Dans le nœud, ona; = o; donc (équation G
(bf+cg)p-h(cf-bg)q = o,
savoir, en substituant les valeurs précédentes de p et q,
.,,- , - - , , sinœ
(*/+ cg) cos? + {cf— bg) -— ^ = o,
où <p est l'anomalie qui répond au nœud.
Dénotons cette anomalie par x, on aura donc
\bf-\- cg) cosa cos^1 -t- {cf— bg) sina = o;
d'où l'on tire
g e sin a. ■+■ b cos 41 cbs a
f èsina — c cos^j/ cosa
et, en mettant pour b et c leurs valeurs (n° 17),
g — cosw sina -+- cos^ sinw cosa
f sinw sina -+- cos<\i cosw cosa
maison a trouvé plus haut (n° 17) ^ = tangs; ainsi l'on aura l'équation
— cosw sina -4- cosAi sinw cosa
tang£= — : : j— E ■■,
sin w sin a -+- cos 41 cos w cosa
d'où il est aisé de tirer
— cosw sina -t- cosili sinw cosa sinw sina -+- cos <1> cos w cosa
sin£ = ' '•s cose = ====== ;
y/i — sin2i]j cos2a \/i — sin2J>cos2a
et, en substituant ces valeurs dans les expressions de/et g du n° 17, on trouvera
~ I sinwsina
J=e cosco cosa -+-
cos^ 7 V costj' /
par là, et par les valeurs de b et c, on aura
cf — bg= élans ûi cos a, bf-hcg = 5! ,
j, . ~ , . e(cos<u cosa -H sinw sina cos<L) /-f- c(cf— bg) = -i -j J-i,
, , . , , efsinwcoso: — coswsinacosiM ,„,<„,. eJ g — b(cf—bg} — — — n I-i, (cf—bg)2-i-f'-\-e'= — ;
de sorte que, à cause de/> = ercoso, q = ^p» les formules (G) du
n° 15 deviendront
x = r [cosw cos(9 — «) — - sinw sin(<p — oc) cos^], jrz= r [sinoo cos(a> — oc) -+- cosw sin(<p — oc) cos^]» z=r sirn|;sin(<j> — oc),
dans lesquelles © — a est ce qu'on nomme l'argument de latitude. 20. Si l'on fait
- — sin u, 9.t
et qu'on se souvienne que i/ i— — = e (n° 17), il est clair que l'équation (F) du n° 15 prendra cette forme très-simple
u — esinw = 0,
dans laquelle u sera évidemment ce que l'on nomme, d'après Kepler, l'anomalie excentrique, mais comptée du périhélie, et où ô sera, par conséquent, l'anomalie moyenne.
Donc, comme 6 = i lorsque t = o, on voit que la constante i n'est autre chose que l'époque de l'anomalie moyenne.
En appliquant les formules au mouvement de la Terre autour du Soleil,
et prenant la distance moyenne - pour l'unité, on aura, en négligeant vis-à-vis de i ,
t -+■ i = 0 = l'anomalie moyenne du Soleil ;
d'où il s'ensuit que t, exprimé en angles, représentera proprement le mouvement moyen du Soleil pendant le temps écoulé depuis l'époque d'où l'on part; et qu'ainsi, en divisant la valeur de t par 36o degrés, ou bien, si t est exprimé en nombres (la distance moyenne du Soleil étant l'unité), en divisant la valeur de t par le rapport de la circonférence au rayon, on aura le temps exprimé en années sidérales, puisque nous pouvons faire abstraction ici du mouvement de l'apogée du Soleil. Or, puisque
il est clair qu'on aura
donc
et comme (nos 15 et 1 6)
p = ill — r, q
ir
— = e cosm;
on aura, a cause de h = — — ; — -]
p= — (cosw —
<7 = — y/(i — e') [i -t- b' -t- c-)smu.
De sorte que, en substituant ces valeurs dans les formules (G), on aura aussi x,y, z exprimées en u.
Dans la parabole, le grand axe a devient infini, par conséquent l'angle u estinfiniment petit. Dans les ellipses très-allongées, telles que sont les orbites des comètes, la quantité a est seulement très-grande ; donc l'angle u sera très-petit, du moins tant que r n'est pas fort grand
Dans ce cas donc on aura
u = siriM -t- 7: sm3u -+- y— sin'w H sin'H -+-. . . ,
et l'équation entre 6 et u deviendra
8 = (1 — e) sinu -4- 7 sin3w ^- 7— sin5M H sin'w -l- . . . ;
