pouvaient être sujets à des variations séculaires dépendant des excentricités et des inclinaisons; il avait même fait l'application à Jupiter et à Saturne, ce qui ne lui avait fourni que des variations presque insensibles [OEuvres de Lagrange, t. V, p. 38i). Les formules qui se rapportent aux planètes sont applicables au cas de la Lune ; mais ce ne fut que plus tard, en 1792, que Lagrange s'occupa de cette importante application.
[ N'oie de V Éditeur.)
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saire, à l'action des autres planètes sur ce satellite, et même à la figure non sphérique de la Lune et de la Terre, on peut expliquer, par la seule Théorie de la gravitation, pourquoi la Lune paraît avoir une équation séculaire, sans que la Terre en ait une sensible.
Le Mémoire suivant est destiné uniquement à répondre à la seconde de ces deux questions. On y verra : i° que l'équation séculaire de la Lune ne saurait être expliquée par la seule Théorie de la gravitation, du moins en prenant cette équation telle que les astronomes l'ont adoptée d'après feu M. Mayer ; 20 que les preuves que l'on a de l'existence de cette même équation ne sont pas, à beaucoup près, aussi solides et aussi convaincantes qu'on pourrait le désirer. Je serai suffisamment récompensé de mon travail si l'illustre Compagnie, à qui j'ai l'honneur de le présenter, daigne l'honorer de quelque attention, et surtout s'il peut exciter d'autres plus habiles que moi à le pousser plus loin, et à décider irrévocablement l'importante question de l'équation séculaire de la Lune.
Quanta la première question, j'avoue que, après y avoir médité longtemps et avec toute l'attention dont je suis capable, je n'ai rien trouvé qui pût me satisfaire, ou qu'on pût du moins ajouter à ce que M. d'Alembert a déjà dit sur ce sujet dans les derniers volumes de ses Opuscules. J'ai donc cru pouvoir me dispenser de traiter cette question, et je me flatte que l'Académie voudra bien ne pas m'en savoir mauvais gré; en récompense, j'ai tâché de m'étendre d'autant plus sur l'autre question, et d'entrer dans des détails astronomiques que cette illustre Compagnie n'a pas demandés, mais que j'ai crus indispensables dans la matière dont il s'agit.
1. Quoique la Théorie de la gravitation universelle ait jusqu'ici parfaitement rendu raison des inégalités périodiques qu'on observe dans les mouvements des Corps célestes et surtout de la J^une, elle n'a cependant pas encore fourni d'explication de l'équation séculaire de cette planète. M. Halley est le premier qui ail soupçonné une accélération dans le moyen mouvement de la Lune, comme on le voit par ce passage de la seconde édition des Principes mathématiques : El collatis quidem obser-
valionibus eclipsium babylonicis cum Us Albategnu et cum hodierms, Halleyus noster motum médium Lunœ cum molu diurno Terrœ collatum paulatim accelerari, primus omnium, quod sciam, deprehendit, page 481 . Mais, soit que ce grand Astronome n'ait pas cru pouvoir entièrement compter sur l'exactitude des observations qui lui avaient donné l'accélération de la Lune, soit qu'il ait regardé cette accélération comme trop peu sensible pour qu'on dût en tenir compte dans le calcul du lieu de cette planète, il est certain qu'il n'y a eu aucun égard dans les Tables qu'il en a publiées depuis. Cependant la remarque de M. Halley n'est pas demeurée infructueuse : deux savants Astronomes, MM. Dunthorne etMayer, ayant entrepris d'examiner de nouveau ce point important de la Théorie de la Lune, ont non-seulement reconnu l'existence de l'équation séculaire de cette planète, ils en ont de plus déterminé la quantité : le premier l'a fixée à 10 secondes pour le premier siècle, et le second à 7 secondes dans ses premières Tables, et ensuite à 9 secondes dans les dernières; et comme les Tables de la Lune de M. Mayer ont été généralement adoptées par les Astronomes, l'accélération du mouvement de la Lune est maintenant regardée comme un fait dont il semble qu'il ne soit presque pas permis de douter.
