I -H J I / ^ ds 1 -f- J qdq

donneront, en faisant, pour abréger, S jt— y^i 4- y* = a,

72. Les observations nous apprennent que le mouvement de Jupiter autour du Soleil est à peu près circulaire et uniforme, et que le plan de son orbite ne fait qu'un très-petit angle avec celui de l'écliptique; d'où il s'ensuit que si l'on nomme a la distance moyenne de Jupiter au Soleil, et h sa vitesse angulaire moyenne, on pourra supposer

r = a ( I -f- iV), 9 r= A/ -h ix, q i= iz,

y, X, z étant des quantités variables, et i un coefficient très-petit, où il

faut remarquer que les valeurs de v et de -.- ne doivent renfermer aucun

terme tout constant; autrement, contre l'hypothèse, a eX h ne seraient

plus les valeurs moyennes de r et de -^'

Cela posé, si Ton fait ces substitutions dans les équations [i) du n" 68, et qu'on divise la première par a, on aura, en poussant la précision jusqu'aux quantités de l'ordre de i^,

d^r (c-fQdtY

-h i-^- [i — iiy-\. 3i\r' ~ - i'z' — 4/V -^ 3/»/zM -h - = o,

.d^z ^ ,{c-fQdty a'

(dzdr •dzdrx P-Rv^

'IF^' à^ 2 ( I - 4'r + ioi\Y

dx c — fQdt h-hijj ^^ ( I - 2/r -H ^i\r' - 4 i'r')^ «•

On voit d'abord par ces équations que les quantités

{c-fQdty i+j R p R^ c-fQdt

doivent être chacune très-petites de l'ordre de i, pour que les hypothèses que nous avons faites puissent subsister.

Supposons donc

A ^- =h-hi\, --— \ = A' -4-1 Y, i = /Z,

et les équations précédentes étant divisées par i deviendront, en faisant

Y^ -h (3/1='- 9.b)r -h Y - 2AX - /(6A^- 3ô)j^- - ibz' -h 6//irX - /X^

-hi'(ioh'— ib)r'-^^i^f>XZ'— i5i/'Aj'X-4- 3/^7X^ = 0,

^/-'z . r, , .,, .dzdy ., -,

"7- -h /i='z -h Z — A^A^-^r -+- î^' — TT — \-7Anz\

7T -^ ^ Ar — X - 3 /Aj^ -h :>. /> X 4- 4 i'hx' — 3 1 ^.r' X r:^ o.

Si l'on nomme de même a la distance moyenne de Saturne au Soleil, h' sa vitesse angulaire moyenne, et qu'on suppose

r'=a'{i-^ix')y 9' = A' / -h /V, q' — iz\

on aura les mêmes équations que ci-devant, en marquant seulement les lettres d'un trait.

73. Il faut maintenant faire les mêmes substitutions dans les valeurs

de P, Q, R, et premièrement dans celle de — qui entre dans la valeur de

ces quantités^ mais, pour rendre le calcul plus simple, nous n'aurons égard dans cette opération qu'aux termes de l'ordre de i, une plus grande précision étant d'ailleurs inutile dans la présente recherche.

Mettons d'abord a(n-«j) à la place de r, eta (n-«y'jàla place de /', et nous aurons, en négligeant les termes y*, qq' et q'^, qui seraient du second ordre, et faisant, pour plus de simplicité, <p — ç/' = 6,

i; = yfl^(i H- 2ij)— 7.aa'(i H- rr-4- ly )cos6 -4-a"(i -4- aiy),

savoir

r = yja} — laa' cos^ -h a'^ H- 2 i(a}y' ■+■ a'\>*' ) — ?- laa' f .>' -^ ^i'' ) cosô , d'oii Ton tire par les séries

— = ia^— 2rtfl' cos5 H- a'*^ '

- 3i[a*.r H-«'\)'— afl'(>-h r'jcosô' fa»— laa! QOs(f -ha'»-"*.

