Si les deux termes

9^ — aP CL

8v2 4<jf2 — n' 2 (4 et* — n2)

ne se détruisaient pas, on aurait une quantité de l'ordre de — ; de

même, si les différents termes de la valeur de V ne se détruisaient pas entre eux, cette quantité serait de l'ordre de Ce, et par conséquent, à cause de

(2jp ç)2„2 = (\^2 I + A 6B = -^-6B,

le terme

8v! {iq — p)2 — n1

serait de l'ordre r e2C, c'est-à-dire, du même ordre que les autres termes, à cause que ~ et e2 sont à peu près des quantités du même ordre. VI. 48

Ainsi le coefficient de sinaa, dans la quantité — i serait de l'ordre

de - — c'est-à-dire, de l'ordre de ,r J 0 , à cause de e égal environ à ~v2 (bo)-.ioo bo

et de v2 égal environ à 180.

Dénotons, pour plus de simplicité, ce coeflicient par (S, en sorte que

la quantité — renferme le terme tësinaa; et, si l'on regarde l'angle a.

comme constant, on aura

— j-1- = p sin2a.cp ;

donc (équation VII)

, de? Ssinaa ,

dt = 7—1 J ; — CO d'il,

et, à cause que le terme tout constant de ur est à très-peu près égal à i , et que k est aussi presque égal à i , on aura, en intégrant,

3sinaa ,

t ou Z = cp — ! cpJ

(Z étant l'angle du mouvement moyen répondant à l'angle du mouvement vrai ip) ; d'où

donc (n°2)

et de là

= z+psin2«z

|3 sir)2a

i oooo . 36o . 36oo . wv7

ioooo. 36o.3(So o.sr/ sir)2 a

c'est la valeur que doit avoir le coefficient (3 pour pouvoir répondre aux observations. Or nous avons vu ci-dessus que, si les termes qui composent la valeur de ce coefficient ne se détruisaient pas entre eux, du

moins à très-peu près, ce coefficient serait de l'ordre de -^-— — „-: d'où il

(*) La lettre w, qui vient d'être employée pour un autre usage, désigne ici, comme au n° 2, le rapport de la circonférence au rayon. (Note de l'Éditeur.)

s'ensuit que l'on devrait avoir alors pour la valeur de C une quantité de

l'ordre -, — -r~ : , ou bien (à cause de zô = environ 6) de l'ordre

(ioo y. ibo.xs su) la

(ioo)2. lao.sin la.

-, mais on a (n° 24

L = - \ a2 sni'co;

donc il faudrait que la quantité a2 fût de l'ordre de

(ioo)2. i8o.sin2a.sin2&>

Si l'on suppose la Terre elliptique et homogène, on a (n° 20), à cause que, la distance de la Lune à la Terre ayant été supposée égale à i, le

rayon de la Terre est environ égal à -^-i on a, dis-je,

5{6of 5 (6o)2 \ a3o donc on aura à très-peu près, dans cette hypothèse, b' ■+- c'; i i i

or il est visible que cette quantité est à peu près du même ordre que la précédente, à cause de (ioo)-. 90 = 900000, et (60)2. 575 = 2070000; d'où l'on peut d'abord conclure que, si les principaux termes du coefficient de sin2a ne se détruisaient pas, ce coefficient serait à peine suffi- " sant pour donner une équation séculaire conforme aux observations.

En général, quelle que soit la figure de la Terre, pourvu qu'elle soit un solide de révolution, on a, par la Théorie de la précession des équi-

noxes,

— -. = ^-77 a peu près;

or il est bien aisé de se convaincre que la quantité b" est nécessairement moindre que le carré du rayon de l'équateur, c'est-à-dire, < -tt— - (la

distance de la Lune à la Terre étant prise pour l'unité) ; de sorte qu'on aura (b2 étant égal à c2)

l>2 ■+■ c"- n, ^ i < i 2 ^i73.(6ojJ 622800

D'un autre côté, on a trouvé que, pour que le coefficient de sinaa répondît aux observations dans l'hypothèse où les principaux termes de ce coefficient ne se détruiraient pas, il faudrait que la même quantité

+ c — a2 fût de l'ordre de — 3 — -. ^t-> c'est-à-dire (à cause

2 ■ (100/. ioo.siii2a.sin2co

que m est l'obliquité de l'écliptique et a la longitude de l'apogée du

Soleil), de l'ordre -. — 0 — • ,'&n, • — ^tt,= g/o/' quantité qui est

'' (100)2. i8o.sin(i5° j)(sin23'4)2 76404 n n

de beaucoup plus grande que la précédente; d'où il s'ensuit que, même

dans cette hypothèse, on aurait peine à expliquer l'équation séculaire

de la Lune, par le moyen du terme dont il s'agit.

