INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES PERTURBATIONS

22. Nous avons vu, dans la première Section, que x, j, z étant les coordonnées de l'orbite non altérée, et x-h 8x, y + fy, s -+- §s celles

de l'orbite troublée par l'action d'une planète \x, on a pour la détermination des quantités Sx, fy, §z les équations suivantes

dt' ' ; \ dx2 dx dy dx dz

dt2 "' \dyd.v"" df * dy dz

d2 dx

r- = (i + m) \ -r- èx + -~-r- dy -+- -r— j- dz / - pX,

*&={i + m)\-r-jj-dx+ ~ ôJ+-7-^-ôz ;FY,

df- =(, + m)V^iô" + ^i:ôr+ ~sf **)-&

en faisant, pour abréger (n° 12),

dx dy dz

23. C'est donc de l'intégration de ces équations que dépend la recherche des perturbations causées par l'action d'une planète quelconque sur la comète. Or cette intégration dépend, comme l'on sait, de celle du cas où il n'y aurait aucun terme tout connu, à cause que les variables inconnues ftx, dy, dz ne paraissent que sous la forme linéaire. Ainsi toute la difficulté se réduit à intégrer des équations de la forme suivante

d2àx

df' "' \ dx2 dx dy ■ dx dz

d-f = (l + m)\dyix§X+ ip èr+dyiz-

dt2 \dzdx dzdy J dz2

24. Si l'on se rappelle les calculs du n° 7, on doit voir que les équations précédentes résultent des équations de l'orbite non altérée, en y

faisant varier les .quantités x, y, z, des différences âx, By, iïz regardées comme infiniment petites. Donc les intégrales des équations dont il s'agit doivent résulter aussi des intégrales des mêmes équations de l'orbite non altérée, en y faisant varier non-seulement ces mêmes quantités, mais encore les constantes arbitraires introduites par les différentes intégrations, et qui, n'existant point dans les équations différentielles, peuvent, à leur égard, être aussi regardées comme variables.

Ainsi donc, pour avoir les intégrales des trois équations différentielles du numéro précédent, il n'y aura qu'à différentier à l'ordinaire les intégrales de l'orbite non altérée, trouvées dans la seconde Section, en y regardant les trois indéterminées x, y, z et les six arbitraires a, b, c, f, g, i, comme variables à la fois, et marquant leurs différences par la caractéristique 5 [à l'égard de A, elle doit aussi être traitée comme variable, parce que c'est une fonction de a, b, c, f, g, donnée par l'équation (H) du n° 16] ; les différences de ces arbitraires seront elles-mêmes les nouvelles constantes arbitraires que les intégrales cherchées doivent contenir pour être complètes.

25. Comme les formules (G) du n° 15 donnent x, y, s en r, et que la formule (F) du n° 14 donne r en t, on pourra tirer directement de la différentiation des premières les valeurs de Sx, By, Bz en Br; ensuite on aura Br par la différentialion de la dernière; mais, à la place de r, il sera plus simple d'introduire l'angle u, au moyen des formules du n° 20; et, pour donner à notre calcul toute la simplicité dont il est susceptible, nous remarquerons de plus que, la position du plandesa; ety, auquel nous avons jusqu'ici rapporté l'orbite de la comète, étant arbitraire, on peut, sans nuire à la généralité du Problème, supposer que ce plan coïncide avec celui de l'orbite non altérée de la comète; et l'on peut, par la même raison, supposer aussi que l'axe des # coïncide avec le grand axe de la même orbite, en sorte que les abscisses x soient prises depuis le foyer et soient positives en allant vers l'apside inférieure.

Ces deux suppositions donneront (nos 17 et 19)

ijj = o, a = u; donc b = o, c = o, /= e, g' = o,

ce qui simplifiera beaucoup les expressions finies de x, y, z; mais, comme les différences âb, Se, dg ne sont pas nulles, il ne faudra pas faire disparaître entièrement les quantités b, c, g; mais il en faudra conserver les premières dimensions dans les expressions de ce, y, z, afin de pouvoir en tirer par la différentiation les valeurs complètes de Sx, fty, dz.