Or les quantités

a^— 2aa' cos5 -f- a'^^ * et a*— 2aa' cosô -h a''] '

étant irrationnelles, il est nécessaire de les réduire à une forme rationnelle, sans quoi l'intégration des équations proposées ne réussirait point. Pour cela je remarque qu'en faisant a'=«a, la question se réduit à changer en une fonction rationnelle une quantité de cette forme fi — 25f cos5 -h (z*;~', dans laquelle a est une fraction moindre que l'unité. Or, puisque

I — ?.acos6 -4- a'=: [i — a^cosô -f- sinô y— "^^J [" -- ^k (cosô — sin^v ""';-•

on élèvera la quantité i — a(cos5 ±:sin5 v'-~ 0 à la puissance —5: ce (|ui, à cause de

^cos$±sin0 v'— U*"^ cos/w0±sinw9 V ""' ♦ donnera

=r \ -\-soL ^cos^ihsinô yj—i) h — a"' cos^ôit siiiîô^'— i ;

+ I.(.l±i.).(i±^«.feos30d=sin30v'-T) +....'

De sorte que, si l'on fait

'?. 2.3 Q = 5asm9-^ -^ ^a^sm20-+- '-\ ^ a»sin30 -h. . .,

on riura

1 1 — a ( cos 0 -h sin 0 v^^)]^' = P H- Q y/^ et

[i - a (cosÔ - sinÔ v'^)]"' = P - Q v^^. Donc

( I — 2a COS0 -h a')-' =: P' -h Q'.

Or, si Ton fait les carrés des deux séries P et Q, et qu'on ajoute ensemble les termes qui auront le même coefficient, en faisant attention

que

cosmôcosnÔ 4- sinw0sin/i0 = cos(m — /i)0,

on trouvera

(i — s>.acos0 -4- oi})-' — ,Ky -\- \)î,cos0 -4- 3COS9.0 -h(0cos3ô -h. . . , les coefficients .a>, ub» 3»..» étant exprimés de la manière suivante :

— = ce -+- 5 =; ce H 5—7 «•■ -h ...»

et ainsi de suite.

Au reste, quand on aura déterminé par ces séries les deux premiers coeiTicients ,1, et \)j,, on trouvera tous les suivants d'une manière trèssimple et très-facile; car, si l'on prend les différentielles logarithmiques de l'équation

(i — 2acos(? -h a^) ' --- i> -hubcosô -4- 3oos2 0 -h . . .,

et (ju'après avoir multiplié les deux membres en croix on compare terme à terme, on aura, comme M. Euler l'a trouvé le premier dans ses Recherches sur le mouvement de Saturne,

^ __ (i -ha'lUîi— isolK.

atife

(Connaissant ainsi tous les coefTicients de la série qui représente ( r — 2aeos5 -h a'^j"*, on trouvera tout de suite ceux de la série qui exprime 1 — 2aeos5 4-a^j~*~*; car, dénotant ces derniers par a\ ^, M.,..., il faudra que la série ^^ -h ^cosô -f-^cos 2 0 4- ..., étant multipliée par I — 2ai'osO -h a^, devienne égale à la série ct-i-ni>cos6 4-gcos2 5 h-.... I^a multiplication faite-, on trouvera, en comparant les deux premiers ternies,

•K-=z{i -\-a^)(£— a^ el Ub = (i -f- a') ^— 2a^J? — a^.

Or a est donné en ^j? et ;^ de la même manière que e est donné en i et nj,, de sorte qu'on aura, en mettant s-h \ à la place de s,

Donc, substituant cette valeur de ^, on aura deux équations en -i , u»„ <r et ;^ , d'où l'on tirera

Ensuite on aura

Tout se réduit donc à trouver les valeurs de ^ et de ub, lorsque s = -•,

or les séries ei-dessus donnent, pour ce cas,

tJb 3

lesquelles, à cause de a = - environ, dans la théorie de Jupiter et de

Saturne, seront assez convergentes pour qu'on puisse se contenter d'un petit nombre de termes.

Pour faciliter le calcul de ces deux séries, lesquelles peuvent aussi être d'usage dans plusieurs autres occasions, je vais donner ici les logarithmes des différentes puissances de a qui entrent dans les valeure i\v i

et (le — •

LOGARITHMES

des

de.

coeflicients.

coerficicnts.

coelTiciontH.

Oi*