I .. f-hf-h/r/ I .. s— \ -\-kt

i ord. ansf. -7 ord. absr-.

— -rord.absr. h-rord.absc.

Substituons maintenant dans les expressions de 9 'j:j et de 'i* x, les

valeurs de Y,, Y,, Y3,..., Y„, P,, P^, P3 P/,, et Q,, Q,, Q, Q„, et

supposant en général

X(w, x)t=l^\\\ut: sin^rr -h sin^.MT: sin?,j:7: -+- sinSa?: sinS^r -f-. . . -+- sinnwT: %\ï\nxT., nous aurons

. . Y'-hP' / I V Y''-hP'' / 2 \

/t-f-i'^'\n-hi / «-f-i^\/H-i /

Y^-hP^ / 3 V Y<'')-hP(«) / n \

et

DE CALCUL INTÉGRAL. 5i9

Oi-

•y.rosu-Rxtu, x)

= 9. oosMTt sinun sinxir + acosMTr smiun sin2J?ii

-h 2COSM7r sin3a7r sin3:r7r -*-...-!- 2COsa7r sinnttTr sin/w:r irrsin^aTr sin^rîr H- (sini/Tr -h sin3a7r)sin2j7 7r

-f- (sin^MîT -h sin4Mîr)sin3j:7r -h. . .

H- [sin ( /i — I ) mt: -f- sin ( n-h I ) Mît] sin/MTTr — sin2^7r sinaTT -f-(sin^7r -h sin3jr7r)sin2a7r

H- {sin2^7r H- sin4^7r)sin3a7r -h. . .

-4- [sin(/i— i)^7r -h sin(/i -h i)j77r]sinnM;:

-h sin(Aï -f- i)tt7rsin/i^7r — sin(Aï -f- \)xr.smnuT: - 2 rosj::7rx(M» •^) -^- sin(/i -h i) MTrsin/ijrTr — sin(/i H- i)^7rsin/iii7:.

Donc

, , sin(/i -h iJMTTSinnj::: — sin(n -f- i) J^rsin/iMT: ^ 2(cosa7r — cosxtt)

Soient

m et s étant des nombres entiers, on aura

sin(/i -f- i)a7r = sinm7r = o,. sin(/i -h i)jr7r = sin*7r = o;

par conséquent,

/ ni s \

Il en faut excepter le cas oix s = m, car alors le numérateur et le dénominateur de la formule deviennent égaux chacun à zéro. Pour trouver la valeur de /(w, x) dans ce cas, on fera a?=5a-f- w, w étant une quantité évanouissante, et Ton aura, en effaçant ce qui se détruit,

n sin ( n -h i) ut: cos nui: (n ~h i) cas in -h i)ui:sii\ nui:

^ ' asinuTT ^sinuTr

Donc, taisant u=^x .

(n -h ijcosmTTsiii

2Sin

Oi

ot

rosmrsin 7: r= - sin mr, sm r.

m \ .ni

sin

siii mr: =: sin hxm ) t: =

à cause que /w esl un nombre entier); donc

nm m

el, par

ronséquent,

"^^ \ /î -4- 1 ' in- I / """ 2

On aura donc cVst-k-dire que les deux courbes qui représentent les fonctions &«> j el

^ [x) doivent être telles, que les ordonnées répondant aux abscisses soient Y(*^-hP(*^etQ'*.

Ayant donc divisé Taxe de la corde, que je suppose égaJ k 1 , en /i -t- 1

parties égales, on appliquera à chaque abscisse deux ordonnées,

l'une égale à Y^^^-h P^*^ et l'autre égale à QJ*\ et l'on fera passer par les extrémités de chacune de ces deux suites d'ordonnées deux courbes représentées par l'équation

V étant l'ordonnée qui répond à l'abscisse x, et «, jS, 7,..., w des coelïicients arbitraires; on aura de cette manière les courbes qui serviront à

déterminer, pour un temps quelconque /, la figure du polygone vibrant « comme nous l'avons enseigné plus haut.

A regard de la continuation de ces courbes, il est clair qu'elles s'étendront de part et d'autre à Tinfini, et seront composées de branches égales, semblables et alternativement situées au-dessus et au-desvsous de l'axe, de sorte qu'il ne faudra que tracer les branches qui répondent à l'axe i, et les transporter ensuite alternativement au-dessus et au-dessous de» l'axe prolongé à l'infini de part et d'autre.

40. Supposons présentement que le nombre n des corps soil trèsgrand, et que, par conséquent, la distance a d'un corps à l'aulre soil très-petite, la longueur de toute la corde étant égale à i; il est clair cpie les diflérences A^Y, A* Y,... deviendront très-petites du second ordre.

du quatrième,...; donc, puisque ^= y — = -» à cause de // = -^ les

quantités AA^ Y, A A* Y, Ai* A* Y,... seront très-petites du premier onire, du troisième, du quatrième,..., et par conséquent les quantités P el Q pourront être regardées et traitées comme nulles sans erreur sensible.

Ainsi, dans cette hypothèse, on aura à très-peu près le mouvement de la corde, en faisant passer par les sommets des ordonnées très-proches

Y', Y", Y" lesquelles représentent la tigure initiale du poly;<:oin-

vibrant, une courbe dont l'équation soit

>• = asinTTx -h 3sin9.T:x -f- y sin37:J' -h. . . -♦- '.»sin /i-.r. et que j'appellerai génératrice, et prenant ensuite pour l'ordimnet- du polygone vibrant, qui répond à une abscisse* quelconque ^ ^ .r. I:<

demi-somme de deux ordonnées de cette courbe, desquelles rum- reponde à l'abscisse

s -h ht

et l'auti'e réponde a i'absi*isse

et cette détermination sera toujours d'autant plus exacte que le nombre n sera plus grand. Or il est évident que plus le nombre des poids est grand, plus le polygone initial doit s'approcher de la courbe circonscrite; d'où il s'ensuit qu'en supposant le nombre des poids infini, ce qui est le cas de la corde vibrante, on pourra regarder la figure initiale même de la corde comme une branche de la courbe génératrice, et qu'ainsi pour avoir cette courbe il n'v aura qu'à transporter la courbe initiale alternativement au-dessus (»t an-dessous de l'axe a l'infini f numéro précédent;.

41. On pourrait douter s'il ne faut pas que la courbe initiale de la corde soit aussi comprise dans la même équation

y = asinTT^ -i- ;3sin 9.7:.r -+-

Il est certain que si l'on veut que la courbe génératrice soit la même géométriquement que la courbe initiale, il faut que celle-ci soit renfermée dans ré(|uation v= s^siurra^-f- jS sin^Tra: -h.,.. Je dis : la même géométriquement, car il suffit que la différence de ces deux courbes soit moindre qu'aucune grandeur donnée, pour qu'elles puissent être prises pour les mêmes. Or il est clair que, quelle que soit la courbe initiale, on peut toujours faire passer^ par une infinité de points infiniment proches de cette courbe, une» autre courbe de la forme