Mais, puisque nous avons trouvé que le coefficient de ce terme est à

peu près nul, du moins aux quantités de l'ordre de — près (car les valeurs de jd et de k, que nous avons prises égales à l'unité, n'en diffèrent réellement que par des quantités de ce même ordre), il est clair que la

vraie valeur de ce coefficient sera nécessairement de l'ordre de — -; par

conséquent, le terme dont nous parlons sera tout à fait insuffisant pour produire l'équation séculaire de la Lune, telle que les Tables de Mayer la donnent.

On trouvera à peu près le même résultat, si l'on a égard à la variabilité de l'angle a, auquel cas l'équation séculaire ne sera qu'apparente et devra avoir la valeur déterminée dans le n° 8.

On conclura donc de là que l'équation séculaire dont il s'agit ne saurait venir de la non-sphéricité de la Terre, tant qu'on y suppose les deux hémisphères semblables; mais, avant de prononcer sur l'impossibilité d'expliquer cette équation par l'attraction de la Terre supposée non sphérique, il est à propos de voir ce que la dissimilitude des hémisphères peut donner s.ur ce point.

32. Pour cela, il ne s'agit que d'examiner l'effet des autres termes de la formule du n° 29, c'est-à-dire, de ceux qui contiennent cos« et cos3a, et que nous avons vus devoir disparaître lorsque les deux hémisphères de la Terre sont semblables. Or on a (nu 27), aux infiniment petits de l'ordre t2 près,

M = ™ N = -^, Q = D, tt = E, t — "5ee iV)e

ou 1 on remarquera que i — p est une quantité très-petite, égale a — -

environ (n° 30). Substituant donc ces valeurs dans les deux termes dont nous venons de parler, ils se réduiront (en y négligeant ce qu'on doit y négliger) à celui-ci

LBv1). i — ri' 2 4V'M' — "2)J

lequel, comme l'on voit, disparaît de lui-même.

Il arrive donc de nouveau, par une fatalité singulière, que les deux principaux termes du coefficient de cosa se détruisent. Si cela n'était

pas, il est clair que ce coefficient serait de l'ordre de -pr-, rN> c'est-

3 eD

à-dire, à cause de n2= i à très-peu près (n°27), de l'ordre de -y-;

or X, distance du Soleil à la Terre, est environ égale à /joo (*), puisque

celle de la Lune à la Terre est supposée égale à i ; donc r- sera de l'ordre

de -•, de plus il est facile de voir que les quantités D et E (n° 24)

doivent être, généralement parlant, plus petites que la quantité C dans

(*) Le texte primitif porte 200 au lieu de 400; c'est assurément une simple erreur typographique que nous avions le devoir de faire disparaître ; car, à l'époque où Lagrange publia son Mémoire, la parallaxe du Soleil était déjà connue avec une certaine précision.

(Note de l'Éditeur.)

la raison du rayon de la Terre à la distance de la Lune, c'est-à-dire, dans la raison de i : 60, parce que les quantités a2, b-, c2 ne sont que de deux dimensions, au lieu que les quantités/3,/'3, /"3 sont-de trois

n° 18). Ainsi on peut regarder les quantités de l'ordre de -y- comme du même ordre que celles de l'ordre — r; d'où il s'ensuit que, si les principaux termes du coefficient de cosor ne se détruisaient pas, ce coefficient serait du même ordre que celui de sin2a, dans le cas où les termes de celui-ci ne se détruiraient pas (n° 31); ainsi on pourra faire ici le même raisonnement que nous avons fait dans le numéro précédent, et en tirer des conclusions semblables. 11 est vrai que, comme les quantités/3,/'3,/"3 sont indéterminées, on pourrait les prendre telles, que les coefficients de cosa et de cos3a eussent la valeur requise pour donner l'équation séculaire de Mayer; mais il est facile de se convaincre qu'il faudrait, pour cela, supposer aux deux hémisphères de la Terre des figures trop dissemblables pour qu'on pût les accorder avec les mesures des degrés et la Théorie de la précession des équinoxes et de la nutation de l'axe de la Terre.

