IV. - * i ' d(f
dy> x !,i-h<ifjix3d<ç>
Donc, si la force W est composée d'une force — et d'une force perturbatrice (1>, on aura, en faisant — = u,
-5-r -+- U — j- — il = O,
dv2 l(2
q>x^TLxdx,MÇ k2 + 2 J II x3 dy
Et, si les forces perturbatrices II et$ sont très-petites par rapport à la
force principale — > on aura à très-peu près
d'u i / $ 2M fada Udu
acp2 /f2 \ m2 k- J u1 u3dcp
vu. *=.£(, f"*!
Ces formules sont assez connues, mais nous avons cru devoir les rappeler ici pour épargner à nos lecteurs la peine de les aller chercher ailleurs.
11. Pour appliquer maintenant ces formules au mouvement de la Lune, nous supposerons d'abord que cette planète se meuve dans l'écliptique, c'est-à-dire, que nous ferons abstraction de l'inclinaison de son orbite, qu'on sait toujours être fort petite; il sera ensuite aisé d'y avoir égard si on le juge à propos. Dans cette supposition donc, si l'on nomme g le rayon vecteur de l'orbite du Soleil, S sa masse et yj la distance ou l'élongation de la Lune au Soleil, on trouve que l'action du Soleil sur la Lune produit deux forces perturbatrices, l'une dans la direction du rayon vecteur x de l'orbite de la Lune autour de la Terre, laquelle est
l'autre perpendiculaire au même rayon vecteur, et qui est
5 étant la distance rectiligne entre la Lune et le Soleil, en sorte que
ô = \Ja2 — 2 <xx cosvi -+- x2 .
Or, comme a est environ quatre cents fois plus grand que x, on aura, avec une approximation suffisante,
1 i 3.rcos7i (3 — i5cos2-/)).r2
è3 c3 aA 2(j5
donc, substituant cette valeur, et faisant attention que
i+ cosavj „ Scost] -i- cos3n
COS2'/) = 1 COS37) = ; î
sinav] . sin/j + sin3-/i
cosn sinvi = 1 cos2-/) sinn = 7 5
on aura, par l'action du Soleil sur la Lune : Force perturbatrice dans la direction du rayon,
(1 -+- 3cos2-/))x — ■,— - * h 1 5 cos 3-/) ^2;
Force perturbatrice perpendiculaire au rayon,
3g g sin 2 y? X •» — s— r ( 3 sin vj + 1 5 sin 3 77 ) x-.
12. A ces forces provenant de l'attraction du Soleil, il faut maintenant ajouter celles qui viennent de l'attraction de la Terre; et comme on veut avoir égard à la non-sphéricité de sa figure, il est nécessaire de considérer en particulier l'attraction de chaque particule de la Terre sur la Lune et d'en chercher les forces résultantes.
Pour faciliter cette recherche, nous commencerons par établir cette proposition préliminaire, qui est assez facile à démontrer et qui peut être aussi utile dans d'autres occasions :
Si un point A attire un autre point B avec une force quelconque F, et qu'on propose de décomposer cette force suivant trois directions données perpendiculaires entre elles; soit A la distance entre les deux Corps, et soit dA l'accroissement de cette distance en supposant que le Corps attiré B parcoure, suivant l'une des directions dont il s'agit, l'espace infiniment petit
du, on aura — F -5— pour la partie de la force F qui agit suivant cette
même direction.
De là il s'ensuit que, si l'on détermine la position du point B, par rapport au point A, par trois variables a, |3, y, dont les différentielles doc,
d$, dy soient dans les directions suivant lesquelles il s'agit de décomposer la force F, en sorte que la distance A soit une fonction de a, [i,
7,..., et qu'on dénote, comme à l'ordinaire, par -^-? -~-5 -p- les coelfi-
r doc dp dy
cients de da, dfi, dy dans la différentielle de A, on aura
F—, -F — , -F — da dp* dy
pour les trois forces résultantes de la force F.
