INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE L'ORBITE NON ALTÉRÉE
14. Ayant décomposé les équations générales du mouvement de la comète en équations de l'orbite non troublée (n" 6) et en équations des perturbations (n° 7), nous allons nous occuper, dans cette Section, de l'intégration des premières. Nous pourrions, à la vérité, nous en dispenser, puisqu'on sait d'avance, par les Théorèmes de Newton, que, sans les forces perturbatrices, la comète doit décrire autour du Soleil une section conique dont cet astre occupe le foyer, et que le temps doit être proportionnel à l'aire parcourue, divisée par la racine carrée du paramètre. Mais, comme nous avons besoin de connaître les intégrales mêmes des équations dont il s'agit, il est beaucoup plus court et en même temps plus direct de chercher ces intégrales par l'intégration effective que de les déduire des propriétés des sections coniques.
Les équations qu'il s'agit d'intégrer sont celles-ci, en mettant pour
-j— •> -7—5 j- leurs valeurs dx dy dz
rs>
dP
df-
On peut intégrer ces équations par différentes méthodes; celle dont je vais faire usage m'a paru une des plus simples.
Je remarque d'abord que, en supposant les deux premières équations, on peut satisfaire à la troisième en faisant
b et c étant deux constantes arbitraires; et il est visible que cette valeur de z est en même temps l'intégrale complète de la troisième équation, puisqu'elle renferme deux constantes arbitraires.
Je multiplie maintenant la première des trois équations différentielles proposées par idx, la seconde par idy, la troisième par idz; ensuite je les ajoute ensemble, et j'intègre : j'ai
dx'-h dy2-\- dz'
a étant une constante arbitraire.
Je multiplie ensuite les mêmes équations par x, y, z, et j'ajoute à leur somme l'équation précédente : j'ai, à cause de r2 — x2 -h y2 -+- z2,
dt' .
Cette équation étant multipliée par d(r2), et ensuite intégrée, donne celle-ci
h étant une nouvelle constante arbitraire. Or
-d*(r2) = rd2r + dr* et [-«?(/'=) =/se?r!;
donc, si l'on divise l'équation (D) par r2, et qu'on la retranche de l'équation (C), on aura, après avoir divisé par r,
d'r . . /i ili
dP \r> r3
équation qui, en faisant 2/1 — r=p, prend celte forme
qui est, comme l'on voit, semblable aux équations primitives.
C'est pourquoi on aura sur-le-champ cette intégrale p =/as + gy, ou bien
(E) 2 h — r =fx -+- gy,
/et g étant deux nouvelles constantes arbitraires, en sorte que l'intégrale est complète.
Les équations (A) et (E) offrent déjà, comme l'on voit, deux intégrales finies. On trouvera la troisième au moyen de l'équation (D), laquelle se réduit à
r dr , ,-
dt \/ 1 ( i -+- m ) ,
lont l'intégrale est
i étant encore une constante arbitraire.
Cette équation détermineren t, et les équations (A) et (E), combinées avec celle-ci r2 = x2 -+- y2 -+- s2, servent à déterminer a;, j, s en r; ainsi l'on aura x, y, z en t. Mais ces valeurs, pour être complètes, doivent renfermer six constantes, parce que les équations différentielles proposées sont chacune du second ordre. Or l'équation (A) renferme deux constantes arbitraires b et c; l'équation (E) en renferme trois/, g et A, et l'équation (F) en renferme encore deux autres a et i. Il y en a donc en tout sept, et par conséquent une de plus qu'il ne faut.
En examinant la chose de plus près, il est aisé de s'apercevoir que cela vient de ce que la constante a a été introduite par l'intégration qui a donné l'équation (B), équation dont nous n'avons point tenu compte dans la suite du calcul comme d'une équation intégrale. Il est donc nécessaire d'avoir égard à cette équation, et il en doit résulter une équation de condition entre les constantes; en sorte qu'il n'en restera plus que six d'arbitraires, comme le Problème le demande
15. Commençons par déterminer x, y, z en r. Les équations (Aj et (E) donnent, en retenant/» à la place de 2 h — r,
x gz — cp = fz-bp
bg—cf <f-(>g'
substituant ces valeurs dans x2 -+- j2+ z2 = r2, et ordonnant par rapport à s, on a
[(Çf- bgf+f"- + g2] z>-z(bf+ cg)pz + (*»+ <*)/>•- (e/- *ff)»r»= o,
d'où l'on tirera s, et ensuite a; el j. Si l'on fait, pour plus de simplicité,
on trouvera
I J[/+cf/-tg)]j'-g?
! r [g-ft^/-ftg)']^+/g
]• {cf-bgy+f>-±g> '
f . (bf+cg)p + (cf-bg)q
W-bgY+f + g*
16. Maintenant l'équation (B) donne, en chassant «fr, par le moyen de. l'équation ( D),
(fa2 -+- dr2 -h dz2 = dr2 ;
mais les équations précédentes donnent
dx> + dy, + dz,= (i + *+f)c¥+d<f
il faut donc que ces deux expressions de dx2 ■+- dy2 -+- dz2 deviennent identiques après qu'on aura substitué dans la dernière les valeurs de p et q en /•.
