TA A A A* O A
donc, substituant ces valeurs et rejetant tous les termes qui contiendraient d'autres angles que % -+- vj, on aura, par l'action du Soleil :
Force perturbatrice dans la direction du rayon,
- 7y«(f (4s + 3e3)cos(£-f-n)-(- ^— ^- cos 3 ( £ -4- n ) ) x2;
Force perturbatrice perpendiculaire au rayon,
— 3^ ( -(4s ■+- 3e3) sin(Ç -t- yi) -f- — sin3(£ -4-*])J x\
Joignant donc ces forces à celles du numéro précédent, on aura les valeurs des quantités 0 et n, lesquelles, en mettant pour plus de simplicité — à la place de r-p se trouveront exprimées de la manière sui-
368 SUR L'EQUATION SÉCULAIRE
vante
. i / 3e! qe- ... \
— r^j\ (3 + ^-) cos(£-4-yf) -+- -i- cos3(^ + n) Lr2 3B-+-Ccos2s Dsin^ -i- Esin3s
- ^[l1 + t) sin(? + ^ + T sin3(? + 7l)]
Csinaz D cos.3 + 3Ecos3s
26. On substituera maintenant ces valeurs de $ et de II dans l'équation VI de l'orbite de la Lune, laquelle deviendra par là, h cause de
ïrrTT d'u i i T 3e2 qE2 ,y , 1
VIIL ^ + M-F + ^F^[I+ — + TC0S2(- + ,'/,J
-+- —r- (B -t- Ccos2z) + -j— - (D sinz -t- Esin3z)
9e3 /*siri2(£ -4- 71) 9e2 sin2(^ + n) c/w
4/i"Vj *<4 81/2 t«4£/cp
3e T/ 3£=\ /*sin(g + w) , 5ej rsin 3J^j-^j î/i'y^Ll 4 /J m5 ' 4 J M*
3e T/ 3e2\ sin(£ + -/î) f/i/ 5e2 sin3(£ -1- n)du 2/fVA|\ 4 / i<5^9 4 w5(/cp
+ 7-j (C I wsin2z <7cp | m2cosz </cp — - — I «2cos32 cfy)
1 ( r siniz.u du I) cosz.iûdu 3E cos3z.«2é/«\
/l'2\ (/cp 2. </s> 2 d(p /
J'ai supposé, dans cette équation, la masse M de la Terre égale à l'unité; de sorte que, si l'on suppose aussi (ce qui est également permis) que la distance moyenne / de la Lune à la Terre soit =i, on aura
jj- = i; par conséquent, comme on a, par les Théorèmes de Huyghens,
V7J ' V T7 ^8al au rapport du temps périodique de la Lune au temps périodique de la Terre, ou (ce qui est la même chose) au rapport du mouvement moyen de la Terre à celui de la Lune, la quantité — =» ou
bien v, exprimera le rapport du mouvement moyen de la Lune à celui
du Soleil, lequel est environ de i3 ". i, ou plus exactement 1/178-^ :i.
27. De plus on aura, à cause de /= 1 (n° 23), u = 1 4- e cos.s -+- v,
et il faudra que la quantité v ne contienne ni aucun ternie tout constant,
ni aucun terme affecté de coss; ainsi, après avoir substitué cette valeur
dans l'équation précédente, on y fera disparaître tous les termes qui
renfermeront cos.y, ainsi que ceux qui ne contiendront aucun sinus ou
cosinus; ce qui donnera deux équations dont l'une servira à déterminer
ds le rapport -y- qui est supposé constant, et l'autre servira à déterminer la
constante k; mais, comme l'équation VII n'est pas exacte, à cause des différents termes qu'on y a négligés comme inutiles dans la recherche de l'équation séculaire, on ne pourra déterminer de cette manière les deux quantités dont il s'agit; ainsi l'on se contentera de rejeter les termes en question sans faire attention aux conditions nécessaires pour la destruction rigoureuse de ces termes, et l'on pourra prendre, sans erreur sensible, pour k sa valeur approchée 1 , et pour -j- sa valeur donnée par les
observations.
c, 1 ds . , , d'i 4- d-t] dz
Supposons donc -7- =p, et soient de plus — - — =w, -j- = g, en sorte
vi. 4?
que/? — i désigne le rapport du mouvement de l'apogée delà Lune à son mouvement moyen en longitude, - — i le rapport du mouvement de l'apogée du Soleil au mouvement moyen de la Lune, et q — i le rapport du mouvement des points équinoxiaux à ce même mouvement moyen (n° 23); il est facile de voir que l'équation VII deviendra de cette forme
-;— -t-re2t> -4- i2 = o,
rtcp2
où
n — ï — 3 rr~, — H tt '
2 V If2 le
et Q. sera composée de différents termes de la forme Acos(a -+- a<p); et l'on sait que chacun de ces termes donnera dans la valeur de v le terme
correspondant 2 ; cos(a + «y); de sorte qu'on aura facilement par
ce moyen la valeur complète de v .