Si F est proportionnelle à -rp ce qui est le cas de l'attraction céleste,
on aura
„ ,. dA ,i
Ff/A = — = — d T:
AJ A'
par conséquent, les trois forces dont il s'agit pourront se représenter par les coefficients de da, dfi, dy dans la différentielle de ^-, en sorte qu'il
suffira de trouver la valeur de -r et de la différentiel' par les méthodes ordinaires.
Si le point B est attiré en même temps vers différents points A, A', A",..., dont les distances àB soient A, A', A",..., et dont les attractions
soient
il est visible qu'il n'y aura qu'à chercher la valeur de la quantité
et la différentier suivant a, |3, y; les coefficients de da, dp, dy dans cette différentielle donneront immédiatement les forces cherchées. Donc, en général, si le point B est attiré par un Corps de figure quelconque et dont la masse soit M, en considérant chaque élément dM de ce Corps comme un point attirant, il faudra prendre d'ahord la somme de tous
les -j-, en faisant varier uniquement les quantités qui se rapportent aux
éléments dM, et regardant les oc, j3, y comme constantes; dénotant cette somme par I, on y fera varier ensuite les quantités a, j3, y relatives à la position du point B, et l'on aura
dS dl dl doc dfi dy
pour les trois forces suivant dy., dfi, dy auxquelles se réduira l'effet de l'attraction totale du Corps M sur le point B.
13. Cela posé, pour pouvoir appliquer avec facilité cette méthode à la recherche des forces qui résultent de l'attraction de toutes les parties de la Terre sur la Lune, nous considérerons le centre de la Terre, ainsi que le plan de son équateur, comme fixes; et nous y rapporterons, tant la position de chaque particule dM de la Terre que celle du centre de la Lune, en ayant attention d'employer, pour déterminer la position de ce centre des lignes variables, dont les différentielles aient les mêmes directions qu'on veut donner aux forces résultantes de l'attraction totale de la Terre sur la Lune.
Nous supposerons de plus que l'axe de la Terre soit un de ses trois axes naturels de rotation, et que, par conséquent, les deux autres se trouvent dans le plan de l'équateur; car, quelle que soit la figure de la Terre et la disposition intérieure de ses parties, la rotation constante et uniforme qu'elle a autour de son axe suffit pour nous convaincre que cet axe est nécessairement un de ses axes naturels de rotation; de sorte que, comme les deux autres doivent être perpendiculaires à celui-là, ils ne peuvent être placés que dans le plan de l'équateur.
Donc, si l'on nomme / la distance d'une particule quelconque dM de la Terre au plan de l'équateur, et m, n les distances de cette même particule aux plans des méridiens qui passent par le deuxième et par le troisième axe naturel de rotation de la Terre, on aura d'abord, par les propriétés du centre de gravité,
ldM = o, jmdM—o, jndM = o,
et, par les propriétés des axes naturels de rotation, on aura en même temps
/ lin dM — o, j In dM = o, I mn dM = o.
14. Dans le cas où les deux hémisphères de la Terre sont supposés semblables et de densité uniforme, il est facile de voir qu'on aura de plus, en général,
' l*VdM = o,
p étant un nombre impair quelconque, et P une fonction quelconque de m et de n; et, si la Terre est un sphéroïde de révolution, on aura
ntQdM—o, m?RdM = o,
Q étant une fonction quelconque de / et n, et R une fonction quelconque de / et m; mais ces quantités ne seront plus nulles dès qu'on voudra abandonner ces hypothèses et regarder la Terre comme ayant une figure quelconque.
15. Soient maintenant w l'obliquité de l'écliptique, s la longitude de la Lune comptée depuis l'équinoxe du printemps, et y sa latitude; nommant q son ascension droite et p sa déclinaison, on aura par la Trigonométrie ces deux équations
COS/7 cos<7 = cosj cosz, s\np = cosw sinj -+- sin to cosj sinz,
d'où il est facile de tirer
cosp sin</ = — sinw sinj -t- cosw cosy sinz.
