V- asinr.r -^ [3 sin 2rx

de manière que la différence entre les deux courbes soit aussi petite qu'on voudra, quoique cette différence ne puisse devenir absofument nulle que dans le cas où la courbe initiale sera aussi de la même forme; dans tous les autres cas cette courbe initiale ne sera qu'une espèce d'asymptote dont la courbe génératrice pourra s'approcher à l'infini, sans qu'elles puissent jamais coïncider entièrement.

Pour confirmer ce que je viens de dire, je vais faire voir comment on peut trouver une infinité de telles courbes, qui coïncident avec une courbe donnée en un nombre quelconque de points aussi près les uns

des autres qu'on voudra. Pour cela je prends Téquation

r = sinxTT H Sin2^7r H sin3^7r -h. . . -+- sinw^Tr,

•/i-i-i n-f-i n-hi /iH-i

dans laquelle

\„,=z\' sm h Y' sin h Y^'sin h., .-i- V^^^sin ?

n -\- \ n-f-i /i-hi /ï-hi

et, par ce que j'ai démontré dans le n" 39, j'aurai, lorsque x = ?

Soient maintenant

on aura

w -h I = -j— et = \,

aX /i -f- 1

V„, = / Y sin/nX7: = (/î -»- 0 / Y sinmXrc/X,

cette intégrale étant prise depuis X = o jusqu'à X == i ; par conséquent r = 2 1 YsinXrrfXsinjTT: -f- 2 i Y sin 2X7: c^X sin 2^:77

-h 2 / V sin3X7:(/Xsin3j:7: -h. . .-h 2 1 Ysin wXrrfXsin wxtt,

de sorte que, lorsque a=X, on aura r= Y, Y étant l'ordonnée qui répond a l'abscisse X.

Or, soient Z une fonction quelconque de X, et z une pareille fonction de x\ il est clair qu'en mettant dans l'équation précédente YZ au lieu de Y, et yz au lieu de j, on aura aussi, lorsque \ ^ x,

yz = YZ,

c'est-à-dire, à cause de r = Z dans ce cas,

D*où il s'ensuit que si l'on a une courbe quelconque rapportée à un axe

égal à I, et dont les coordonnées soient X et Y, et qu'on décrive sur le

même axe une autre courbe dont l'équation, en prenant x et y pour les coordonnées, soit

r=-^ fzYsinXTrrfX-f-^ TzY sin?.\7rrfX -h ^ rZYsin3X7rrfX -h . .

-h -^ I ZYsinnXTirfX,

ces deux courbes coïncideront dans tou§ les points qui répondent aux

abscisses

S et n étant des nombres entiers, quelle que soit d'ailleurs la fonction Z: or on peut rendre n et s si grands que, les points de coïncidence soient aussi près les uns des autres qu'on voudra,

Au resU^ il ne faut pas manquer d'observer que la construction donnée ci-dessus, pour représenter le mouvement de la corde vibrante, n'est exacte qu'autant qu'il est permis de négliger les quantités P et Q comme nous l'avons fait (n^ 40). Or il est clair que ces quantités seront toujours

nulles d'elles-mêmes, si -r^ ne fait de saut nulle part dans la courbe

initiale, ni dans les brancbes alternatives; ainsi, pourvu que cette condition soit observée, on pourra toujours déterminer le mouvement de la corde, quelle que soit d'ailleurs la nature de la courbe initiale.

Notwelle manière d'intégrer par approximation l'équation

(A) ^Y -^ KV ^ L -f iMj^ -H- i^Nj' -^ ... = o,

dans Ut quelle K, L, M, N,... sont des constantes quelcorujues , et i marque un coefficient très-petit.