Faisons encore, pour abréger
P = cosw sinj -+- sin w cosj sin^,
Q= — (sinco sinj — cosm cosj sinz) cos*}1 — cosj cos^ sin^,
R = — (sinw sinj — cosm cosj sinz) s\n<]i -t-cosj cosz cos^,
de manière que la valeur de p soit représentée par /P + mQ + nR, et, substituant cette quantité à la place de p dans l'expression précédente
de -r i on aura, à cause de r2 = l- -+- m2 + ri1, i i /P-i-TOQ-f-raR
;2(3P2 — i) -+■ m'ÇiQ2- i) -t- w3(3Ra - i) + 6(//»PQ + faPR -+- mnQR)
ap'
3f/2fflQ+/2/?R)(5P2-i)-)-3(/»2/P+/»2/;R)(5Q2-i)-t-3^2/P+^fflQ)(5R:i-i)
Donc, multipliant cette quantité par dM, et intégrant en ne faisant
/dM -r- ou de 2
(n° 12); ainsi, en faisant attention que (n° 13)
JldM — o, jmdM = o, jndM = o,
JlmdM = o, ilndM — o, l mndM = o,
(*) Lagrange a omis ici le terme ; — — j qui est du même ordre que les derniers
P termes conserves.
(Note de l'Éditeur.)
et supposant, pour plus de simplicité,
il'dM = a2M, Çm2dM=:b2M, Cn?dM = c2M,
Cl3dM =f3M, Çlm2dM=f"M, Sln1dM=f"
(m3dM=g3M, f ml2dM — g'3M, jmn2dM = g"3M,
in3 dM = h3M, ! ni2 dM = h'3M, fnm2dM = A"3 M,
dM,
zp>
gH5Q3
19. Or, comme p est la distance du centre de la Lune au centre de la Terre, et que z, y sont deux angles dont l'un représente la longitude de la Lune sur l'écliptique et l'autre sa latitude, il est clair qu'en faisant varier ces trois quantités à la fois on aura — dp, p cosydz et pdy pour les trois petits espaces que le centre de la Lune parcourra suivant la direction du rayon p et suivant deux autres directions perpendiculaires à celle-ci, dont l'une parallèle au plan de l'écliptique et l'autre dans un plan perpendiculaire à l'écliptique. Ainsi, prenant ces trois quantités pour les différences da, dfi, dy (n° 12), on aura
dl i dl i dl
dp p cosj dz p dy
pour les expressions des forces résultantes de l'attraction de toutes les
parties de la Terre sur la Lune, et dont les directions seront les mêmes que celles des petits espaces — dp, p cosydz, pdy.
Si, au lieu du rayon p de l'orbite réelle de la Lune, on introduisait le rayon x de son orbite projetée sur l'écliptique, et qu'au lieu de la latitude y on introduisît la distance perpendiculaire de la Lune au plan de l'écliptique q, ce qui ne demande que de mettre partout, dans l'expression de 2,
\Jx- + q2
a la place de p, et ^ -=== à la place de sin y et cosj, alors, eu
\Jx2 -+- q1 \/'x2 -+- q2
faisant varier les trois quantités x, z, q, et prenant — dx, xdz et dq pour dx, dfi, dy, on aurait les trois forces
dl i dl dl dx x dz dq
qui seraient équivalentes aux précédentes, mais dont la première agirait suivant la direction du rayon x, la seconde perpendiculairement à ce rayon et parallèlement à l'écliptique, la troisième perpendiculairement à ces deux-là.
