ap.^(^--")(;-^)^^p.^(^-")(^7^)(^-3)a

-rt \ ^(^-O^p. I /^(n--i)(n-~2)a» ^ ^(n- i)(n-- ?0(#t- 3)fl»

^ I rfP r n(n— 1) , n(n— i)(ii — 2) ,^

(]es deux expressions de Q ne sont pas à la vérité identiques, mais elles deviennent égales lorsque p est égal à p^, p^, p,...; ce qui suffit pour notre objet.

Faisant donc ces substitutions dans la dernière formule du n** 30, on aura l'expression générale des quantités r, et le problème sera résolu.

Au reste, quoiqu'il soit difficile, peut-être impossible, de déterminer en général les racines de l'équation P = o, on peut cependant s'assurer, par la nature même du problème, que ces racines sont nécessairement toutes réelles inégales et négatives; car sans cela les valeurs de y', j", j*',... pourraient croître à l'infini, ce qui serait absurde.

37. Si l'on cherche quelles doivent être les distances et les vitesses initiales des corps pour que chacun d'eux ne fasse que des vibrations isochrones et analogues à celles d'un pendule simple, on trouvera (n^ 35),

DE CALCUL INTÉr.RAL.

rn prenant / pour la longueur de ce pendule.

el la valeur de /devra se déterminer par Téquatiou na n[n — i)a^ /i(/i— i)(n — 2)

'"T-^ — 47^ TW~' "^- •^"•

Des vibrations f/'une corde tendue et chargée d'un nowhrc quelconque de poids.

38. Quoique j'aie déjà résolu ce problème dans mes Recherches but le son, «imprimées dans le premier volume de ce» Mémoires, je crois pouvoir le redonner ici, non-seulement pour faire voir comment ma méthode générale s'y applique, mais encore parce qu'il me donnera lieu de faire de nouvelles réflexions sur les vibrations des cordes sonores, qui pourront être utiles à Téclaircissement de cette matière épineuse et délicate.

Supposons une corde chargée de n poids égaux qui la divisent en n ^ I parties égales que nous ferons chacune égale à a, et tendue par un poids qui soit à la somme de ceux dont la corde est chargée comme

c* est à I ; nommant y^y'^y" y" !<?« di.Mances des poids à l'axe de

la corde, et faisant, pour abréger.

on aura

hH.

Donc, en comparant ces équations avec les équations générales du n'' 30, on aura les équations suivantes en >/, >/', X*",...,

d'où l'on tire, en supposant i h- -^ = cos^,

sin? sinQ

et en général

sin9

Et pour la détermination de l'angle 9, c'est-à-dire de la quantité c, on

aura l'équation

- -^.* sin(/i -f- 1)9,, sincp

laquelle donne

mi:

n -hi

71 exprimant l'angle de 180 degrés, et m un nombre quelconque entier depuis zéro jusqu'à n inclusivement. De sorte qu'on aura

0 = /r i/2 cos © — 2 = 2 A' siii - 9 V — I = 2 A* sin — ; r v — i ;

ce qui donnera toutes les valeurs de 0 que nous avons désignées par p^, Pi> Ps»-.-» P/i» en faisant m successivement égal à i, 2, 3,..., /i.

On trouvera des équations entièrement semblables en v', v", v'^

d'où l'on tirera pareillement

sincp

DE CALCUL INTÉGRAL. ikî

De plus on aura

sin'9 sin»

— (sin'9 -h sin'29 H- sin'2(p -h . . .-h sin'iKjp»)

__ -n (COS29 H- C0S4? -»- COS69 -h. . . -h f!OS9./l9)

y' X^ r I I /cos 2119 — cos 2(11 -+- 1)9 ivl

sin^9 L2 2\ 2(1 — 00329) ^/J'

ou, a cause de © = ?

2 sin*©

On trouverait la même valeur de Q par la méthode du n" 31 ; mais le

ealcul serait alors tant soit peu plus long. Cependant, comme ce calcul

peut servir a montrer la bonté de la méthode dont nous parlons, je n'ai

pas cru devoir le supprimer, mais je l'ai renfermé entre deux crochets,

atîn que mes lecteurs puissent le passer s'ils le jugent à propos.

^On aura d'abord

p ^ sin(/i-f-i)9 .

(/iH- i)sin9 *

•»' • n sinv/i-Hi)a> , . , ^ •. sin(ii-»-i)9 ..

1 écris P = — ^ — r-r^ et non pas^simplement P = — ^ -^-^ ahn (lue,

lorsque p = o, c'est-à-dire 9 = o, on ait P = 1 , comme nous l'avons supposé; d'où l'on tire par la ditférentiation

dP cos(/i-h 1)9 ^ ainin -h 1)90089 tio "" sin9 ^«-♦-i)sin»9

ou, à cause de sin n -h 1 19 = o,

dP __ cos(/i -+- 1)9 .

dQ ~ sin 9 ^

or l'équation i -h ~ = cosy donne