dqdr rdt
dç^ c-fQdt
69. Les équations [i) donneront r, y et y en t\ d'où l'on connaîtra le lieu de la planète à chaque instant. Si l'on voulait de plus avoir l'orbite qu'elle décrit, on n'aurait qu'à éliminer le temps t au moyen de l'équation
laquelle étant multipliée par ir^d^, et ensuite intégrée, donne (] étant une constante arbitraire; d'où l'on tire
y/C— ajQr'rfcp
Et cette valeur étant substituée dans les deux premières des équations fij, on aura, en prenant do constant au lieu de dt, et faisant
' «'-^Q£=^''''(p-'*«tQ;^).= '^-.
les équations suivantes :
^9' C-?./Qr>rf9
^9' ^ C-2/Qr>rf9
70. Supposons que les forces perturbatrices R, Q, P soient nulles, en sorte que l'orbite soit décrite en vertu de la seule force — — tendant au centre du Soleil, et les équations que nous venons de trouver deviendront
lesquelles étant intégrées donneront
I -+- J - q = esin(9 — a), 5= —g— ^\ -h ç* -h y} eus (9 — w),
£, a, yj et w étant des constantes arbitraires, et D étant égal à (] f i -h s'^ ,.
La première de ces deux formules nous montre que l'orbite est toute dans un plan fixe passant par le centre des rayons r, et coupant ce plan de manière que s soit la tangente de l'inclinaison, et a le lieu du nœud ascendant.
La seconde fait voir que l'orbite est une ellipse dont le foyer est dans le centre même des rayons vecteurs r\ et pour en déterminer l'espace et la position on considérera que si l'on nomme 0 et i les angles dont 9 et a sont les projections, on aura, $ — i étant l'argument de latitude, et 9 — a sa projection,
cos(9-«) — -^- sin(9-a) y i -f- g' rost^-L) — ^ ^ ' sin(4>-.t)~ ^ÏTT»'
ros(9 ~ x)~ v'i -h^*cos(* — ^V>), sin(o — a)— ^ V- sin(<l> — -l);
donc
cos(9 — (,}) = cos(9 — a -»-<c — w)
= cos ( 9 — a ) cos ( a — « ) — sin ( 9 — a ) sin (a — w )
et faisant, pour plus de simplicité,
.... , sin (a — fji) .. . , . cosia — O3) = i^cos(-A — ift)), — ^ =6sin(A — nbj,
v'i -»-e' ce qui donne
/i -he*cos(a— w)' ,, ,^ tang(a — w)
6= y .^-J^, i et u,ng(.V-^) = -M4=.-^,
on aura
cos(9 — w) = Ccos(<l> — Db)v I -^q';
donc
s IH-J
y}6cos(<l> —
Or ^ = -^ et r\/i -h y' = a rayon vecteur de Torbite réelle; donc l'équation de cette orbite sera
' — |r hyî6cos(4> — Db)
laquelle est visiblement celle d'une ellipse dont -^jr- est le paramètre
et yjtL* l'excentricité. A l'égard de la position du grand axe de cette ellipse, il est clair que 0 = \ft) donnera le lieu du périhélie, et pour avoir l'angle correspondant 9, que nous nommerons |S, on observera que
tang{<l> — -i.)
tang(9 - a) = ^; \
de sorte qu'on aura
71 . Imaginons maintenant que l'effet des forces perturbatrices consiste à faire varier les quantités s, a, rj et rs, en sorte que l'orbite soit représentée par une ellipse qui change continuellement d'espace et de position; nous aurons donc
. / ^ dq , , de , , , da
I» ^ = 6sin(9 — a) et -^ = ecos(9 — a)-f--i-sm((p — a) — -j- 6COs(9 — a);
or, puisqu'on a deux indéterminées s et a, dont l'une peut être tout ce qu'on voudra, nous supposerons
sin(cp — a)rf6 = 6COs(9 — a)rfa, ce qui donnera
^=6COs(9-a),
de sorte que la variation instantanée de la latitude sera la même que si le plan de l'orbite ne changeait point de position. Donc, en mettant
--—^ -, — pour as,
sin(9 — a) ^
d^q , , , de , . da , , ,
^=-esm(9^a)-4-^cos(9-a)-h^csin(9-a)
= — 6sm(9 — «)-+-
sin(9 — «)rf9 Donc on aura, au lieu de l'équation
i/9' ^ C~2/Qr'rf9
ces deux-ci
edcL
sin(9 — a)rf9 de
doL
-2 Tor^
£ tang{<p — a)
par lesquelles on connaîtra le mouvement de la ligne des nœuds» et la variation de l'inclinaison de l'orbite.
9y On aur«
d'où Ton tire
S= -—— y/H- ^3.-4-yj C0S((P — &)),
ds l + J qdq . , ^ dr, , , dw . ^
Supposons ici, à l'imitation de ce que nous venons de faire plus haut,
roS ( 9 — 0) ) (/y) r=z — yj siO { 9 — 0) ) dû),
de manière que l'on ait simplement
ds 1 H- J </ ^/(/
j- = —¥i , — y; sm ( 9 — w) ,
c'est-à-dire que la variation instantanée du rayon r= - soit la même
ds que si l'ellipse demeurait constante, et diflerentiant cette valeur de j-5
on trouvera
d's ^i-hJ rdq^ -¥- g d^'q q^dq^' 1
<1t D [d9Vi-^?"' d^^Hi^q^
— y) cos{9 — wj— ^sm(9 — w) -+- ^y? cos(9 — w);
or, à cause de -r—, -\- ç^ = s^,
J^- q^dq- dy^ e^—q^ __ i -4- e'
do-^j-hq' cl(j^'{i-^q'Y dcp^j-^q^y (i-^ç'Y ('-»-^')^ V'-^"?'
de plus
rfçp^— ? C-2./Qr'd9' donc
qd^q g' g V
d^''sj\ -¥-q^ V""^?' \/'i -h q^ C^^jQr^dc^
^/i -f- 9' VI -^9* C — ifQr^d^
donc on aura, a cause de ari = r-^ r « «»
COS{(p — 0))
d's ^ J rj±£ I 1 q t—S\
De >^orte que l'équation
se cliangera en ces deux-ci :
h lang(9 ~ &))rf9 = o,
lesquelles serviront k trouver yj et w.
Au reste, dès qu'on aura trouvé r et y en <p, ou bien r, y et 9 en /, on pourra, si Ton veut, trouver tout de suite les valeurs de a, e, w et yj; car les équations
9 — £sin(9— a), -3- =:ecos(9 — a)
donneront
El de même, l^s équations