33. Comme, dans les calculs précédents, nous avons toujours fait abstraction de l'inclinaison de l'orbite lunaire à l'égard de l'écliptique, on pourrait peut-être douter, au premier aspect, si cette circonstance ne doit pas apporter quelque changement à nos résultats; mais, pour lever ce doute, il suffit de remarquer que l'inclinaison de l'orbite ne peut avoir d'autre influence dans nos calculs que d'introduire un sixième angle Ç égal à la distance de la Lune au nœud, lequel se combinerait avec les cinq autres que nous avons considérés dans le n° 23; or, comme le mouvement des nœuds est assez prompt, étant à celui du Soleil dans la raison de 1 : 18, il est facile de se convaincre que cet angle Ç ne saurait donner aucune nouvelle combinaison qui puisse servir à expliquer l'équation séculaire; de sorte qu'on est, ce me semble, bien en droit de conclure que cette équation, si elle est réelle, ne peut être l'effet de la figure non sphérique de la Terre.

34. Après avoir examiné l'effet de l'action de la Terre sur la Lune, eu égard à la non-sphéricité de la Terre, il conviendrait aussi d'entrer dans un pareil examen, relativement à la figure non sphérique de la Lune; car il est clair qu'il doit résulter aussi de cette circonstance de nouvelles forces perturbatrices de l'orbite de la Lune, et il pourrait arriver que ces forces, combinées avec celles qui viennent de l'action du Soleil, pussent servir à expliquer l'équation séculaire. Aussi l'Académie demande-t-elle expressément, dans son Programme, qu'on ait égard à la figure non sphérique tant de la Terre que de la Lune. D'ailleurs l'examen dont il s'agit ne peut avoir de difficulté après ce que nous avons démontré jusqu'ici, puisqu'il doit être aisé d'appliquer à la Lune les formules que nous avons trouvées pour la Terre; mais il ne sera pas même nécessaire d'entreprendre un nouveau calcul sur cet objet, pour décider la question de l'équation séculaire, et l'on pourra s'en dispenser par les considérations suivantes.

Il est clair que, pour avoir les forces perturbatrices de l'orbite de la Lune, provenant de la non-sphéricité de cette planète, il n'y aura qu'à prendre les formules des nos 19 et suivants en sens contraire, en appliquant à la Lune les quantités qui, dans ces formules, se rapportent à la Terre.

Ainsi w sera l'inclinaison de l'équateur lunaire sur l'écliptique, laquelle est d'environ i degrés; z sera la longitude de la Terre vue de la Lune, et comptée depuis le nœud de son équateur; de sorte que, comme on sait par les observations que les noeuds de l'équateur lunaire coïncident toujours, du moins à très-peu près, avec ceux de l'orbite de la Lune, l'angle z sera égal à la distance de la Lune au nœud de son orbite, angle que nous avons déjà nommé Ç ci-dessus (n° 33) ; à sera la distance du premier méridien de la Lune au nœud de son équateur; et puisque la Lune présente toujours à la Terre la même face, à la libration près, qui est très-petite et périodique, si l'on prend, ce qui est permis, pour premier méridien celui qui est dirigé vers le centre de la Terre, lorsque la libration est nulle, et qu'on nomme A l'angle de la libration, on aura tf = Ç + A. Enfin la quantité/ exprimera la latitude de la Terre

vue de la Lune, et aura par conséquent la même valeur que dans les formules citées, où elle dénote la latitude de la Lune vue de la Terre; de sorte qu'on aura, en nommant / l'inclinaison de l'orbite lunaire, tangv = lang^ sinÇ, ou, à très -peu près, à cause de % très-petit, y = y sinÇ. Quant à la quantité A, qui exprime la libration de la Lune, elle doit être proportionnelle à l'équation du centre de la Lune ou, plus exactement, à la somme de toutes les équations qui affectent le mouvement moyen de cette planète; il pourrait, à la vérité, s'y joindre encore une équation provenant de la libration physique, supposé qu'elle ait véritablement lieu: mais, comme il n'y a encore rien de bien constaté sur ce point, ni par la Théorie, ni par les observations, on pourra se dispenser d'y avoir égard ; et d'ailleurs, quand on en voudrait tenir compte, on trouverait aisément qu'il n'en pourrait rien résulter pour l'équation séculaire de la Lune, à moins de faire des suppositions trop forcées et trop peu admissibles sur la figure de cette planète.