M. de la Lande a néanmoins remarqué, dans son Astronomie, qu'il restait encore quelque incertitude sur les observations qui ont servi à déterminer ce nouvel élément de la Théorie de la Lune, et qui se réduisent à deux éclipses de Soleil observées en 977 et 978 près du Caire, par Ibn Jonis, Astronome du calife d'Egypte Aziz; comme ces observations sont les seules que nous ayons pour servir de terme de comparaison entre les anciennes observations des Babyloniens et celles de ces derniers temps, il faut avouer que, si l'on était obligé de les rejeter, on perdrait les principales et même les uniques preuves décisives que l'on ait de l'accélération du moyen mouvement de la Lune; car je ne puis croire, avec M. Mayer, que cette question puisse se décider par la simple comparaison des observations du siècle passé avec celles de ce siècle, les variations qui peuvent se trouver clans le mouvement moyen de la Lune, dans le court espace d'un siècle, étant nécessairement trop petites pour
pouvoir être attribuées à d'autres causes qu'aux erreurs des observations et à l'incertitude qui a encore lieu dans quelques-unes des équations de la Lune.
Quoi qu'il en soit, en attendant que le temps et les recherches des astronomes nous apportent de nouvelles lumières, la Théorie est, ce me semble, le seul moyen que nous ayons pour décider un point d'Astronomie si important. Il s'agit donc d'examiner, le plus soigneusement qu'il est possible, si la gravitation universelle peut produire, dans le mouvement moyen de la Lune, une altération sensible et conforme aux observations; c'est la question que je me propose de traiter dans ces Recherches.
2. Pour que le moyen mouvement de la Lune soit assujetti à une altération croissante comme le carré du temps, ainsi qu'on le suppose dans les Tables, il faut que la formule générale du lieu vrai de cette planète renferme, outre le terme Z qui représente le mouvement moyen, encore un terme de la forme z'Z2, z' étant un coefficient positif et très-petit; ce dernier terme représentera donc l'équation séculaire, qui sera toujours additive au mouvement moyen avant et après l'époque qu'on aura fixée pour le commencement de cette équation, et qui, dans les Tables de Mayer, tombe au commencement de ce siècle. Donc, nommant ts le rapport de la circonférence au rayon, on aura ivs x 36o° pour la valeur de l'équation dont il s'agit au bout d'une révolution de la Lune; et, nommant ensuite v le rapport du mouvement moyen de la Lune à celui du Soleil, on aura isv! x 36o° pour la quantité de la même équation au bout de la première année après l'époque; enfin, multipliant cette quantité par ioooo, on aura la quantité de l'équation pour le premier siècle, laquelle étant, suivant M. Mayer, de 9 secondes, on aura cette équation
10000/rov2 X 36o° = 9", c'est-à-dire, en réduisant aussi les degrés en secondes,
ioooo.36o. 36oo z' ro y! = 9 ;
d'où l'on tire
i oooo . 36o . 36oo mv2 '
or on a à très-peu près zs = 6 et v2 = 178; donc on aura environ
3. Telle doit donc être la valeur du coefficient i de l'équation séculaire, dans l'hypothèse que cette équation soit réelle et croisse constamment comme le carré du temps; mais, comme il peut se faire aussi qu'elle ne soit qu'apparente, et que ce ne soit dans le fond qu'une équation périodique, mais dont la période soit très-longue, il est hon de voir en particulier quelle devrait être sa valeur dans ce cas; car, quoique l'effet de l'équation séculaire puisse être sensiblement le même dans l'un et dans l'autre cas, pendant un intervalle de temps peu considérable, il deviendra cependant fort différent au bout d'un grand espace de temps; de sorte que, si cette équation, au lieu d'être réelle, n'est qu'apparente, elle devra nécessairement avoir une tout autre valeur que celle que nous venons de trouver, pour pouvoir répondre à la fois aux observations babyloniennes et arabes qui ont servi de données dans la détermination de cet élément. Mais pour cela il est nécessaire de commencer par examiner, en peu de mots, comment on peut accorder ces observations par l'introduction d'une équation séculaire réelle; ensuite nous verrons ce qui doit en résulter dans l'hypothèse que l'équation séculaire ne soit qu'apparente.
