III I

Cest le théorème que M. Daniel Bemoulli a déduit, par induction, de la ronsidération du mouvement d'une ronle chargée de plusieurs poids.

Si Ton veut que les osirillations de?* corps devien»#»nl Mmples cl isw»rhrones, on supposera que l'état initial du AVUtèine A<iit !<•!• que Ton ait

53i SOLUTION DE DIFFÉRENTS PROBLÈMES

pour toutes les valeurs de p^, hors une quelconque à volonté comme pi; rar alors les quantités $i, $2, 0^.... seront nulles, k l'exception de 6,^, et

par conséquent la valeur de 7^'^ se réduira à ^0^- Mais, les équations (m)

étant absolument semblables à Téquation (h) du n^ 30, il est clair qu'on

aura pour la détermination des quantités Y', Y", Y'^,..., V', V", V"

des équations analogues aux équations (k); d'où il s'ensuit que ces quantités seront en raison constante avec les quantités v'^, v]„, v^»--» vj; : de sorte qu'on aura

>;, V -f- /:Y-^/:Y-^...-h>rYv"- >.:v-hx;v-^cv--^...^x^- \>>

donc

y,(s) Y(- cos /•« / -+- V^'^ ^^^^ .

Ainsi le mouvement des corps sera le même, dans ce cas, que s'ils étaient pesants et qu'ils fussent suspendus chacun k un fil de longueur

^» la gravité étant prise pour l'unité des forces accélératrices; d'où l'on

voit que le système est susceptible d'autant de différents mouvements isochrones que l'équation P=o a de racines réelles négatives et inégales.

Des- oscillations d'un fil fixe par une de ses extrémités, et chargé d'un nombre quelconque de poids.

36. Soit n le nombre des poids, que nous supposerons, pour plus de simplicité, égaux entre eux et également éloignés les uns des autres; imaginons que le fil ne fasse que des oscillations infiniment petites et dans le même plan; et soient nommées j, r", y,..., j^"^ les distances des. corps à la verticale, à commencer par le plus, bas, et a la distance d'un corps à l'autre: on aura, comme il est très-aisé de le voir parles principes de la Dynamique, et comme on peut le déduire des formules

générales que j'ai données dans le Mémoire intitulé : AppHcation de la méthode précédente à différents problèmes de dynamique ^page 398;.

dt- ^~~i -""'

dt^ ^ a a ^""^

dl^ a , a

dr a a

«•Vst-à-dire

dt^ a ' a

dp '^ à ^ "

dt^ a — =^'

do a '

dr- a

(*omparant ces équations avec les équations (a) du n^ 30, on trouviTa qu^' les équations ' c\ du même numéro deviennent relles-ri :

:jr

Of

d'où l'on tire

)/'=(n-ap»)>',

^« -X'-i-(3 + ap»)X" / , oy\v

et ainsi de suite; de sorte qu'on aura en général

^/-^ r / X , (m — i)(/iî — 2) , , (m— i)(/iî — 2)(m — 3) . . T., >.('")= i-4-(m — i)ap'-4-^ ^ -a^p*-h^ ^-^—7 ^^^ ^««p^-h... U'.

Or il est visible que, pour satisfaire à la dernière équation

il faut supposer

ce qui donne

. ^«^r.2 L. n(n—i)a\, . n(n— i)(n — 2)a*^^ , __ I -+■ nap^ -\ 7 p* H 7 p» -h . . . = o,

équation d'où l'on tirera n valeurs de p*, qu'on désignera par p*, pi, Pa^ ••» Pn » et qu'on substituera successivement dans l'expression de V"^ pour avoir les valeurs de 'k'^\ y}^\ X'^',....

A l'égard des quantités v, on les trouvera de la même manière par le moyen des équations (k), lesquelles deviennent, dans le cas présent,

p*ir H = o,

d'où Ton lire, roninie oi-dessus,

i-i-(/n — i)rtp'-l- '-^ ^«y-h- ^^— j -a>p*-h... v',

ou bien, en supposant )/ = v'= i pour plus de simplicité,

et, par conséquent, On aura donc

— I -+-(i -l-ap»)'^- I " -+■ 2ûp*H pM -»-. ■ .

^1 i-^(/i-i)ap'-h' ^^^ f>*-»-. • J-

Mais on peut trouver une expression plus simple de cette i|uantité par la méthode du n** 31. Car on a d*abord

/i(/i — i)a' nin^ \)(n - y a*

V—i-^nao'^ ^^ — 7 — -û"^-- /-- ■ &• - . ..

d'où l'on tire

- û -;- — nao" H- p* -^- 7 . ?• * •

Or, en faisant û = o, on a

L ti8

donc

-h I -f-ap^

-h I -f- iaçi^-\ p*