28. Pour avoir les termes qui doivent composer la valeur de Û, il n'y aura qu'à substituer dans les termes de l'équation VII, qui sont affectés de quelques sinus ou cosinus, n-ecoss à la place de u, parce qu'on peut négliger dans la première approximation la quantité très-petite p; on pourrait même négliger aussi le terme ecoss, qui est fort petit visà-vis de i , la valeur de e étant environ -^; mais comme on sait que, dans la Théorie de la Lune, il se rencontre des termes qui augmentent beaucoup par l'intégration, il faut voir si de pareils termes ne peuvent pas venir du terme ecoss; or, comme les coefficients p, -es, q et n diffèrent peu de l'unité, il est d'abord clair que les deux termes qui contiennent
sin(S-l-ïj) et siuz sous le signe I ? étant multipliés par coss, en donneront deux autres qui contiendront sin (| +. ij — s) et sin (z — s), et qui, étant multipliés par dep et intégrés ensuite, se trouveront augmentés
dans les raisons de i à et de i à ; ainsi il sera bon de conser-
ts — n q — n
ver ces termes.
De plus, les termes qui contiennent des sinus ou cosinus de a(? + ïj) et de 2z, étant multipliés par coss, en donneront d'autres qui contiendront des sinus ou cosinus de 2 (| -4- vj) — s et de iz—s; et ces sortes de termes augmenteront beaucoup dans la valeur de v, puisqu'ils devront être divisés parles quantités très-petites [2zs—p)i — ni et (2q—p)2—n2; il faudra donc aussi avoir recours aux termes de cette espèce.
A l'exception des termes dont nous venons de parler, on pourra mettre partout ailleurs 1 à la place de u, et l'on trouvera, toutes réductions .faites,
&= Lcos2(|-t-n)H-Mcos(?-f-n)-<-Ncos3(H-(-»j)-t-Pcos2z-hQsinz -+-Rsin33 -4-Scos[2(?-i-vi) — i]-t-Tcos(£-i- ïj — s) +Vcos(2z — .f)-4-Xsin(z — s),
où les coefficients L, M,... auront les valeurs suivantes
L = 9e' 1 9£2 8 v- /r 2 8V1 k* in
tK3t+t
8v2k2l 8vikilin
s 27e2e o,B-e | 9?eP
i6v2k2 2Wf,(asj — p) i6v2
i5e(i + ir)e
3 Ce Ce C/?e
2A'2 k*{zq — p) 1k2
Et de là on trouvera
Lcosa(Ë + •/)) Mcos(H-t-v)) N cos3( H -+-•/)) 4ro2 — n1 ro2 — n"1 • gsr2 — ri1
Pcos2z Qsinz Rsin3z S cosTafE -+-•/)) — .?] 4 ? — 'î q- — n2 9<] — n (2B — pf—n1
T cos(g + y) — s) Vcos(2z — s) Xsin(z — s) (bj — pf— n" (iq — p)- — n* (q — p)2— n*
29. Il ne s'agit plus maintenant que de substituer à la place de u sa valeur i + ecoss-w, dans la quantité —■> c'est-à-dire (n° 25), dans celle-ci [x étant =
— q%-7 sin2(H-+-yj) ^ ' sin(£-hv))
i5e= . ,,,. , „ . Dm2 3E ,
7^-t — - sin 3 ( £ -t- y) ) -f- L u sin 2 z cos z «2 cos 3 z,
ifav'Au5 2 2
et de tenir compte uniquement des termes qui contiendront des sinus ou cosinus de l'angle Ç + vj — s ou de ses multiples quelconques (n°23); nous allons pour cela examiner séparément chacun des termes de la quantité dont il s'agit, et nous supposerons, pour abréger, l'angle S, -+- 17 — z égal à a, ainsi qu'on l'a déjà fait plus haut. Et : i° Il est clair que le terme
J tr 1 f-i n r C l s, \
pourra donner un terme de la forme sin2a, pourvu que la quantité \ en contienne un de la forme cos2z; or
— -. = 1 — i(e cos* -+- v ) -t- iofe coss + c)2 — . . . ;
ainsi l'on aura d'abord dans la valeur de — » en vertu du terme — £<\
celui-ci
ensuite on trouvera, en vertu du terme 10.2e coss.v, cet autre-ci
(iq—p)2 — >i2
de sorte que le ternie dont il s'agit donnera le suivant 9e2 / 2P 5eV
4^f3 — ri* (iq — pY — ri- 20 Le terme
/ o . sin(g-»-yi)
donnera un terme de cette forme sin a ou cosa, pourvu que la quantité — en contienne de la forme coss ou sinz; or
— - = 1 — 5(ecos* -+- v) + i5(ecos* + vY— . . . ; uh
et il est visible que le terme — 5t> donnera d'abord celui-ci
^— sinz,
et que le terme i5.2ecoss.p donnera celui-ci
i5eX
-, r; ; sin z ;
ainsi le terme en question donnera le suivant 3e'\
5Q i5eX
4v2X \ %{q2—ri) t\{q— p)2— n2]
3° Le terme
a. 21 t sm3 g + vi
donnera un terme de la forme sin 3a ou cos3a, pourvu que la quantité
— en contienne de la forme cos3z ou sin3z; mais
— = i — S(e coss -t- v) -+- i5(ecos5 -+- vY. . . ,
et l'on trouvera que le terme — 5v produira celui-ci
— sin3z,
et que les autres termes n'en produiront aucun de cette espèce; donc le terme dont il s'agit donnera simplement celui-ci
cos3c
i6v2^ 2(gg2 — n2
4° Le terme Cm sin2z en donnera un de la forme sinaa, si u ou v en contient un de la forme cos2(£ + vj) ; or le terme de cette forme qui est contenu dans v est
y— — — cosa(£-(--/]);
ainsi l'on aura, pour le terme dont il s'agit, celui-ci
——. — : — sin2a.