Comme cette dernière manière d'envisager les forces qui proviennent de l'action de la'Terre sur la Lune est beaucoup plus convenable, lorsqu'on ne veut pas considérer l'orbite réelle de la Lune, mais son orbite projetée sur l'écliptique, ainsi que nous l'avons fait plus haut, nous nous y tiendrons dans la recherche présente, et nous remarquerons d'abord qu'on peut faire abstraction de la latitude de la Lune y, qui étant toujours assez petite, et étant d'ailleurs tantôt positive, tantôt négative, ne saurait influer que très-peu sur son mouvement moyen; c'est pourquoi on pourra simplifier nos formules en y supposant d'avance y = o et p = x, ce qui donnera
P = sinw s'mz,
Q = coswsinz cos>]> — cosz sin^,
R = cosw sinz sim]; -4- coszcos^;
et l'on n'aura plus qu'à considérer les deux forces
dl j dl
dx x dz
parallèles à l'écliptique et dirigées, la première suivant le rayon x, et la seconde perpendiculairement à ce rayon; de sorte que si l'on fait, pour abréger,
D, . dP
P'=: SintO COS.Z =: -r- i
dz Q =z cosw cosz cos^i -+- smz sm<\i = -r-t
„, . , . dR
H== cosu cos2 sin^ — sinz cosy = -j—i
on aura, pour la force qui agit suivant la direction du rayon x, cette expression
| rg-3(5Q3-3Q)+3g'3Q(5P'-i) + 3g"3Q(5R'-i)M
xh
et, pour celle qui agit perpendiculairement au rayon, celle-ci
3«*PP'+6;QQ'-t-c'RR'M
x" | 3/»(5P»— i)F+/,'[(5Q'— i)P,+ ioPQQ,]+/,"[(5R»— i)F + ioPttR']
, 3g3(5Q2-1)Q'+g'3[(5p-')Q,+ 'oQpp'] + g,/3[(5R-0Q,+'°QR^]M
A»(5R3— i)R,+A,»[(5P'— i)R' + ioRPP'] + 6"3[(5Q'— i)R' + iqRQQ']
La première de ces deux forces sera donc celle qui pousse la Lune vers le centre de la Terre, en vertu de l'attraction de toutes les parties
de la Terre; et il est visible que le premier terme — de l'expression de
cette force représentera l'attraction de la Terre sur la Lune; lorsqu'on n'a point d'égard à sa figure et qu'on la suppose toute concentrée dans un point; de sorte que les autres termes de la même formule exprimeront la force perturbatrice de la Lune, dans la direction du rayon vecteur, provenant de la non-sphéricité de la Terre; ainsi, joignant cette force à celle qu'on a trouvée plus haut (n° 11) suivant la même direction, on aura la valeur de la force totale perturbatrice $ (n° 10).
La seconde des forces trouvées ci-dessus, agissant perpendiculairement au rayon vecteur de l'orbite de la Lune, devra être pareillement ajoutée à celle qu'on a trouvée suivant la même direction, en vertu de l'action du Soleil, et l'on aura la valeur de l'autre force perturbatrice II (numéros cités).
20. Si la Terre était sphérïque et composée de couches concentriques de densité uniforme, il est facile de voir qu'on aurait nécessairement
a'—b- = c\ et p=o, f'3=o, f"3=o, g3=o,...; par conséquent les deux forces ci-dessus se réduiraient à
M ; 3a*(F + Q* + R2-i)M 3a'(PP'+QQ'+ RR') M
mais on a
P^ + Q'+r^x, pp' + QQ' + RR' = o,
comme on peut s'en convaincre par les valeurs de P, Q, R, P, . . . ; donc
la première des deux forces précédentes, celle qui agit dans la direction
M du rayon vecteur, se réduira à — ? c'est-à-dire, à ce qu'elle serait si la
Terre était concentrée dans un point; et la seconde deviendra entièrement nulle, ce qui s'accorde avec ce que l'on sait d'ailleurs. Au reste les conditions de
a-=62=c5 et de /J=o, /'3=o, ...
peuvent avoir lieu d'une infinité de manières différentes, et sans que le Corps soit sphérique et de densité uniforme dans chaque couche; mais, quoique ces conditions suffisent pour rendre nulles les forces perturbatrices que nous venons de trouver, cependant, comme les expressions précédentes ne sont qu'approchées, il est clair que les forces perturbatrices ne seront réellement nulles que lorsque tous les autres termes qu'on a négligés s'évanouiront aussi en même temps. Il n'y a peut-être que le seul cas où le Corps est sphérique, et de densité uniforme dans chaque couche, dans lequel les forces perturbatrices soient exactement et rigoureusement nulles; mais c'est ce qui paraît assez difficile à démontrer.
