VI

d'où l'on tire de même

Z = 9 : — r 9 0OSA

u sin A |

et de là

sin A — sin (A -+- y.ep)

2i cosA — cos(A -+- p-9)l sin A « ' J

Or l'équation VII donne

dt i / rnf/a)\ donc on aura dans le premier cas

et, différentiant, on trouvera

II t. nu du

(i — 2.iq>) -+■ iinu2; d<o

or, comme -■> rayon vecteur de l'orbite de la Lune, est une quantité à très-peu près constante, il s'ensuit que la valeur de — contiendra nécessairement un terme tout constant, qui sera exprimé par zink3^2, yétant le terme tout constant de la valeur de u2. Dans l'autre cas, on aura l'équation

[ii cosA — cos(A -+- «©)1 i rUdat 1 = — T -^ — T — I 77~T' sin A p. J If J /c3«3

d'où l'on tire

II Q.nuduV ii cosA — cos(A -f- w<p) 1 t ^ .wil sin(A + Mtp)

[ sin « !

2 iW :

k3u2 dq> sinA u ' sinA

de sorte que dans ce cas il faudra que la valeur de — contienne un

terme de la forme

. , , ,sin(A + fjicp) ' sinA

\x étant un coefficient extrêmement petit.

On peut conclure de là, en général, que l'équation séculaire de la

Lune ne peut avoir lieu à moins que la quantité — ne contienne ou un

terme tout constant, ou un terme qui renferme le sinus d'un angle qui varie infiniment peu, et qui soit par conséquent à très-peu près constant, au moins pendant un grand nombre de révolutions; dans le premier cas, l'équation séculaire de la Lune sera réelle et ira en augmentant comme les carrés des temps; dans le second, elle ne sera qu'apparente et ne différera des autres équations du mouvement de la Lune que par la longueur de sa période.

23. Tout se réduit donc à examiner si la quantité — peut contenir

des termes de l'espèce de ceux dont nous venons de parler, et pour cela il n'y aura qu'à considérer les différents angles dont les sinus ou cosinus

entreront dans la valeur de —■> et à voir s'il y a quelque combinaison

de ces angles qui puisse donner un angle constant ou à peu près constant; alors on n'aura égard qu'aux termes qui pourront donner de toiles combinaisons dans les équations VI et VII, et il sera facile d'en déduire l'équation séculaire cherchée.

Je remarque donc d'abord que les forces perturbatrices de la Lune, qui dépendent de l'action du Soleil, ne renferment que les sinus ou cosinus de l'angle yj et de ses multiples, avec les deux variables x ou — et a,

et que celles qui viennent de la non-sphéricité de la Terre ne contiennent que les sinus ou cosinus des angles s et <A avec la variable x; car, pour ce qui regarde l'angle w, qui exprime l'obliquité de l'écliptique, on doit le considérer comme une quantité constante.

Je remarque en second lieu que, a étant le rayon vecteur de l'orbite du Soleil, on aura, comme l'on sait,

i H- SCOSi;

X étant la distance moyenne, s l'excentricité et Éj l'anomalie vraie; de même, x étant le rayon vecteur de l'orbite de la Lune, on aurait, sans les forces perturbatrices,

/ étant la distance moyenne de la Lune, e l'excentricité de son orbite, et s l'anomalie vraie; mais, à cause des forces perturbatrices, on aura

v étant une variable très-petite et dépendant uniquement de ces forces. De là il est facile de conclure que les inégalités du mouvement de la Lune, abstraction faite de l'inclinaison de l'orbite, mais en ayant égard à la non-sphéricité de la Terre, ne pourront dépendre que de ces cinq angles \,s, t\, z et <b; et il est facile de se convaincre, en particulier, que

la valeur de — se réduiraJa une suite de termes de la forme

Asin(mi; -l- ns -+- p-r\ -t- qz -+- r<\i),

m, n, p, q, r étant des coefficients indéterminés exprimés par des nombres entiers positifs ou négatifs, en y comprenant zéro et l'unité; or, si l'on se rappelle que l'on a

g = anomalie du Soleil,

s = anomalie de la Lune,

■/) = distance de la Lune au Soleil,

z = longitude de la Lune comptée depuis l'équinoxe,

'j; = distance du premier méridien de la Terre au colure des équinoxes,

et qu'on examine les rapports de ces angles entre eux, lesquels sont à

très-peu près connus par les observations, on verra aisément qu'il n'y a que cette combinaison s — £ — y? et ses multiples qui puissent former des angles presque constants; en effet, il est clair que z — S, sera égal à la longitude de la Lune moins celle du Soleil, plus la longitude de l'apogée du Soleil, c'est-à-dire, égal à la distance de la Lune au Soleil plus la longitude de l'apogée du Soleil; par conséquent, nommant « la longitude de l'apogée du Soleil, on aura

Or on sait que a. est une quantité presque constante, qui ne varie que de i°5o' par siècle, suivant les Tables de Mayer, de sorte que l'angle z — £ — y] et ses multiples seront dans le cas dont il s'agit; ainsi, dans la recherche de l'équation séculaire de la Lune, il suffira de tenir compte des termes qui renfermeront les trois angles z, S,, yj; d'où je conclus d'abord que, dans les expressions des forces perturbatrices provenant de la non-sphéricité de la Terre, on pourra rejeter les termes qui contiendront les sinus ou cosinus de l'angle ty; ce qui servira beaucoup à simplifier ces expressions.

24. De cette manière on aura donc, d'après les formules du n° 19,

sin2«(i — COS22) P2= '-■>

q2 j)2 a — sin2&)(i — cos2z)^

sinJw(3sinz — sin3zj

__ (4 — 3 sin2&i) sinco sinz -+- sin'co sin3.2

et toutes les 'autres quantités Q3, QP2,... seront nulles.

366 SUR L'EQUATION SECULAIRE

Et comme

V=**, Q'=^, R'=^-R, dz ' dz dz '

ou aura, par la différentialion,

QQ'=RW=-sin,(ùfm2Z,

„,, sin3&j(cosz — cos3.z)

(4 — 3 sin'w) sinu cosz -+- 3 sin'w cos3;

Q=P' -f- a PQQ' = IV P' -f- 2 PRR'

toutes les autres quantités Q2Q', R2R',... étant nulles.

Faisant donc ces substitutions dans les formules du n° 19, et supposant, pour abréger,

n 3M / , b'-hc*\ . , C = [a2 sin-w,

D = ( 2/3 — 3/'3 — 3/"3) ( sinw — y sin3w ) ,

E = ^-(3jf-a/'*-3/")sin'»l

m aura, a cause de la non-sphéricité de la Terre :

Force perturbatrice dans la direction du rayon,

3B-f-Ccos2z D sins -4- E sin3z

Force perturbatrice perpendiculaire au rayon,

Csiii2z D cosz -f- 3E cos3z

25. Il faut maintenant reprendre les expressions des forces perturbatrices résultant de l'action du Soleil (n° 11) et y substituer à la

place de a sa valeur -; mais il ne sera pas nécessaire de faire

1 I -+- ecos£ r

cette substitution en entier; car, par ce que nous venons de remarquer dans le numéro précédent, il est visible qu'il suffira d'avoir égard aux termes qui contiendront des sinus ou des cosinus de l'angle Ç-f-nj ou de ses multiples. Or la valeur précédente de a donne celles-ci

-COSÇH ^COS2? + __C0£'3H,

— = rr 1 r-t COSÇ+ ■ rj COS 2 E ■+- — COS 3 fc -(- ^-C0S4?;