4. Comme les observations les plus distantes entre elles sont celles qui peuvent fournir les déterminations les plus exactes des mouvements moyens des planètes, on a employé dans la détermination de celui de la Lune la plus ancienne éclipse dont la mémoire nous ait été conservée, et qui est celle que Ptolémée rapporte avoir été observée à Babylone le 19 mars 720 avant J.-C. (Almageste, Livre IV, Chapitre VI). M. Cassini ayant comparé cette observation avec celle d'une éclipse de l'année 1717,
où la Lune s'est trouvée à peu près dans les mêmes circonstances, a trouvé le mouvement séculaire de la Lune de ios7°49'52"; or, si le mouvement moyen de la Lune était tout à fait uniforme, il est clair qu'on devrait toujours trouver le même résultat en comparant ensemble d'autres observations; mais on a reconnu dans ces derniers temps que les observations arabes, dont on a parlé ci-dessus, comparées avec les observations de ce siècle, donnent environ 2' 36"-±- de plus pour le mouvement séculaire de la Lune. M. de la Lande, dans les Mémoires de l'Académie, année 1757, trouve qu'en employant le mouvement moyen qui résulte des observations arabes, la longitude de la Lune dans l'éclipsé de 720 avant J.-C. est moindre de i°27' que l'observation ne l'a donnée; or, comme M. de la Lande suppose le milieu de cette éclipse 47 minutes plus tôt que M. Cassini, il s'ensuit qu'il faut ôter de i°27' le mouvement relatif de la Lune au Soleil pendant 47 minutes, lequel est de 23' 52"; ainsi l'on aura i°3'8", qui, étant partagés en 24-5-, nombre des siècles écoulés entre l'observation dont il s'agit et 1700, donne 2' 36"^, dont le mouvement moyen séculaire est plus grand, parce que, comme en remontant on avance contre l'ordre des signes, une longitude moindre indique un plus grand espace parcouru. C'est ce qui a engagé les Astronomes à appliquer au mouvement moyen une équation séculaire propre à sauver cette différence.
5. En effet, soit x le mouvement séculaire moyen dont la marche est uniforme, et y l'équation séculaire, que nous supposerons d'abord proportionnelle au carré du temps; et, prenant le commencement de ce siècle pour époque, on aura, après m siècles, le mouvement moyen — mx ■+- m2y; par conséquent, en faisant m négatif, on aura, pour m siècles comptés en arrière, le mouvement moyen = — mx-hmîy. Soit maintenant a le mouvement séculaire moyen trouvé par M. Cassini d'après l'éclipsé de 720 avant J.-C. et a -+- 13 le mouvement séculaire moyen trouvé d'après les observations arabes de 977 et 978; et comme, entre les années 720 avant J.-C. et 1700, il s'est écoulé 24 £ siècles, et que, entre les années 978 et 1700, il s'est écoulé environ 7^ siècles, on
aura — (a'4i) a et — (7 s) (a,^) Pour 'es mouvements moyens qui se rapportent aux années 720 avant J.-C. et 978 : donc, si l'on veut que la formule — mx -+- m2y satisfasse à la fois aux observations de ces années, il n'y aura qu'à supposer successivement m = 24 1, = 7 1» et former ensuite les équations
— (a4!) * -+- (HïYr = — (24l) *,
c'est-à-dire,
d'où l'on tire
3 s r=jr' ^ = « + (24t)j = * + (24!)^
Or on a trouvé a = ios7°49'52" et |3 = 2'36"{; donc on aura
y = ol', 2, et de là .# = ios7°53'34",64;
ce qui s'accorde à très-peu près avec les éléments que M. Mayer a employés dans ses dernières Tables, où il fait le mouvement séculaire moyen de ios7°53'35", et l'équation séculaire de 9 secondes pour le premier siècle, à compter depuis 1700.