Ces substitutions faites, on verra que l'identité aura lieu en effet, en faisant
(H) *A=i '(c/-ig)'-|-/' + g'
C'est l'équation de condition cherchée.
Si, dans l'expression de q du numéro précédent, on substitue la valeur de (c/— bgY -\-f- -+- g2 donnée par l'équation (G), que nous venons de trouver, et qu'on y mette de plus pour p sa valeur ih — r, elle deviendra
17. Pour pouvoir appliquer les formules précédentes au mouvement des comètes, il faut connaître les valeurs des constantes que ces formules renferment.
Pour cet effet, je remarque d'abord que l'équation (A) est celle d'un plan dont la position, à l'égard du plan des coordonnées x et y, dépend des constantes b etc. Ce plan sera donc celui de l'orbite de la comète, et qui est déterminé par les observations.
Soient w l'angle que l'intersection des deux plans, c'est-à-dire, la ligne des nœuds de l'orbite sur le plan des x et y, fait avec l'axe des x, et ij< l'inclinaison de l'orbite sur ce dernier plan; il est facile de prouver
qu'on aura
c = tan g 4* cosw, 6= — tang^sino.
L'équation (E) servira ensuite à déterminer la ligure de l'orbite; et il est aisé de conclure de la forme même de cette équation que l'orbite ne peut être qu'une section conique, ayant le foyer dans l'origine des coordonnées, en sorte que r sera le rayon vecteur de l'orbite.
Les deux apsides seront donc aux points où -y- = o; or, dans ce cas, l'équation (D) donne
équation dont les deux racines sont
La somme de ces deux racines sera le grand axe, et leur différence, divisée par la somme, sera l'excentricité. Donc le grand axe de l'orbite
sera a, et l'excentricité sera 1/ i — — * que je désignerai dans la suite par e.
Puis donc que
a\Ji — e2 = \f^ha= au petit axe de l'orbite;
par conséquent, l\h sera le paramètre du grand axe.
Or on sait que le rayon vecteur qui répond à 90 degrés d'anomalie, c'est-à-dire, qui est perpendiculaire au grand axe, est égal au demi-paramètre. Donc on aura à 90 degrés d'anomalie r = ih, et l'équation (E)
donnera fx -+- gy =■ o; d'où l'on tire — = — —■> égal par conséquent à
la tangente de l'angle que fait avec l'axe des x, dans le plan des x et y, la projection du rayon vecteur qui répond à 90 degrés d'anomalie dans l'orbite.
Soit cet angle =90° + s, on aura donc ^ = tangs; donc, faisant
/= \Jf2-+- g2 . on aura g = ls\nt, f—lcose; ces valeurs étant substituées dans l'équation (H) du n° 16, ainsi que celles de b et c trouvées
ci-dessus, et mettant e1 à la place de 1 — — ■> elle deviendra r a
„ 1 + tang2A cos2(w — g) ,„.r . .. . , ,-.
ei=l1 ^-\ ^i '-=:p\i — sin'iLsin2 w — s 1;
y/i — sin2^ sin2(w — e)
de sorle qu'on aura
y/i — sin2^sin2(co — e) \J i — sin2^ sin2(co — e)
18. Si l'on fait coïncider le plan de l'orbite avec celui de x et y, on aura <J< = o, et l'angle s sera évidemment celui que le grand axe de l'orbite fait avec l'axe des x. Donc, si l'on suppose de plus que ces deux axes coïncident, on aura aussi £ = o; de sorte que, dans cette hypothèse, b = o, c = o,f= e, g = o, et les formules (G) du n° 15 donneront
Jh
Or il est visible que, dans ce cas, x et y deviennent les coordonnées de l'orbite dans le plan même de cette orbite; et comme ces coordonnées doivent être indépendantes de la position du plan de l'orbite, il s'ensuit que les valeurs précédentes de a? et y exprimeront toujours, l'une l'abscisse prise dans le grand axe depuis le foyer, et l'autre l'ordonnée rectangle dans le plan même de l'orbite, quelle que soit d'ailleurs la position de ce plan. . .
Donc, si l'on nomme o l'angle du rayon vecteur r avec le grand axe, on aura, dans la supposition précédente,
.r = rcos<p, j = rsin<p;
savoir
ih — r . 2 JTi I r2 ,
r cosç = ? rsmm = — — i / r n:
d'où l'on tire
-, Jr-rl-h = ^l
io y fi i + e
cette expression de r fait voir que <p est l'anomalie vraie de l'orbite, comptée de son périhélie.
vi. 54
On aura donc, en général,
ersincp
p = ercosq>, 0 = r^-i
r t i cos^
et l'on pourra, par ces substitutions, dans les formules (F) et (G), avoir les valeurs de t, oc, y, z exprimées par la seule anomalie tp.