Si l'on suppose que la Terre soit un solide quelconque de révolution, en sorte que tous ses méridiens aient la même figure, et que de plus toutes les parties de même densité y soient distribuées de manière qu'elles forment des couches semblables, supposition qui paraît la plus naturelle et la plus générale qu'on puisse faire, du moins, en tant qu'on regarde la Terre comme ayant été originairement fluide, on aura, dans cette hypothèse,
b2=c2, fn—f"\ et g* = o, g'3=o, g"3=o, h'—o, /j'3=o, h"3 = o,
comme il est facile de s'en convaincre avec un peu de réflexion; ainsi, à
cause de
P2+Q2 + R2=i, et PP' + QQ'+RR' = o,
les deux forces perturbatrices provenant de la non-sphéricité de la Terre deviendront •
3(«'-6»)(3P'-i) M + a(/»-3/")(5P'-3P) ixA xs
3(a»-6')PFM |-3(/»-3/')(5P'-i)FM x' ixh
dont la première agira suivant le rayon vecteur x, et l'autre perpendiculairement à ce rayon.
En supposant que la Terre soit un sphéroïde elliptique et homogène, on aura, en nommant a le demi-axe et ]3 le demi-diamètre de l'équateur,
et le rapport de [3 à a est, par la Théorie de la figure de la Terre, égal à
i -i — ^-5 et par les observations ésral à i H s-
En général, quels que soient la figure de la Terre et l'arrangement intérieur de ses parties, pourvu que b' — c2, on trouve, parla Théorie de la précession des équinoxes, que la précession moyenne annuelle des équinoxes, en vertu de l'action combinée du Soleil et de la Lune, est exprimée par
(1 -1- <rv2) cosmX mouv. diurne ®,
7 étant le rapport de la masse de la Lune à celle de la Terre, v le rapport du mouvement de la Lune à celui du Soleil, et w l'obliquité de l'écliptique. Or, par les observations, on sait que la précession moyenne est de 5o"; donc, exprimant aussi en secondes le mouvement diurne du Soleil,
qui est de 5c/8"= 3548", on aura, à cause de cosw = cos23°29'= et v2 = 178,
donc, si a est — suivant M. Daniel Bernoulli, on aura
4,88o274-248 = T^3 àpeuprès-
21. Ayant donc trouvé les valeurs des forces perturbatrices $ et n, tant en vertu de l'action du Soleil que de celle de la Terre regardée comme non sphérique, il ne faudra plus que les substituer dans les équations VI et VII du n° 10, pour pouvoir déterminer les inégalités de
la Lune, qui résultent de ces deux causes; mais, comme les effets de la première ont déjà été suffisamment examinés par les géomètres qui ont travaillé sur la Théorie de la Lune, et que notre objet n'est que de rechercher si la non-sphéricité de la Terre peut servir à expliquer l'équation séculaire de la Lune, il suffira d'avoir égard, dans les équations dont nous venons de parler, aux termes provenant de l'action de la Terre, soit seule, soit combinée avec celle du Soleil, et même, parmi ces termes, à ceux-là seuls qui paraîtront pouvoir produire une altération dans le mouvement moyen. Nous ferons, pour cet effet, les remarques suivantes.
22. Nous avons déjà vu que, pour que la Lune ait une équation séculaire réelle, il faut que l'angle du mouvement vrai <p renferme, outre l'angle du mouvement moyen Z, qui est proportionnel au temps t, encore le terme il? (n° 2); et si l'équation séculaire n'est qu'apparente, alors, au lieu du terme t'Z2, il faudra qu'il y en ait un de cette forme
sinA — sin(A-i-uZ' ZcosAh
p. sinA \ p.
p. étant un coefficient très-petit (n° 6); donc on aura dans le premier cas, abstraction faite des autres inégalités,
<p = Z -+- iZ-,
d'où l'on tire à très-peu près
Z =: Cp — I <p'J,
et, supposant dt = ndZ,
Dans le second cas, on aura
„ ii T , sinA — sin(A -t- aZ) 1
9 — Z H ; — r Z COS A H -> 1— J- ,