2(4hj2 — «')
5° Le terme
— — wcosz
en donnera de la forme cosa, si u2 en contient de la forme cos(£ -+- xj);
mais
u? = i -+- ie coss + 2c + (e coss -+• e)2,
et l'on trouve que iv contient d'abord le terme
aM IV ,
et que ie coss.e contiendra le terme
cos(£ + n);
donc on aura, pour le terme en question, celui-ci D / M eT
2 \to2 — re2 a[(c7 — /?)2 — ra2] Enfin le terme
3E . a m2 cos3z
donnera un terme de la forme cos3«, si u2 en contient de la forme cos3(£ h-yj); or on trouve que o.v contient celui-ci
2Ncos3(^ H- y))
gw — /i2
et que les autres termes de la valeur de w2 n'en contiennent aucun de cette espèce; ainsi l'on aura simplement le terme
COS3a.
2 gnr — iv
Rassemblant donc tous les termes qu'on vient de trouver, on aura les trois suivants
5eV \ CL
4ç2 — n' (iq — pf — n'j 2(4ro2-
— — sin2«,
3S\'+ 4 ) / 5Q i5eX \ D/ M el \
L 8v''X Xq'—ri1 (q — />)2 — re2/ 2 \ro2— n2 i[(m — pf— w2]/J
+ 1 -£— ,- -7 rr C0S3«,
qui seront contenus dans la valeur de —> et qui pourront par conséquent donner une équation séculaire; et il est facile de se convaincre, avec un
peu de réflexion, que ces termes seront effectivement les seuls de cette espèce qui pourront entrer dans la valeur de — > du moins dans la première approximation; ainsi il n'y aura qu'à voir si l'équation séculaire qui en résulte est conforme ou non aux observations.
30. J'observe d'abord que, si l'on suppose que les deux hémisphères de là Terre soient semblables, supposition à laquelle il n'est presque pas permis de renoncer, du moins sans les raisons les plus fortes et les plus décisives, on aura (nos 14 et 18)
f=o, f' = o, f"=o; §"=o, g';=o, g-"=o; h = o, A' = o, li" = o; donc (n°24)
et de là (n° 28'
d'où il s'ensuit que, dans ce cas, les trois termes ci-dessus se réduiront à celui-ci unique
rqe! / aP 5e V \ CL 1 .
g- — y—, : + ; r, , -4- ,, . rx SU! ia;
de sorte que, comme a exprime la longitude de l'apogée du Soleil (n°23), on aura une équation séculaire apparente et analogue à celle que nous avons examinée dans le n° 8; ainsi il n'y aura plus qu'à voir si le coefficient de cette équation est tel qu'il faut pour répondre aux observations.
Pour cela, je remarque que, suivant les observations, on a
" i3°io'35 ii8{
ce qui, à cause de v2 = 178, ne diffère pas beaucoup de —r] ensuite on
a aussi par les observations
ro 1 — — 365j(.3"io'35") el '•/~'-~365j(i3"io'35");
d'où l'on voit que les quantités ts et q sont presque égales à l'unité; du moins la différence en est si petite qu'il serait inutile d'en tenir compte dans les coefficients.
De plus on a déjà observé que la constante k est aussi à très-peu près égale à l'unité; du moins la différence ne peut être que de l'ordre de e2
et de — ; c'est pourquoi on aura, sans erreur sensible (n° 27),
Qg2 C L = ^__, P = -» V = o;
et, faisant ces substitutions dans le coefficient du terme sin2<z trouvé ci-dessus, on verra que tout se détruira, en sorte que ce coefficient deviendra nul de lui-même.
