VI— V

donc, substituant cette valeur, ainsi que celles de V et de &V, et réduisant, il viendra

, . / 1{ i -+- m ) en

oi= '-t\/- - '■ —

2i> ôv -t- ■ j— (e — 2»)

\jv — v- — n

ou il n v aura plus qu a remettre pour v et n leurs valeurs -, —, et par

-.,»,, ,. , aôi — rda aèh — h 8a conséquent pour w et on les quantités ■> -2

Après avoir trouvé cette expression de ai, j'ai remarqué qu'elle avait l'inconvénient de contenir au dénominateur le radical \]v — v- — n, savoir

\Ja

lequel, comme on l'a vu dans le n° 17, devient nul dans les deux apsides de l'orbite; de sorte que, comme ôV ne saurait devenir infini, il faut nécessairement que le numérateur soit alors pareillement nul ; d'où il s'ensuit que la formule sera en défaut dans ces deux points.

Pour éviter cet inconvénient, il faut tâcher de donner une autre forme à la valeur de 8i, et qui soit telle, qu'il n'y ait aucune fonction des variables au dénominateur; voici comment je suis parvenu à ce but.

Je considère que la quantité

ÔV

v/i-Vs est la même chose que celle-ci

y/ï — yiav — Vàsji — V», et qu'ainsi on peut réduire la première expression de §i à celle-ci

Ôl =

mais

3/y/2(l^wl ^ + (/7^v^-v'7=r4^)av-va(v,.-v^ + v'7^4^);

i\Jv — V1 — Il

\Ji — 4n \fa\ji — 4«

et, par le n° 16 et à cause de h = na,

ay/i — 4ft v/re(r + ^2 ■+■ c2) v^1 — 4n

par conséquent (n° 14)

y/i — 4W aV^J — 4n a\Ji — ^n

donc, faisant ces substitutions dans l'équation précédente, et effaçant les termes qui viendront de la différentiation de la quantité

a\ji — 4W>

laquelle divise/) et q, parce que ces termes se détruisent mutuellement, on aura

, . 1/2(1 + m) èa 01 = 3t - — i —

( ôd — 2 a en )

Or les formules (G) du n° 15 donnent

p =fx + gr>

?-[/+ o\cf- bg)]y-[g-b(cf- bg)]x;

donc, substituant ces valeurs, on aura pour 8i une expression toute rationnelle et entière, et qui ne sera par conséquent sujette à aucun inconvénient.

On remarquera encore, à l'égard de 8/, 8g, 8b, 8c, qu'on peut aussi les exprimer d'une manière -plus simple et plus commode à quelques égards, en les déduisant directement des équations (A) et (Ej, différentiées d'abord relativement à la caractéristique 8, et ensuite par rapport à la caractéristique ordinaire d; ce qui, dans le fond, revient au même que si on les différentie d'abord par rapport à cette dernière caractéristique, et ensuite par rapport à la première, ainsi que nous en avons usé plus haut.

De cette manière, l'équation (E) donnera ces deux-ci

2ÔA— or = x§f-hyog-{-fèx-i-gôy, — dèr = dxèf-\-dyèg->r-fdb>x->rgdèy;

d'où l'on tire, en mettant pour xdy — ydx sa valeur Kdt \Za(i + m) ,

__ dy(2èh — or) -+- yddr —f(dyèx — ydèx) — g{dyèy — ydèy) Kdt\Ji(i H- m)

dx{ 2<5/i — dr) -+- xdâr — f(dxèx — xdSx) — g(dxdy — xd§y) Kdtji(i-+-m)

De même l'équation (A) donnera ces deux-ci

âz = x $b -+- y de ■+■ b ôx ■+■ c oj , dèz == dx ôb -+- dyàc -+- bd ôx ■+■ cd ôy;

d'où l'on tire

dràz — y dèz — b(dyëx-ydèx) — c(dyôy — ydôy)

du = — : : = — '■ — ?

Kdt <J-2(i + m)

dxèz — xdàz — b(dxèx — xdèx) — c(dxêy — xddy)

àc = — — • ■■ i

Kdt )/2{i + m)