On voit donc par là que l'expression des forces perturbatrices de la Lune, provenant de la non-sphéricité de sa figure, ne pourra renfermer que les mêmes angles qui composent les arguments des inégalités de la Lune, produites par l'action du Soleil, c'est-à-dire, les angles £, s, yj, Ç (nus 23 et 33); or il n'y a aucune combinaison de ces angles ni de leurs multiples qui puisse donner un angle constant, ou à très-peu près constant, à moins d'admettre des multiples fort grands, auquel cas le coefficient, qui affecterait le sinus ou le cosinus d'un tel angle, serait d'autant plus petit, et par conséquent insuffisant pour l'explication de l'équation séculaire (sur quoi voir le VIe volume des Opuscules de M. d'Alembert); ainsi on peut être assuré d'avance que la nonsphéricité de la Lune ne peut être d'aucune utilité dans la recherche de celte équation.

35. Je n'entreprendrai pas maintenant d'examiner si l'équation séculaire de la Lune peut être l'effet de l'action des autres planètes : cette discussion nous mènerait trop loin et demanderait même un Ouvrage particulier, auquel le défaut de temps et mes occupations actuelles

m'empêchent de me livrer; mais il ne paraît pas impossible de pouvoir décider la question à priori, par des considérations analogues à celles du numéro précédent. En effet, il est facile de voir que les expressions des forces perturbatrices de la Lune, produites par l'action d'une planète quelconque, ne peuvent dépendre que des angles s, y?, Ç relatifs à la Lune, et des angles analogues s', ti ', Ç' relatifs à la planète (s' étant l'anomalie de la planète, V son élongation à la Terre, et Ç' sa distance au nœud); de sorte que ces expressions ne renfermeront que des sinus ou cosinus d'angles formés par la combinaison de ceux-ci et de leurs multiples; et l'on prouvera aisément que la quantité — ne pourra être formée

que de pareils sinus ou cosinus; et si l'on veut avoir égard en même temps à l'action du Soleil, il se joindra encore à ces six angles celui de l'anomalie du Soleil, qu'on a nommé ci-dessus §. Tout se réduira donc à examiner si l'on peut trouver une combinaison des sept angles*, t\, Ç, /, y]', 'Ç', S, et de leurs multiples, laquelle donne un angle tout à fait, ou du moins à très-peu près, constant; or, d'après les valeurs connues des rapports de ces angles, on pourra s'assurer aisément qu'il n'est guère possible de former de telles combinaisons, sans employer des multiples assez grands; d'où l'on peut conclure que les termes qui pourront produire une équation séculaire ne se présenteront qu'après plusieurs corrections de l'orbite, et seront par conséquent d'un ordre beaucoup trop petit pour pouvoir donner une équation sensible et conforme aux observations.

36. Puis donc que l'équation séculaire de la Lune, telle que les Tables de Mayer la donnent, ne peut être l'effet de la non-sphéricité de la Terre, ni de celle de la Lune, ni de l'action des autres planètes sur la Lune, et par conséquent ne saurait être expliquée par le secours de la gravitation seule, il faut que, si cette équation est réelle, elle provienne de quelque autre cause, comme de la résistance que la Lune éprouverait de la part de quelque fluide très-rare, dans lequel elle serait mue; mais comme, d'un autre côté, l'hypothèse d'un fluide très-subtil, dont la résistance altérerait sensiblement le mouvement des Corps célestes, n'est pas encore VI. 49

bien confirmée par les observations des autres planètes, que même elle paraît être contredite par celles de Saturne, dont le mouvement va en se ralentissant au lieu de s'accélérer, comme cela devrait être en vertu de la résistance de l'éther, il me semble qu'on ne doit pas admettre cette hypothèse uniquement dans la vue d'expliquer par son moyen l'équation séculaire dont il s'agit.

Je dis : si cette équation est réelle; car il me paraît que les preuves que l'on en a jusqu'à présent ne sont pas bien décisives, puisqu'elles sont fondées uniquement sur quelques observations faites dans des siècles fort éloignés, et sur l'exactitude desquelles on ne saurait guère compter.