De plus, il est aisé de voir que, si l'on nomme p le rayon de l'orbite lunaire, et que X soit la distance de la Lune au plan de l'équaleur, p. sa distance au plan passant par le colure des équinoxes, et v celle au plan
qui passe par le colure des solstices, il est aisé de voir, dis-je, que l'on
aura
À = psin/?, fj. = p cosp sinq, v = p cosp cosg,
et par conséquent
X =p(cos« sinj+ sinw cosj sinz), fji = — p(siii'j sinj— cosw cosj sin^),
V =p COSJ'COSZ.
Ainsi l'on connaîtra les coordonnées rectangles X, p., v de la Lune, rapportées au plan de l'équateur.
16. Or il est clair que l'ordonnée X est toujours parallèle à l'ordonnée l, mais les autres ordonnées p. et v ne peuvent être parallèles aux ordonnées met n, que dans le cas où le deuxième axe de rotation de la Terre passerait par les équinoxes; ainsi il faudra encore changer les coordonnées p. et v en deux autres qui soient toujours parallèles aux coordonnées met n, ou bien on changera ces dernières en deux autres parallèles à celles-là; ce qui est d'ailleurs plus convenable, à cause que la ligne des équinoxes est à peu près fixe, au lieu que le deuxième et le troisième axe naturel de rotation de la Terre changent continuellement de position, à cause de sa révolution diurne autour du premier axe.
Soit donc <J/ l'angle que le deuxième axe de rotation de la Terre fait avec la ligne des équinoxes, c'est-à-dire, la distance du premier méridien à l'équinoxe, en nommant, ce qui est permis, premier méridien celui qui passe par ce même axe, et qui est, par conséquent, fixe sur la surface de la Terre; on verra aisément que, si l'on désigne par m' et n' les nouvelles coordonnées dont l'une serait perpendiculaire et l'autre parallèle à la ligne des équinoxes dans le plan de l'équateur, on aura
m' = m cosi^ -+- n sinij/, n' = n cosip — m sin<\i.
Et, comme les coordonnées /, m', n' qui répondent à la particule dM de la Terre sont respectivement parallèles aux coordonnées >., p., v qui ré-
pondent au centre de la Lune, il est clair que la distance A de cette particule à la Lune sera exprimée par la formule
\/U— /)2+(pt — m'Y+ {v — n'f.
17. Soit, pour abréger, l2 -+- m2 -+- n2 = r2 (r étant la distance de la particule dM au centre de la Terre); on aura aussi l2 -\- m'2 + n'2 = r2; et, comme on a déjà X2+ p.2+ v2 = p2, on aura, en substituant les valeurs de X, p., v et développant les termes,
A2 = p2 — 2pZ(cosco sinj h- sinw cosj sinz) -+- 2pm'(sinw sinj — cosw cosj sinz) — 2pn' cosj cosz -(- r2,
où l'on remarquera que le rayon p de l'orbite de la Lune est infiniment plus grand que les quantités /, m, n, r; en sorte qu'on pourra exprimer
commodément la valeur de -r par une série fort convergente.
Pour cela je suppose
p = /(coscosinj+sinwcosjsinz)— m'(sin6.>sinj— coscocosjsinz)-i-rt'cosjcosz;
ou bien, en substituant les valeurs de m' et n',
p = /(cosw sinj -+- sinw cosj sinz)
— w[(sin« sinj — cosw cosj sinz) cos^ + cosj cosz sin^]
— «[(sinto si nj — cossj cosj sinz) sin<\i — cosj cosz cosij/],
en sorte que l'on ait
v/p2— ipp+r>;
et, regardant les quantités p et r comme très-petites du même ordre visà-vis de p, on aura
x = ;(— zpp-l-r 2)H -f- -(— 2po + r2)2 7-s— (— zpp-hr2f-i- ...,
A p ap3 rr ' 2.4p5 2.4-op
c'est-à-dire, en ordonnant les termes par rapport aux puissances de p, et VI. 45
ne poussant la précision que jusqu'aux infiniment petits du troisième
ordre,
i i p 3p2 — r2 5 p3 — 3pr2