6. Supposons maintenant que l'équation séculaire ne soit pas constamment proportionnelle au carré du temps, mais qu'elle dépende du sinus d'un angle qui varie peu, en sorte qu'elle ne suive la loi du carré que pendant un certain espace de temps; soit A + p.Z cet angle, Z étant, comme ci-dessus, le mouvement moyen de la Lune, et \j. étant un coefficient très-petit, de manière que l'angle jxZ demeure encore très-petit vis-à-vis de l'angle fini; et comptant A au bout d'un grand nombre de révolutions de la Lune, on aura pendant cet intervalle de temps
w2Z2 sin(A -+- fiZ) = sinA -4- p.Z cosA — — — sin A
à très-peu près; d'où l'on tire
2ZcosA 2[sinA — sin(A -h pZ)]
• ^sinA [T.'sinA
de sorte que l'équation séculaire apparente iTr sera véritablement représentée par la formule
i r„ , sinA — sin(A h- uZ)~]
r—r Z COSA H i !— -'■ ,
inA L F- J
y. sini et par conséquent s'éloignera à la longue de la loi du carré du temps.
7. Voyons donc quelle doit être, dans cette hypothèse, la valeur du coefficient i, pour satisfaire aux mêmes données du n° 4. Soit 0 la quantité de l'angle (xZ au bout d'un siècle, on aura au bout de m siècles \}.=-mQ\ donc
ainsi l'équation séculaire sera, pour m siècles,
-——. — - \mQ cosA -+- sinA — sin( A -+- m 0)1; fji2sinAL J
lorsque m = i, cette quantité devient (à cause de 6 très-petit) — j-j qui
sera donc la quantité de l'équation séculaire pour le premier siècle. Nommons donc, comme ci-dessus, y cette valeur de l'équation séculaire et x le mouvement séculaire moyen; on aura, après m siècles, le mouvement moyen égal à
mx -+- n, ■ . \mQ cosA -+- sinA — sinfA -+- m 0)1. 0'sinA1- J
Faisant donc successivement m = — a/j-g- et = — y-, pour avoir les mouvements moyens qui répondent aux années 720 avant J.-C. et 978, on formera ces deux équations
— (24i)ar+ gr|j^ [- (4 i) S cos Ah- sin A— sin[A- (24 j) 0]J = -(24l) a, (77)^ + gr^Â[-(7i)ÔcosAH-sinA-sin[A-( 7|) 0]J =-(7i)(«+|3);
c'est-à-dire, en changeant les signes,
-r 2-rf cotA i ' (i sin[A-(24{)6]\l
2rT * ' / sinTA — (7{)91\1
d'où l'on tirera aisément x et j quand on connaîtra A et 0; ensuite on aura, comme dans le n° 2,
i oooo i m v2 X 36o° = y, d'où l'on tirera
ioooonjv'X 36o°
8. Supposons, par exemple, que l'angle A-f-jxZ soit égal au double de la longitude de l'apogée du Soleil (on verra plus bas, aux nus 30 et suivants, pourquoi nous choisissons cette hypothèse); on aura donc, en prenant toujours le commencement de ce siècle pour époque, A égal au double de la longitude de l'apogée du Soleil en 1700, et Q au double du mouvement séculaire de cet apogée; ainsi l'on aura, par les nouvelles Tables de Mayer,
A = 6si5°25' 12", et ô = 3°4o'= (en parties du rayon) 0,063994. Substituant ces valeurs dans les équations précédentes, on aura
af f „ -, 1 / sin730io'\"]
x — -ïrn — coti5°25'-f- 1 -1- . ' -, = <x,
3° 40 | ob° 44 \ sini5°25'/J
2 y f r r, l I sinio°5Q/\"l
X— ^-y-;\ — COtl5°25'-t- — : r— yy I -t- £-^7 = X + S,
3° 4» L 2b°24 \ sini5"25/J r
c'est-à-dire,
§-/3|ft&6+.£17^?\==a + p;
ou bien, en réduisant,
d'où