37. M. Dunthorn, le premier après M. Halley qui ait adopté l'hypothèse de l'accélération de la Lune, et le seul, ce me semble, qui soit entré là-dessus dans quelques détails, ne s'en est pas tenu à la simple comparaison des observations des années 720 avant J.-C. et 977, 978 après J.-C. avec les modernes, pour prouver la nécessité de cette accélération; il a aussi discuté, dans le même objet, quelques autres observations faites dans les siècles intermédiaires [voir le volume XLYI des Transactions philosophiques); mais, quoique ces observations paraissent confirmer en gros l'accélération du mouvement moyen de la Lune, elles ne s'accordent cependant pas entre elles, à beaucoup près, ni sur la quantité de l'accélération séculaire, ni même sur la loi de cette accélération; c'est ce que je vais faire voir en empruntant les résultats des calculs de ce savant Astronome.

Les observations qu'il a examinées sont, en les rangeant par ordre chronologique :

i° Une éclipse de Lune observée à Babylone le 9 mars 720 avant J.-C. et rapportée par Ptolémée dans le IVe Livre de son Almagesle, Chapitre VI. On ne sait d'autres circonstances de cette éclipse, sinon qu'elle a commencé plus d'une heure après le lever de la Lune, et qu'elle a été totale. M. Dunthorn, ayant fait à cette observation les réductions convenables, a trouvé que le commencement a dû être à 6h46m; ensuite, l'ayant calculée par ses propres Tables, qui n'ont jamais été publiées,

que je sache, il a trouvé que le commencement aurait dû être à 8h32m; ce qui donne une anticipation de ih46mde l'observation sur les Tables, et par conséquent une erreur de 54 minutes sur la longitude calculée.

20 Une éclipse de Lune observée à Babylone le 23 décembre 382 avant J.-C. (il faut remarquer que M. Dunthorn rapporte faussement cette éclipse à l'année 3i2). Le commencement en a été observé, au rapport de Ptolémée, une demi-heure avant la fin de la nuit; d'où M. Dunthorn dit que ce commencement a été à 6h42ra du matin, tandis que les Tables ne le lui donnent qu'à 8hi5m; ce qui fait une anticipation de ih33m, et par conséquent une erreur de 47' 1 5" sur la longitude calculée.

3° Une éclipse de Lune observée à Alexandrie le 22 septembre 200 avant J.-C, et rapportée par Ptolémée d'après Hipparque. Cette éclipse a dû commencer une demi-heure avant le lever de la Lune, ce qui revient, suivant M. Dunthorn, à 5b32m, tandis que les Tables ne lui donnent que 6hi2m; ce qui fait une anticipation de 4o minutes, et par conséquent une erreur de 20' 20" sur la longitude calculée.

4° Une éclipse de Soleil observée par Théon, à Alexandrie, le 16 juin 364 après J.-C, et rapportée dans son Commentaire sur YAlmageste. Le commencement en a été à 3hi8m; d'où M. Dunthorn conclut la distance de la Lune au Soleil de 39V11", tandis que les Tables ne la lui donnent que de 35'25"; ce qui fait une différence de 4' 16", qui est l'erreur des Tables au temps de l'observation.

5° Une éclipse de Soleil observée au Caire le i3 décembre 977, et dont le commencement est arrivé lorsque le Soleil était haut de i5°43', et la fin lorsque la hauteur du Soleil était de 33-^ degrés. M. Dunthorn conclut de là que le commencement de cette éclipse a dû être à 8h25m, et la fin à iou45m du matin; et il trouve que l'erreur de ses Tables sur la longitude de la Lune est de 7' 3.6", dont la Lune s'est trouvée plus avancée.

6° Une éclipse de Soleil observée dans le même endroit le 8 juin 978, et qui a commencé lorsque le Soleil était haut de 56 degrés, et fini lorsqu'il était haut de 26 degrés. M. Dunthorn trouve que le commen-

cernent de cette éclipse a dû être à ab3im, et la fin à /^So"5; d'où il conclut l'erreur de ses Tables sur la longitude de 8' 45" dont la Lune était plus avancée.

Ces deux observations se trouvent dans YHistoire céleste de Tycbo et sont tirées d'un manuscrit arabe, qui renferme les observations de Ibn Jonis et qui se trouve dans la Bibliothèque de Leyde; ce sont celles dont nous avons parlé au commencement de ces Recherches.

Enfin une éclipse de Soleil observée à Nuremberg par Walter, le 29 juillet 1^78, laquelle donne une erreur de 10 minutes sur la longitude calculée; mais, comme il en résulte aussi une erreur en latitude de 9' 12", M. Dunthorn croit cette observation trop inexacte pour qu'on puisse s'y fixer.

Rassemblant maintenant ces résultats, on aura les éléments suivants :